Ejercicios matemáticas ii selectividad 2012 Galicia , Exámenes selectividad de Matemáticas
yerbamate
yerbamate

Ejercicios matemáticas ii selectividad 2012 Galicia , Exámenes selectividad de Matemáticas

21 páginas
621Número de visitas
Descripción
Consigue ahora los exámenes de selectividad matemáticas ii para el curso 2012 de Galicia
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 21
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 21 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 21 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 21 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 21 páginas totales
Descarga el documento
solucións_MatematicasII_2012

PAU

XUÑO 2012

Código: 26

MATEMÁTICAS II

(Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción:

exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio 3= 2 puntos, exercicio 4= 2 puntos)

OPCIÓ A

1. Dada a matriz  =   1  1 1 1  a) Estuda, segundo os valores de , o rango da matriz . b) Resolve, se é posible, o sistema  ∙  = 

111 para o valor  = 1. 2. Dados os puntos 3,0,2, 1, −2,0, 1, −1,3 e ,  − 2, −

a) Determina o valor de λ para que , ,  e  sexan coplanarios. ¿Para algún valor de λ son , ,  e  vértices dun paralelogramo? b) Calcula as ecuacións paramétricas do plano  que pasa polo punto  e é perpendicular á recta  que pasa polos puntos  e .

3. a) Enuncia o teorema de Bolzano. Probar que a función   =  + 2 − 4 corta o eixe OX nalgún punto do intervalo !1,2" ¿Pode cortalo en máis dun punto?

b) Calcula lim&→( ) &*&+* &*,- &+. 4. Debuxa e calcula a área da rexión limitada pola parábola = 3 −  e a súa recta normal

no punto 3,0. (Nota: para o debuxo das gráficas, indicar os puntos de corte cos eixes, o vértice da parábola e a concavidade ou convexidade).

OPCIÓN B

1. Dado o sistema

− 2 + 3 = 5 − 3 + 2 = −4

a) Calcula o valor de 0 para que ao engadirlle a ecuación 0 + 3 + = 9, resulte un sistema compatible indeterminado. Resólveo, se é posible, para 0 = 0. b) ¿Existe algún valor de 0 para o cal o sistema con estas 3 ecuacións non ten solución?

2. a) Se |34| = 6, |6774| = 10 e |34 + 6774| = 14, calcula o ángulo que forman os vectores 34 e 6774. b) Calcula as ecuacións paramétricas e a ecuación xeral do plano que pasa polos puntos −1,5,0 e 0,1,1 e é paralelo á recta : 93 + 2 − 3 = 0 2 − 3 − 1 = 0:

3. a) Determina os valores de ; para que a función : ℝ → ℝ   = =; −  >? ≤ 1 2; >? > 1:

sexa continua. ¿É derivable en = 1 para algún valor de ;? b) Enunciado e interpretación xeométrica do teorema do valor medio do cálculo diferencial.

4. Calcula B C&DE & *-&DE & F 

PAU

SETEMBRO 2012

Código: 26

MATEMÁTICAS II

(Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción:

exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio 3= 2 puntos, exercicio 4= 2 puntos)

OPCIÓ A

1. a) Calcula, segundo os valores de ;, o rango de  =  ; 0 ;; + 1 ; 00 ; + 1 ; + 1 Para ; = 1, calcula o determinante da matriz 2G ∙ E- b)Sexa  = − 1 2⁄ 0 1 2⁄ 00 0 1. Calcula e para que se cumpra que E- = G. (Nota: G, G representan a matriz trasposta de  e  respectivamente). 2. Dado o plano : − 2 + 3 + 6 = 0 a)Calcula a área do triángulo de vértices os puntos de corte de  cos eixes de coordenadas. b)Calcula a ecuación xeral do plano que é perpendicular ao plano , paralelo á recta que pasa

polos puntos 0,3,0 e 0,0,2 e pasa pola orixe de coordenadas. c) Calcula o punto simétrico da orixe de coordenadas respecto ao plano : − 2 + 3 + 6 = 0 3. a)Calcula as asíntotas e os intervalos de crecemento e decrecemento de   = &E-+&+* - b)Calcula B &E-+&+* - F I- 4. a)Dunha función derivable   sabemos que pasa polo punto 0,1 e que a súa derivada é J  = ?&. Calcula   e a recta tanxente á gráfica de   no punto correspondente a = 0 b)Enuncia o teorema fundamental do cálculo integral.

