EJERCICIOS RESUELTOS 1 A 6, Ejercicios de Matemáticas y Estadística Aplicada. Universidad Complutense de Madrid (UCM)
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EJERCICIOS RESUELTOS 1 A 6, Ejercicios de Matemáticas y Estadística Aplicada. Universidad Complutense de Madrid (UCM)

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Asignatura: Estadística Aplicada a la Psicología I, Profesor: , Carrera: Psicología, Universidad: UCM
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1

Para estudiar la efectividad de un nuevo método de enseñanza, un investigador aplica una prueba de rendimiento en lengua a un grupo de alumnos. Selecciona para el estudio a 120 niños, aquellos que han obtenido en el examen las puntuaciones intermedias (es decir, no incluye a los alumnos que han obtenido ni las mejores ni las peores puntuaciones). ¿Qué puntuaciones considerará para hacer la selección? ¿Qué percentiles son estas puntuaciones?

Rendimiento lengua

fi Fi

9 10 200

8 30 190

7 40 160

6 30 120

5 25 90

4 25 65

3 20 40

2 20 20

1)  200-120=80. Debemos eliminar las 40 puntuaciones más altas (por encima de 7,5) y las 40 más bajas (por debajo de 3,5)

2)  Seleccionaremos a los niños que han obtenido en la prueba una puntuación mayor que 3,5 y menor que 7,5

3)  40 es el 20% de 200 X____100 40____200

4)  160 es el 80 % de 200

8,5 7,5

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

3,5= P20

7,5= P80

Problema 1 (Percentiles)

2

En la tabla aparecen las puntuaciones en el factor extraversión-introversión del EPI (Eysenck Personality Inventory) obtenidos para una muestra de 50 sujetos. Se van a seleccionar los participantes que queden por encima del percentil 80 o por debajo del percentil 30.

a.- ¿Cuántos participantes cumplirán estas condiciones? b.- ¿Cuáles serían los límites establecidos, en puntuaciones directas, para seleccionarlos?

Problema 2 (Percentiles)

Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 21 23 24 fi 2 3 5 3 2 4 3 2 3 2 4 3 4 2 2 1 1 1 2 1 Fi 2 5 10 13 15 19 22 24 27 29 33 36 40 42 44 45 46 47 49 50

6,5 14,5 P80?

1)  80% de 50 igual a 40 80____100 X____ 50

2)  P80= 14,5

3) Por encima del P80 hay 10 casos (50-40)

P30?

1)  30% de 50 igual a 15 30____100 X____ 50

2)  P30= 6,5

3) Por debajo del P30 hay 15 casos

Elegiremos a las 15 personas que han obtenido una puntuación por debajo de 6,5 y a las 10 personas que hanobtenido una puntuación por encima de 14,5 (total: 25 personas)

3

a.- Decida si una persona cuya puntuación es 23 ha sido seleccionada teniendo en cuenta que se seleccionó al 60% de los sujetos, aquéllos que obtuvieron las mayores puntuaciones.

Puntuaciones fi Fi 41-50 20 500 31-40 100 480 21-30 180 380 11-20 175 200 1-10 25 25

P40?

1) 40% de 500 igual a 200 40____100

X____500

2) P40= 20,5 3) 23>20,5 4)  La persona que ha obtenido 23 se encuentra entre el 60% de los que han obtenido mayores puntuaciones

Decisión: es seleccionada

40,5 30,5 20,5 10,5

Problema 4 (Percentiles)

4

b.-¿Qué porcentaje de sujetos obtuvo puntuación inferior a la de un sujeto que obtuvo 30,5 puntos?

