Espacio vectorial, Apuntes de Matemáticas. Universidad de Cádiz (UCA)
cabaco95
cabaco95

Espacio vectorial, Apuntes de Matemáticas. Universidad de Cádiz (UCA)

12 páginas
10Número de visitas
Descripción
Asignatura: matematicas, Profesor: Loreto del aguila, Carrera: Enología, Universidad: UCA
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 12
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 12 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 12 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 12 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 12 páginas totales
Descarga el documento

1 El espacio vecorial IRn

1.1. Deniciones

Denición 1.1.1 Sea V un conjunto no vacío. Se dice que V es un espacio vectorial sobre IR si:

1. En V hay denida una operación interna llamada suma, tal que se verican las siguientes propiedades:

a) Asociativa: (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w) ∀~u,~v, ~w ∈ V .

b) Conmutativa: ~u+ ~v = ~v + ~u, ∀~u,~v ∈ V .

c) Existencia de elemento neutro: existe ~0 ∈ IRn/~u+~0 = ~u, ∀~v ∈ V .

d) Existencia de elemento opuesto: ∀~u ∈ V, existe −~u ∈ V , tal que ~u + (−~u) = (−~u) + ~u = ~0.

2. En V hay denida una operación externa, producto por un escalar, vericando:

a) λ(~u+ ~v) = λ~u+ λ~v, ∀λ ∈ IR, ~u, ~v ∈ V .

b) (λ+ µ)~u = λ~u+ µ~u ∀λ, µ ∈ IR, ~u ∈ V .

c) λ(µ~u) = (λµ)~u, ∀λ, µ ∈ IR, ~u ∈ V .

d) 1 ~u = ~u, ∀~u ∈ V .

A los elementos de V se les llama vectores y a los de IR escalares.

Denición 1.1.2 El conjunto IRn se dene como

IRn =

~x =  x1...

xn

 /x1, x2, . . . , xn ∈ IR  .

Cada vector ~x ∈ IRn es una matriz columna. IRn con las operaciones suma de matrices y producto de una matriz por un número real verica los axiomas de la

denición de espacio vectorial, siendo ~0 =

 0... 0

 y −~x =  −x1... −xn

. 1.2. Dependencia e independencia lineal de vectores

Denición 1.2.1 El conjunto de vectores {~u1, ~u2, . . . , ~up} ⊂ IRn se dice que es un conjunto linealmente dependiente o que los vectores ~u1, ~u2, . . . , ~up ∈ IRn son linealmente dependientes si existen λ1, λ2, . . . , λp ∈ IR no todos nulos tales que se verica

λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λp~up = ~0.

Denición 1.2.2 Dados ~u1, ~u2, . . . , ~up ∈ IRn y λ1, λ2, . . . , λp ∈ IR, a la expresión

λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λp~up,

se le llama combinación lineal de los vectores ~u1, ~u2, . . . , ~up.

Apuntes de Matemáticas I

Dados los vectores de IR3 ~u1 =

 11 1

 , ~u2 =  1−1

2

 , ~u3 =  10

3

 , demostrar que son linealmente dependientes.

Solución:

Una combinación lineal de los vectores igualada a ~0,

λ1~u1 + λ2~u2 + λ3~u3 = ~0,

λ1

 11 1

+ λ2  1−1

2

+ λ3  13

0

 =  00

0

 , da lugar al sistema homogéneno

λ1 + λ2 + λ3 = 0 λ1 − λ2 + 3λ3 = 0 λ1 + 2λ2 = 0.

El sistema es compatible indeterminado, las innitas soluciones son λ1 = −2α λ2 = α λ3 = α

, α ∈ IR.

Existen innitas combinaciones lineales de ~u1, ~u2, ~u3 iguales a ~0. Los vectores son

linealmente dependientes.

Ejemplo 1.

Denición 1.2.3 El conjunto de vectores {~u1, ~u2, . . . , ~up} ⊂ IRn se dice que es un conjunto linealmente independiente o que los vectores ~u1, ~u2, . . . , ~up ∈ IRn son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos que vale ~0 es la que tiene todos los coecientes nulos, es decir,

λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λp~up = ~0, λ1, λ2, . . . , λp ∈ IR⇒ λ1 = λ2 = · · · = λp = 0.

Dados los vectores ~u1 =

 11 0

 , ~u2 =  1−1

2

 , ~u3 =  10

3

 , demostrar que son linealmente independientes.

Solución:

Una combinación lineal de los vectores igualada a ~0,

λ1

 11 0

+ λ2  1−1

2

+ λ3  13

0

 =  00

0

 , da lugar al sistema homogéneno

λ1 + λ2 + λ3 = 0 λ1 − λ2 + 3λ3 = 0

2λ2 = 0.