OPCIÓN B

1. a)Discute, segundo os valores de , o sistema + =  −  = −13 3 + 5 = 16 b) Resólveo, se é posible, para  = 2.

2. a) Estuda a posición relativa dos planos -: + + − 5 = 0,  : = = 3 +  + 2K = 1 −  − K = 1 + K : Se se cortan nunha recta, escribe as ecuacións paramétricas da mesma.

b) Calcula a ecuación do plano , que pasa pola orixe de coordenadas e é perpendicular a - e . Calcula a intersección de -,  e .

3. a) Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Rolle. b) Se L > 2, calcula os valores de ;, M, L para que a función   = 9  + ; + M >? < 2 + 1 >? ≥ 2: cumpra as hipótesis do teorema de Rolle no intervalo !0, L". 4. Debuxa e calcula a área da rexión limitada pola parábola = −  + 2 + 3, a recta tanxente

no punto donde a parábola ten un extremo e a tanxente á parábola no punto no a tanxente é paralela á recta = 4 . (Nota: para o debuxo das gráficas, indicar os puntos de corte cos eixes, o vértice da parábola e a concavicade ou convexidade).

CONVOCATORIA DE XUÑO

OPCIÓ A

1) a) 2 puntos, distribuídos en:

 0,5 puntos pola obtención dos valores de  que anulan o determinante de  1,5 puntos pola obtención do rango de , segundo os valores de .

b) 1 punto

2) a) 2 puntos, distribuídos en:

 1 punto pola obtención do valor de λ para que sexan coplanarios.

 1 punto xustificar que non constitúen un paralelogramo.

b) 1 punto

3) a) 1 punto, distribuído en:

 0,5 puntos polo enunciado do teorema de Bolzano.

 0,25 puntos por xustificar que a función corta o eixe OX nalgún punto do intervalo !1,2".

 0,25 puntos por xustificar que a función non corta o eixe OX en máis de un punto.

b) 1 punto

4) 2 puntos, distribuídos en:

 0,5 puntos por representar a parábola.

 0,5 puntos pola obtención da recta normal.

 0,5 puntos pola formulación da área.

 0,5 puntos polo cálculo da integral definida.

CONVOCATORIA DE XUÑO

OPCIÓ B

1) a) 2 puntos, distribuídos en:

 1 punto por xustificar que o sistema é compatible indeterminado cando 0 = 0. 1 punto pola resolución para 0 = 0.

b) 1 punto

2) a) 1 punto

b) 2 puntos, distribuídos en:

 1 punto pola ecuación xeral do plano

 1 punto polas ecuacións paramétricas do plano

3) a) 1 punto, distribuído en:

 0,5 puntos pola determinación dos valores de ; para que a función sexa continua.

 0,5 puntos polo estudo da derivabilidade en = 1. b) 1 punto, distribuído en:

 0,5 puntos polo enunciado do teorema do valor medio do cálculo

diferencial.

 0,5 puntos pola interpretación xeométrica do teorema do valor medio do

cálculo diferencial.

4) 2 puntos, distribuídos en:

 0,5 pola división do numerador entre o denominador e o cálculo das raíces

do denominador.

 0,5 puntos pola descomposición en suma de fraccións.

 0,5 puntos pola integración.