Puntuaciones fi Fi 41-50 20 500 31-40 100 480 21-30 180 380 11-20 175 200 1-10 25 25

40,5 30,5 20,5 10,5

1)  380 personas obtienen una puntuación inferior a 30,5

2)  380 es el 76 % de 500 X____100 380____500 3)  Un 76 % de personas

obtiene una puntuación inferior a 30,5

4)  P76= 30,5

Problema 4 (Percentiles)

5

En un experimento sobre el metabolismo de andrógenos y la conducta sexual, Resek y Whalen (1.978) utilizaron dos grupos de cuatro ratas castradas, C1 y C2. A las del grupo C1 las castraron 48 h antes de sacrificarlas y a las del grupo C2 las castraron y las sacrificaron 5 meses después. Al sacrificarlas registraron la cantidad de testosterona (medida en g/ mg tejido) en el hipotálamo (H), en el área preóptica (PO) y en tejido cortical (TC) obteniendo los resultados siguientes:

Problema 10 (T. central y dispersión)

a.- Calcular la cantidad media total de testosterona encontrada en el grupo C1.

b.- Calcular la cantidad media total de testosterona hallada en el área preóptica.

c.- Calcular las varianzas y desviaciones típicas de la cantidad de testosterona en los grupos C1 y C2.

6

Problema 10 (T. central y dispersión)

7

Problema 10 (T. central y dispersión)

d.- Calcular el coeficiente de variación, CV, en el grupo C1.

8

Conteste razonadamente las siguientes cuestiones: a.- ¿Qué medida de tendencia central elegiría usted para representar los siguientes

tiempos de reacción correspondientes a una muestra de 5 personas: 8, 15, 15, 15, 100 milisegundos? La puntuación 100 hace muy asimétrica la distribución. En este caso la media aritmética no es conveniente. Elegiremos la mediana (15).

b.- Las puntuaciones de un grupo en una variable X oscilan entre cero y cien. En tal

situación, si Q1 = 25 entonces necesariamente Q3 = 75. Verdadero ( ) Falso (X) Falso, pues no conocemos la distribución concreta. Los percentiles no son equidistantes, y por tanto no podemos conocer uno de ellos a partir de otro.

c.- Si la amplitud total de una distribución es 10, la media aritmética puede ser 100.

Verdadero (X) Falso ( ) Verdadero. La amplitud total hace referencia a la distancia entre el valor máximo y mínimo de una distribución y es independiente de la magnitud de los valores.

Problema 11 (T. central y dispersión)

9

d.- Si a todas las puntuaciones de una distribución les sumamos 7 unidades, la diferencia entre el nuevo P25 y el nuevo P20 quedará aumentada en 7 unidades. Verdadero ( ) Falso (X)

Falso. Se traslada toda la distribución 7 unidades a la derecha, en la recta numérica, pero la diferencia permanece igual.

Problema 11 (T. central y dispersión)

Examen 13: Problema 3

10

3. En un estudio sobre la estimación de la velocidad de un vehículo, se midió el error de estimación (en km/h) cometido por sujetos con experiencia (experto) y sin experiencia en la conducción (novel). A continuación se muestran los resultados obtenidos con el SPSS.

11

Examen 13: Problema 3

Examen 13: Problema 3 a.- Hacer un estudio comparado de la simetría de ambas distribuciones a partir de los

índices correspondientes y de sus respectivos diagramas de caja y bigotes.

Experto Novel

Índice (a3) 0,060 (~ 0) 0,066 (~ 0)

Caja y Bigotes

Caja centrada Caja centrada

Mediana centrada Mediana centrada

Sin puntuaciones atípicas Puntuaciones atípicas (extremo inferior de las puntuac.)

Asimetría negativa

DECISIÓN D. simétrica DECISIÓN D. asimétrica negativa

Ambas distribuciones tienen la caja centrada en los bigotes, la mediana centrada en la caja y su índice de asimetría muy próximo a 0. Además, en la distribución de los expertos no hay puntuaciones atípicas, por lo que podemos decir que se trata de una distribución SIMÉTRICA. Por el contrario, en la distribución de nóveles hay dos puntuaciones atípicas (moderadas) en el extremo inferior de las puntuaciones, lo que indicaría una moderada ASIMETRÍA NEGATIVA.