 0,5 puntos pola aplicación da regra de Barrow e obtención do valor da

integral

CONVOCATORIA DE SETEMBRO

OPCIÓ A

1) a) 2 puntos

b) 1 punto

2) 3 puntos (1 punto por cada unha das cuestión formuladas)

3) a) 1 punto

b) 1 punto

4) 2 puntos (0,5 puntos pola formulación teórica e 1,5 puntos pola resolución práctica)

OPCIÓ B

1) a) 2 puntos

b) 1 punto

2) a) 2 puntos

b) 1 punto

3) a) 1 punto

b) 1 punto

4) 2 puntos

CONVOCATORIA DE XUÑO

OPCIÓN A

Exercicio 1:

a)

|| = P  1  1 1 1 P =  +  +  − Q −  −  = − −  −  + 1 Calculamos, por Ruffini, as raíces de  −  −  + 1 = 0 1 -1 -1 1 1) _____ 1 0 -1 1 0 -1 R0:  − 1 = 0 ⇔  = ±1 Polo tanto

|| = 0 ⇔ = = 0  = −1  = 1 ;í FVMW?:  = 0 X1 01 1X ≠ 0 ⇒ ;[\ = 2  = −1 X−1 1 1 1X ≠ 0 ⇒ ;[\ = 2  = 1 ⇒ ;[\ = 1 (as tres filas son iguais e hai un elemento non nulo) Resumindo: ];[\ = 3, >?  ≠ −1, 0,1 ];[\ = 2, >?  = 0 V^  = −1 ];[\ = 1, >?  = 1 b)  = 1 Neste caso o sistema é equivalente a

+ + = 1 Como rango(matriz coeficientes) =rango(matriz ampliada) =1<nº de incógnitas, é un sistema compatible indeterminado. As infinitas solucións son:

= = 1 −  − K =  ; = K , K ∈ ℝ :

CONVOCATORIA DE XUÑO

Exercicio 2:

a)

 7777774 = −2, −2, −2 Non son colineais e polo tanto os puntos ,  ?   7777774 = −2, −1,1 determinan un plano. Ecuación do plano α que pasa polos puntos ,  ? :

0: P − 3 − 2−2 −2 −2−2 −1 1 P = 0, 0: 2 − 3 + − 8 = 0 Para que o punto  esté no plano 0, deberá satisfacer a súa ecuación:

2 − 3 + 6 −  − 8 = 0, e polo tanto  = −1 Como un paralelogramo é unha figura plana, D C

bastará comprobar se para  = −1 resulta un paralelogramo A B

 = −1 ⇒ −1, −3,1 ⇒ bcd ce 7777774 = −2, −2, −2 77777774 = 2,2,2  77777774 = −4, −3, −1 7777774 = 0,1,3

: b) Os vectores 3 7774 = −1,0,1 e 6 77774 = 0,1, −1 son vectores non colineais e perpendiculares ao vector  7777774 = −2, −2, −2. Polo tanto, o punto 1, −1,3 e os vectores 3 7774 = −1,0,1 e 6 77774 = 0,1, −1 determinan o plano  e podemos escribir as súas ecuacións paramétricas como

: = = 1 −  = −1 + K = 3 +  − K :

Non son paralelos non constitúen un paralelogramo

CONVOCATORIA DE XUÑO

Exercicio 3:

a) Teorema de Bolzano: Se   é unha función continua en !;, M" e ; e M teñen distinto signo, é dicir ; ∙ M<0, entón existe algún L ∈ ;, M tal que L = 0.