13

b.- Si, tanto en experto como en novel, deseamos dividir a los sujetos en cuatrogrupos iguales en función de su puntuación en el variable error de estimación, qué puntuación de corte utilizaremos.

Examen 13: Problema 3

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4

Experto error ≤-10 -10 < error ≤ 0 0 < error ≤10 error > 10

Novel error ≤-11,4 -11,4 <error ≤ -1,3 -1,3 <error ≤8,87 error > 8,87

GRUPOS

14

c.-¿Existen sujetos con puntuaciones atípicas (moderadas y/o extremas) en ambas variables? En caso afirmativo, especifique, de forma aproximada, con qué puntuaciones se corresponden en cada variable. Sí, sólo en el grupo Novel. Casos 1 y 2, con valores entre -45 y -58 (valor del mínimo, ver en tabla de descriptivos).

Examen 13: Problema 3

d.- ¿Cuántos sujetos con experiencia en conducción cometen un error de estimación igual o mayor a 20 km/h? Consideramos el error en valor absoluto:

56+16=72 60+16+1=77 TOTAL = 149

Experto Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 1,00 -4 . & 16,00 -3 . 00 60,00 -2 . 0000015& 157,00 -1 . 0000000000000112559& 135,00 -0 . 0001111112555899& 214,00 0 . 0000000000000013345789999& 137,00 1 . 00000000000345589& 56,00 2 . 0000348 16,00 3 . 04 Stem width: 10,00 Each leaf: 8 case(s)

Novel Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 2,00 Extremes (=<-45) 5,00 -4 . 0 43,00 -3 . 00012& 127,00 -2 . 000000000000125& 173,00 -1 . 000000000000001124559& 118,00 -0 . 00000111122559& 187,00 0 . 0000000000003458889999& 111,00 1 . 0000000003589& 44,00 2 . 00000& Stem width: 10,00 Each leaf: 8 case(s)

Examen 6: Problema 3

15

3.- Se llevó a cabo un estudio para analizar la situación de la educación en la Comunidad de Madrid. Para ello, se evaluaron 20 colegios situados en zona rural y otros 20 en zona urbana. Entre otras variables, se registró el número medio de alumnos por aula (numero), el tiempo medio de permanencia del profesorado en elmismo centro (tiempo) y la existencia de instalaciones deportivas (deporte). A continuación se muestran los resultados obtenidos mediante varios análisis realizados con el SPSS para Windows. A partir de ellos, responda a las siguientes cuestiones:

16

Examen 6: Problema 3 Número Tiempo Deporte

Media 20,67 Media 9,60 Media 0,57

Media recortada 5% 20,58 Media recortada 5% 9,30 Media recortada 5% 0,58

Mediana 20,50 Mediana 9,50 Mediana 1,00

Moda 12,00 Moda 10,00 Moda 1,00

Varianza 62,07 Varianza 16,50 Varianza 0,25

Desv. típ. 7,87 Desv. típ. 4,06 Desv. típ. 0,50

Mínimo 8,00 Mínimo 4,00 Mínimo 0,00

Máximo 34,00 Máximo 21,00 Máximo 1,00

Rango 26,00 Rango 17,00 Rango 1,00

Amplitud intercuartil 17,25 Amplitud intercuartil 5,7 Amplitud intercuartil 1,00

Asimetría 0,19 Asimetría 1,00 Asimetría -0,32

Percentil 25 12,50 Percentil 25 6,25 Percentil 25 0,00

Percentil 50 20,50 Percentil 50 9,50 Percentil 50 1.00

Percentil 75 29,75 Percentil 75 12,00 Percentil 75 1,00

a.- Describa la forma de la distribución de la variable tiempo en términos deasimetría y apuntamiento.