•   =  + 2 − 4 é continua en ℝ por ser polinómica e polo tanto continua en !1,2" ∃L ∈ 1,2 tal que L = 0

• 1 = −1 < 0 • 2 = 8 > 0 Teorema de Bolzano

Como   é continua e derivable en ℝ, pois é unha función polinómica, tamén o será en calquera intervalo de ℝ e si existisen L- e L tales que L- = L = 0, entón aplicando o teorema de Rolle, existiría un l tal que Jl = 0, pero J  = 3  + 2 non se anula en ningún punto de ℝ. Así pois,

  LVl; ;V ?m ? no >V;?[l? [^[ p^[lV b É unha indeterminación do tipo 1r. Tomamos logaritmos neperianos: W[ lim&→( s + 2  + + 2t

- &+. = lim&→( 1  W[ s + 2  + + 2t = lim&→( ln + 2 − ln  + + 2  = s00t ;pWmL;V> ; ?\; F? vJwôpml;W = lim&→(

1 + 2 − 2 + 1  + + 22 = lim&→(  + + 2 − 2  − 5 − 22  + 2  + + 2 = lim&→( − − 42  + 2  + + 2 = −lim&→( + 42 + 2  + + 2 = − 12

e polo tanto:

lim&→( ) &*&+*&*,- &+. = ?E- ⁄

CONVOCATORIA DE XUÑO

Exercicio 4:

= 3 −  J = 3 − 2 J = 0 ⇔ = 3 2⁄ máximo: 3 2, 9 4⁄⁄ = vértice da parábola " = −2 < 0 cóncava 3 −  = 0 ⇔  − 3 = 0 Puntos de corte da parábola cos eixes: (0,0), (3,0) J3 = −3 pendente da recta normal á parábola no punto (3,0): 1 3⁄ Ecuación da recta normal á parábola no punto (3,0):

= -  − 3 ⇔ − 3 − 3 = 0 Puntos de corte da recta normal e a parábola:

= 3 −  − 1 3, − 10 9⁄⁄ ⇒ -  − 3 = 3 −  ⇒ 3  − 8 − 3 = 0 ⇒ = -  − 3 (3,0)

Podemos calcular a área pedida, rexión sombreada, mediante a integral definida:

 = B z3 −  − -  − 3{E|D F = B z} −  + 1{E|D F = z}~  − &D + {E|D  =

12 − 9 + 3 − -}- − -}- + }- = = C((}- ^

CONVOCATORIA DE XUÑO

OPCIÓN B

Exercicio1:

a) Matriz de coeficientes  = 1 −2 31 −3 20 1 1 ; Matriz ampliada  =  1 −21 −30 1

3 52 −41 9 X1 −21 −3X = −1 ≠ 0 ⇒ ;[\ ≥ 2 P1 −2 31 −3 20 1 1P = −3 + 3 − 40 + 90 − 2 + 2 = 50 Polo tanto:

 Se 0 ≠ 0, ;[\ = 3  Se 0 = 0, ;[\ = 2

Como sempre ;[\ ≥ ;[\ e o sistema será compatible indeterminado cando ;[\ = ;[\ = 2, calculamos ;[\ cando 0 = 0: P1 −2 51 −3 −40 1 9P = −27 + 5 + 4 + 18 = 0 ⇒ ;[\ = 2, >? 0 = 0

Polo tanto, o sistema é compatible indeterminado cando 0 = 0 . Cando 0 = 0, un sistema equivalente é: − 2 = 5 − 3 − 3 = −4 − 2 ⇒ = 9 − ⇒ = 23 − 5 As infinitas solucións son:

= = 23 − 5 = 9 − ,  ∈ ℝ =  : b) Do apartado anterior deducimos que

 0 = 0 ⇒ ;[\ = ;[\ = 2 < [º m[Ló\[ml;>. Sistema compatible indeterminado, infinitas solucións.  0 ≠ 0 ⇒ ;[\ = ;[\ = 3 = [º m[Ló\[ml;>. Sistema compatible determinado, solución única.

Polo tanto, V >m>l?; >?p? l?[ >VW^Lmó[ .

CONVOCATORIA DE XUÑO

Exercicio2:

a) Utilizando as propiedades do producto escalar de dous vectores, temos:

|34 + 6774| = < 34 + 6774, 34 + 6774 > = < 34, 34 > + < 6774, 6774 > + 2 < 34, 6774 > = |34| + |6774| + 2|34| ∙ |6774| ∙ cos∡ (3,7774 6774) é dicir: 196 = 36 + 100 + 120 ∙ cos∡ (3,7774 6774) e polo tanto

cos ∡(3,7774 6774) = 12 ⇒ ∡(3,7774 6774) = 3 b) Calculamos o vector director, 34‡, da recta  34‡ = ˆ‰4 Š4 ‹743 2 00 2 −3ˆ = −6‰4 + 9Š4 + 6‹74 O plano queda determinado polos elementos:

 O punto (−1,5,0)  Os vectores 34‡ = (−6,9,6) e 777774 = (1, −4,1) que son paralelos ao plano e

independentes entre si. (En lugar do vector (−6,9,6) podemos considerar o (−2,3,2) xa que (−6,9,6)||(−2,3,2)). ŒL^;Lmó[> p;;élmL;>: = = −1 − 2 + K = 5 + 3 − 4K = 2 + K : Para obter a ecuación xeral, podemos eliminar os parámetros λ e K nas ecuacións paramétricas ou ben calcular a ecuación do plano a partir dun punto do plano (por exemplo o (−1,5,0) e un vector normal ao plano [74: [74 = (−2,3,2) × (1, −4,1) = ˆ ‰77774 Š4 ‹74−2 3 2 1 −4 1 ˆ = 11‰4 + 4Š4 + 5‹74 Polo tanto, a ecuación xeral do plano é:

11( + 1) + 4( − 5) + 5 = 0 11 + 4 + 5 − 9 = 0

CONVOCATORIA DE XUÑO

Exercicio3: a)

   é continua en < 1, por ser polinómica.  Se ; ≠ 0,   é continua en > 1 por ser racional e non anularse o

denominador. Estudo da continuidade en = 1:

lim&→-   = ; − 1 lim&→-   = 2 ;⁄ Para que sexa continua en = 1, debe ser 1 = ; − 1 ; − 1 = 2 ;⁄ ⇒ ; − ; − 2 = 0 ⇒ ; = −1 ou ; = 2

Polo tanto,   é LV[lm[^; >? ; = −1 V^ ; = 2 Se unha función é derivable nun punto, necesariamente é continua nel. Polo tanto, para estudar a derivabilidade en = 1, só teremos que facelo cando ; = −1 ou ; = 2 Caso: ; = −1 J  = ’−2 >? < 12  . >? > 1 : ⇒ J1E = −2J1* = 2 ⇒ Non é derivable en = 1. Caso: ; = 2 J  = ’−2 >? < 1−1  . >? > 1: ⇒ J1E = −2J1* = −1 ⇒ Non é derivable en = 1 Polo tanto,   [V[ é F?m3;MW? ?[ = 1 p;; [m[\ú[ 3;WV F? ; . b) Teorema do valor medio do cálculo diferencial: Se   é continua en [a,b] e derivable en (a,b), entón existe algún punto c∈(a,b) tal que JL = ˜™E ˜š™Eš

a c b

Interpretación xeométrica: Nas hipótesis

do teorema, existe algún punto intermedio

no que a tanxente á gráfica de   é paralela á corda que une os puntos (a,f(a))

e (b,f(b)).

CONVOCATORIA DE XUÑO

Exercicio 4:

É a integral dunha función racional. Como o grao do numerador é igual ao grao do denominador, en primeiro lugar facemos a división para obter unha fracción cuxo numerador sexa de grao inferior ao denominador:

5  − 3 + 1  − = 5 + 2 + 1  − Calculamos as raíces do denominador:

 − =   − 1 =  − 1 + 1 ⇒ Raíces: 0, 1, -1. Son todas raíces reais sinxelas, facemos a descomposición:

2 + 1  − =  +  − 1 +  + 1 =   −  +   +  +   −   − 1 + 1 Como os denominadores son iguais, os numeradores deben ser iguais:  +  +  = 0 LV?mLm?[l? F?   −  = 2 LV?mLm?[l? F?  − = 1 l?V m[F?p?[F?[l? ⇒ =