Examen 6: Problema 3

40N = TIEMPO

30

20

10

0

14

Tiempo

Índice (a3) 1 (> 0) Asimetría positiva

Caja y Bigotes

Caja desplazada (zona puntuaciones bajas)

Asimetría positiva

Mediana ligeramente desplazada hacia Q3

Ligera asimetría negativa

Puntuación atípica (en extremo superior de las puntuaciones)

Asimetría positiva

DECISIÓN D. asimétrica (positiva)

A pesar de que la mediana está ligeramente desplazada hacia de Q3, el resto de los indicadores apuntan a una ASIMETRÍA POSITIVA: la caja está muy desplazada hacia la zona de puntuaciones bajas, hay una punt. atípica en los valores altos y el índice de asimetría es superior a 0.

18

b.- Elija y justifique, para las variables tiempo y deporte, el estadístico de tendencia central y el de variabilidad que considere más adecuado.

Tiempo: variable cuantitativa con distribución asimétrica positiva. Tendencia central: mediana (9,50). Variabilidad: AI (5,7) ó ASI (2,85) Deporte: variable cualitativa. Tendencia central: moda (1, no sabemos si corresponde a tener o a no tener instalaciones deportivas). Variabilidad: ninguno.

c.- Si se desea seleccionar el 25 por ciento de los colegios con menor

número de alumnos (número), ¿qué criterio deberíamos considerar?

Elegiríamos los colegios que tienen un número medio de alumnos por aula inferior a 12,5

Examen 6: Problema 3

Percentil 25 12,50

19

d.- ¿Cuántos colegios tienen una permanencia media del profesorado de 5 años? 4 colegios 1. La anchura del tallo es 10 (un tallo de 0 y una hoja de 5, informa

del valor 5) 2. Son 4 hojas y cada hoja es un caso, como indica la última línea

del diagrama

Examen 6: Problema 3

Tiempo Frequencia Tallo y Hojas 2,00 0 44 18,00 0 . 555566667777888889 17,00 1 00000011222223344 1,00 1 . 8 1,00 2 0 1,00 Extremes (21) Anchura tallo: 10,00 Cada hoja: 1 caso(s

20

3.- A continuación se muestran los resultados obtenidos en un estudio realizado sobre el rendimiento laboral en un grupo de 109 ingenieros aeronáuticos y otro de 109 ingenieros de caminos. Elegir y justificar para cada una de las distribuciones el estadístico de tendencia central y de variabilidad más adecuado y comparar los resultados obtenidos.

Examen 12: Problema 3

Estadísticos

64,9200 70,1600 67,0000 74,0000 9,27000 10,57000

85,98000 111,76000 -1,080 -1,290

,336 ,213 35,00 39,00

11,50 11,50

65,590 70,96

Media Mediana Desv. típ. Varianza Asimetría Curtosis Rango Rango entre cuartos (IQR)

Media recortada al 5%

Ingenieros de caminos

Ingenieros aeronáuticos

Examen 12: Problema 3

Ingenieros aeronáuticos Ingenieros de caminos

Índice (a3)

-1,290 (< 0) Asimetría negativa -1,080 (< 0)

Asimetría negativa

Caja y Bigotes Caja desplazada (zona de puntuaciones altas)

Asimetría negativa

Caja desplazada (zona de puntuaciones altas)

Asimetría negativa

Mediana desplazada (hacia Q3)

Asimetría negativa

Mediana ligeramente desplazada (hacia Q3)

Asimetría negativa

Gran cantidad de puntuaciones atípicas (zona puntuaciones bajas)

Asimetría negativa

Algunas puntuaciones atípicas (zona puntuaciones bajas)