 = −1  = 3 2⁄  = − 1 2⁄ : A integral queda:

› 5  − 3 + 1  – F = › 5 + 2 + 1  – ž F = 

 › Ÿ5 − 1 + 3 2⁄ − 1 − 1 2⁄ + 1  F 

 = 5 − W[| | + 32 W[| − 1| − 12 W[| + 1|ž



= 15 − W[3 + 32 W[2 − 12 W[4 − s10 − W[2 – 12 W[3t ¡VW^Lmó[ = 5 − 1/2 W[3 + 3/2 W[2

CONVOCATORIA DE SETEMBRO

Posibles valores:

= = √3 2⁄ ou = = − √3 2⁄

OPCIÓN A

Exercicio 1: a)

|| = P ; 0 ;; + 1 ; 00 ; + 1 ; + 1P = ;; + 1 + ;; + 1 = ;; + 12; + 1 Polo tanto

|| = 0 ⇔ =; = 0 ; = −1 ; = − 1 2⁄ : ; = 0 X1 00 1X ≠ 0 ⇒ ;[\ = 2 ; = −1 X−1 0 0 −1X ≠ 0 ⇒ ;[\ = 2 ; = − 1 2⁄ ¤− 1 2⁄ 0 1 2⁄ − 1 2⁄ ¤ ≠ 0 ⇒ ;[\ = 2 Resumindo:

];[\ = 3, >?  ≠ 0, −1, − 1 2⁄ ];[\ = 2, >?  = 0 V^  = −1 V^  = − 1 2⁄ ; = 1 ; = 1 ⇒ F?l = 6, e posto que F?l = F?lG, F?lE- = 1 F?l⁄ e ademais que o determinante dun produto de matrices é igual ao produto dos determinantes desas matrices e que para unha matriz ¥ de orde 3, se verifica que F?l¥ = F?l¥, temos: F?l2G ⋅ E- = 2 ⋅ 6 ⋅ -~ = 8 b) E- = G ⇔  ⋅ G = §, é dicir: 1 0 00 1 00 0 1 = 

− 1 2⁄ 0 1 2⁄ 00 0 1 ⋅  − 1 2⁄ 0 1 2⁄ 00 0 1 = ¨

 + 1 4⁄ − 2⁄ + 2⁄ 0− 2⁄ + 2⁄  + 1 4⁄ 00 0 1© Obtendo:

 + 1 4⁄ = 1 ⇒ = ± √3 2⁄  + 1 4⁄ = 1 ⇒ = ± √3 2⁄ − 2⁄ + 2⁄ = 0 ⇒ =

CONVOCATORIA DE SETEMBRO

Exercicio 2:

a) Puntos de corte cos eixes de coordenadas: −6,0,0; 0,3,0; 0,0,2  7777774 = 6,3,0 ⇒  7777774 ×  7777774 = ˆ ‰4 Š4 ‹746 3 06 0 −2ˆ = −6,12, −18  7777774 = 6,0, −2 Área  = - ª 7777774 ×  7777774ª = - √36 + 144 + 324 = - √504 = 3√14 ^

b) [74« = 1, −2,3 é un vector do plano pedido  7777774 = 0, −3, −2 é un vector do plano pedido Vector normal ao plano = [74« × 777774 = ˆ ‰4 Š4 ‹741 −2 30 −3 −2ˆ = 13,2, −3 Como pasa polo punto (0,0,0), a ecuación xeral do plano pedido é:

13 + 2 − 3 = 0

c) [74« = 1, −2,3 é un vector director da recta perpendicular a π. Ecuacións paramétricas da recta perpendicular a π, pasando polo (0,0,0)=

=  = −2 = 3 Calculamos o punto ¥ de intersección desta recta co plano π:

 + 4 + 9 + 6 = 0 ⇒  = − 3 7⁄ ⇒ ¥ = − 3 7⁄ , 6 7⁄ , − 9 7⁄  Como o punto ¥ é o punto medio entre n0,0,0 e o seu simétrico nJ , , 

− 3 7⁄ = 2⁄ 6 7 ⁄ = 2⁄− 9 7⁄ = 2⁄ ⇒ nJ− 6 7, 12 7, −18 7⁄⁄⁄

CONVOCATORIA DE SETEMBRO

Exercicio 3:

a)   = &E-+&+*- = &+*-E&&+*-  + 1 > 0 ⇒   [V[ l?[ ;>í[lVl;> 3?lmL;m>

lim&→±r &+*-E&&+*- = 1 ⇒ = 1 é ;>í[lVl; ℎVm V[l;W ,  [V[ l?[ ;>í[lVl;> VMWmL^;> J  = 2 − 1  + 1 − 2  − 1  + 1  = 2  − 2  + 1  = 2 + 1 − 1  + 1 

Como   + 1  > 0, o signo de J  coincide co signo do numerador da fracción anterior. Así:

( −∞, -1) (-1,1) (1,∞) J  > 0 < 0 > 0   crecente decrecente Crecente

b)

B ®|+®+| ¯& °I- B ®+|+®®+| ¯& ° I- B z1 − &&+*- { ¯& ° !&E±²&"|³ I- = = ? − ln? + 1 − 1 + W[2 = 0,2845

A función é crecente nos intervalos ( −∞, -1) e (1,∞). A función é decrecente no intervalo (-1,1).

CONVOCATORIA DE SETEMBRO

Exercicio 4:

a)   é a primitiva de J  = ?& que pasa polo punto (0,1). Calculamos a integral por partes

B ?&F = - ?& − - B ?&F = - ?& − -Q ?& +  ^ = , F^ = F F3 = ?&F , 3 = 12 ?& e impoñemos a condición de que pase polo punto (0,1)

1 = − -Q +  ⇒  = 5 4⁄ Polo tanto

  = 12 ?& − 14 ?& + 5 4⁄ A función pasa por (0,1) e J0 = 0, polo que a recta tanxente pedida é

= 1 b) Teorema fundamental do cálculo integral: Se   é unha función continua en !;, M" entón a función

´  = › lFl, µ!;, M"&š é derivable e ademais verifícase que ´J  =  .

CONVOCATORIA DE SETEMBRO

OPCIÓN B

Exercicio 1:

a) Matriz de coeficientes  =  1 11 −3 5  ; Matriz ampliada  =  1 1 1 − −133 5 16

X1 13 5X ≠ 0 ⇒ rang(C) = 2 || = P1 1 1 − −133 5 16P = 3 − 11 + 10 3 − 11 + 10 = 0 ⇔  = 2 ó  = 5 3⁄

Polo tanto:

b)  = 2 Vimos no apartado anterior que neste caso é un sistema compatible determinado e ten solución única. Un sistema equivalente ao dado é:

+ = 23 + 5 = 16 ⇒ −3 − 3 = −6 3 + 5 = 16 ⇒ 2 = 10 ⇒ = 5 ⇒ = −3

  = 2 ⇒ rang(C) = 2 = rang(A) = nº de incógnitas. Sistema compatible determinado.

  = 5 3⁄ rang(C) = 2 = rang(A) = nº de incógnitas. Sistema compatible determinado.

  ∉ ·2, 5 3⁄ ¸ ⇒rang(C) = 2 <3 = rang(A). Sistema incompatible.