Asimetría negativa

DECISIÓN D. asimétrica (negativa) DECISIÓN

D. asimétrica (negativa)

Examen 12: Problema 3 Simetría Todos los indicadores no informan de que ambas distribuciones son marcadamente ASIMÉTRICAS NEGATIVAS (alto valor de a3, caja y mediana desplazada hacia los valores altos y puntuaciones atípicas en la zona de las puntuaciones bajas); no obstante, dicha asimetría es más marcada en la distribución de los ingenieros aeronáuticos ya que presenta un valor absoluto mayor de a3, mayor nº de valores atípicos y un desplazamiento mayor, tanto de la caja como de la mediana. Ingenieros aeronáuticos: variable cuantitativa con distribución asimétrica negativa. Tendencia central: mediana (74). Variabilidad: AI (11,5) ó ASI (5,75) Ingenieros de caminos: variable cuantitativa con distribución asimétrica negativa. Tendencia central: mediana (67). Variabilidad: AI (11,5) ó ASI (5,75)

COMPARACIÓN El rendimiento laboral de los ingenieros aeronáuticos es, en su conjunto, mayor que el de los ingenieros de camino. La variabilidad de las distribuciones, considerando las distancia entre el Q3 y Q1 (AI) es similar. Si analizamos la amplitud total, es mayor en los ingenieros aeronáuticos que en los de caminos.

23

3.- Para entrar a formar parte en un proceso de selección de personal para una empresa de transportes, se evaluó a todos los candidatos mediante un test de aptitud general. Pasaron a formar parte del proceso todos los que obtuvieron una puntuación en dicho test superior a 18 puntos. De entre los 55 candidatos resultantes, se decidió elegir a todos los sujetos que tuviesen en un test de aptitud espacial una puntuación superior a una desviación típica por encima de la media del grupo. A partir de los resultados obtenidos que se muestran a continuación, conteste razonadamente a las siguientes preguntas:

Examen 10: Problema 3

Aptitud generalAptitud espacial

Media 34,14 Media 9,47 Media recortada al 5% 33,97 Media recortada al 5% 9,17 Mediana 34,00 Mediana 8,50 Moda 23,00 Moda 5,75 Varianza 91,12 Varianza 17,00 Desv. típ. 9,54 Desv. típ. 4,12 Mínimo 19,00 Mínimo 4,75 Máximo 53,00 Máximo 19,60 Rango 34,00 Rango 14,85 Amplitud intercuartil 16,00 Amplitud intercuartil 4,85 Asimetría 0,31 Asimetría 1,22

Aptitud general

Media 48,70

Media recortada al 5% 48,66

Mediana 48,50

Moda 47,00

Varianza 5,56

Desv. típ. 2,35

Mínimo 45,00

Máximo 53,00

Rango 8,00

Amplitud intercuartil 3,25

Asimetría 0,32

GRUPO DE LOS SELECCIONADOS GRUPO DE LOS 55 CANDIDATOS

24

Examen 10: Problema 3

55N =

GENERAL

60

50

40

30

20

10 55N =

ESPACIAL

30

20

10

0

512

29 2211

10N =

GENERAL

60

50

40

30

20

10

GRUPO DE LOS 55 CANDIDATOS

GRUPO DE LOS SELECCIONADOS

25

a.- ¿Qué índices de tendencia central y variabilidad son más adecuados para describir la aptitud general y espacial de la muestra de los 55 candidatos? Especifique su valor.

Examen 10: Problema 3

Aptitud general

Índice (a3)

0,31 (> 0) Ligera asimetría positiva

Caja y Bigotes

Caja ligeramente desplazada (zona de puntuaciones bajas)

Ligera asimetría positiva

Mediana ligeramente desplazada (hacia Q1)

Ligera asimetría positiva

No hay puntuaciones atípicas

DECISIÓN D. aproximad. simétrica

Simetría La mediana está ligeramente desplazada hacia el Q1 y la caja está ligeramente desplazada hacia la zona de valores bajos; además el índice de asimetría vale 0,33. Todo ello nos indicaría una asimetría positiva pero tan ligera que podríamos considerar la distribución APROXIMADAMENTE SIMÉTRICA (ó LIGERAMENTE ASIMÉTRICA POSITIVA). Aptitud general: variable cuantitativa con distribución aproximadamente simétrica. Tendencia central: media (34,14). Variabilidad: desviación típica (9,54) ó varianza (91,12).

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