CONVOCATORIA DE SETEMBRO

=

Exercicio 2: a) Calculamos a ecuación xeral do plano π2. Das ecuacións paramétricas deste plano deducimos un punto do plano e dous vectores independentes contidos nel:

 Vectores independentes contidos en π2: (1,-1,0); (2,-1,1)  Punto pertencente a π2: (3,1,1)

Ecuación xeral de π2: P − 3 − 1 − 11 −1 02 −1 1 P = 0 ⇒ + − − 3 = 0 Para estudar a posición relativa dos planos π1 e π2 discutimos a solución do sistema

π1: + + − 5 = 0 π2: + − − 3 = 0

Como

;[ )1 1 11 1 −1, = ;[\ )1 1 1 −51 1 −1 −3, = 2 ⇒ V> pW;[V> Lól;[>? [^[ℎ; ?Ll; Para calcular as ecuacións paramétricas desta recta, resolvemos o sistema:

+ = 5 − − = 3 − ⇒ = 1 = 4 − ⇒ : = = 4 −  =  = 1 : b) Os vectores normais aos planos π1 e π2, [74«| = 1,1,1 e [74«+ = 1,1, −1 respectivamente, son dous vectores independentes que pertencen ao plano π3 que ademais pasa polo (0,0,0). Polo tanto:

Ecuación xeral de π3: ¹ 1 1 11 1 −1¹ = 0 ⇒ π: − = 0 Para calcular a intersección dos tres planos, resolvemos o sistema formado polas súas ecuacións xerais:

+ + − 5 = 0 + − − 3 = 0 ⇒ 2 + = 5 2 − = 3 ⇒ = 2, = 2, = 1 − = 0 Polo tanto,

»^[lV F? LVl? FV> l?> pW;[V>: »2,2,1

X1 11 −1X ≠ 0

CONVOCATORIA DE SETEMBRO

Exercicio 3:

a) Teorema de Rolle: Sexa   unha función continua en !;, M" e derivable en ;, M. Se ; = M, entón existe algún punto Lµ;, M tal que JL = 0. a b

b)   é continua en !0,2: e 2, :L" por ser polinómica nos dous intervalos. Continuidade en = 2:

lim&→   = 4 + 2; + Mlim&→   = 3 2 = 3 ⇒ 4 + 2; + M = 3 ⇒ 2; + M = −1   é derivable en 0,2 e 2, L por ser polinómica nos dous intervalos. Derivabilidade en = 2:

J2E = 4 + ;J2* = 1 4 + ; = 1 Por outra parte 0 = L ⇒ M = L + 1 Temos así tres ecuacións con tres incógnitas:

2; + M = −14 + ; = 1M − L = 1 ⇒ ; = −3 ; M = 5 ; L = 4 Exercicio 4:

Interpretación xeométrica: Dada función

continua en !;, M" e derivable en ;, M, que toma os mesmos valores nos extremos do intervalo, a súa gráfica ten algún punto con tanxente horizontal.

CONVOCATORIA DE SETEMBRO

En primeiro lugar calculamos os elementos necesarios para arepresentación da parábola: J = −2 + 2 J = 0 ⇔ = 1 " = −2 < 0 ⇒ Ten un máximo, que é o vértice, no punto 1,4 e é cóncava

= 0 ⇒ = 3  − 2 − 3 = 0 ⇒ = −1 = 3 ⇒ Puntos de corte cos eixes: 0,3, −1,0, 3,0 Tanxente no punto 1,4: = 4. Determinamos o punto no que a tanxente é paralela á recta = 4 . Como a derivada nun punto coincide coa pendente da recta tanxente nese punto, teremos que determinar o punto no que a derivada vale 4 (dúas rectas son paralelas se teñen a mesma pendente):

J = 4 ⇔ −2 + 2 = 4 ⇒ = −1 Tanxente no punto −1,0: = 4 + 1

Podemos calcular a área pedida, rexión sombreada, mediante a integral definida:  = B !4 + 4 − −  + 2 + 3"(E| F + B !4 − −  + 2 + 3"-( F = B   + 2 + 1(E| F + B   − 2 + 1-( F = z&D +  + {E-( + z&D −  + {(- = − )− - + 1 − 1, + - − 1 + 1 =  ^

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 21 páginas totales
Descarga el documento