El sistema es compatible determinado, la única solución es la trivial λ1 = λ2 = λ3 = 0. Los vectores son linealmente independientes.

Ejemplo 2.

Grado en Enología. UCA 2

Apuntes de Matemáticas I

1.3. Sistema de generadores, base y dimensión de IRn

Denición 1.3.1 El conjunto U = {~u1, ~u2, . . . , ~up} ⊂ IRn forma un sistema de generadores de IRn o que los vectores ~u1, ~u2, . . . , ~up generan el espacio IR

n, si todo vector ~u ∈ IRn se puede expresar como combinación lineal de los vectores pertenen- cientes a U , es decir, existen λ1, λ2, . . . , λp ∈ IR tales que

~u = λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λp~up.

Comprobar que el conjunto

U =

  10

0

 ,  0−1

1

 ,  00

1

 ,  10

2

 ⊂ IR3 forma un sistema de generadores de IR3. Solución:

Sea ~x =

 x1x2 x3

 ∈ IR3. La combinación lineal igualada a ~x

λ1

 10 0

+ λ2  0−1

1

+ λ3  00

1

+ λ4  10

2

 =  x1x2

x3

 , da lugar al sistema no homogéneo

λ1 + λ4 = x1 − λ2 = x2

λ2 + λ3 + 2λ4 = x3

donde λ1, λ2, λ3, λ4 son las incógnitas. La matriz ampliada del sistema es:

(A|B) =

 1 0 0 1 x10 −1 0 0 x2 0 1 1 2 x3

 Como rg(A) = rg(A|B) = 3, el sistema es compatible, U es sistema de generadores de IR3.

Ejemplo 3.

Denición 1.3.2 Se dice que U = {~u1, . . . , ~un} ∈ IRn es una base de IRn si y solo si los vectores ~u1, . . . , ~un forman sistema de generadores y son linealmente independientes.

Teorema 1.3.1 n vetores linealmente independientes de IRn forman una base de IRn.

Comprobar que el conjunto U =

  11

0

 ,  1−1

2

 ,  10

3

 es una base de IR3. Solución:

Se trata de tres vectores de IR3 linealmente independientes, forman base de IR3.

Ejemplo 4.

Grado en Enología. UCA 3

Apuntes de Matemáticas I

Denición 1.3.3 Todas las bases de IRn tienen n vectores. Se dice que n es la dimensión de IRn y se representa por

dim(IRn) = n.

1.4. Coordenadas de un vector respecto a una base y dependencia lineal

Teorema 1.4.1 Sea B = {~u1, . . . , ~un} una base de IRn. Todo vector ~u ∈ IRn se puede expresar de manera única como combinación lineal de los vectores de B.

~u = λ1~u1 + · · ·+ λn~un.

A λ1, . . ., λn se les llama coordenadas de ~u respecto de la base B.

Denición 1.4.1 A la base

Bc =



 1 0 0 ... 0

 , 

0 1 0 ... 0

 , . . . , 

0 0 0 ... 1



 se le llama base canónica de IRn.

Hallar las coordenadas de

 12 3

 respecto de la base

B =

  11

0

 ,  00

1

 ,  02

1

 . Solución:

Hay que calcular λ1, λ2, λ3 tales que

λ1

 11 0

+ λ2  00

1

+ λ3  02

1

 =  12

3

 . El sistema 

λ1 = 1 λ1 + + 2λ3 = 2

λ2 + λ3 = 3

tiene solución única. La matriz ampliada: 1 0 0 11 0 2 2 0 1 1 2

 ∼  1 0 0 10 1 0 3/2

0 0 1 1/2

 Las coordenadas del vector respecto de la base B son λ1 = 1, λ2 = 5/2, λ3 = 1/2. Se representa:  12

3

 Bc

=

 13/2 1/2

 B

.

Ejemplo 5.

Grado en Enología. UCA 4

Apuntes de Matemáticas I

Teorema 1.4.2 Sea el conjunto de vectores U = {~u1, ~u2, . . . , ~up} ⊂ IRn y A la matriz cuyas las (o columnas) están formadas por las coordenadas de los vectores de U . Entonces

~u1, ~u2, . . . , ~up son linealmente independientes⇔ rg(A) = p = no de vectores.

Analizar la dependencia o independencia lineal de los vectores: 11 1

 ,  1−1

2

 ,  13

0

 ∈ IR3. Solución:

Colocando los vectores por columnas:

A =

 1 1 11 −1 3 1 2 0

 ∼  1 1 10 1 −1

0 0 0

 , Rg(A) = 2 < 3 = no de vectores, son linealmente dependientes.

Ejemplo 6.

Analizar la dependencia o independencia lineal de los vectores: 11 1

 ,  1−1

2

 ∈ IR3. Solución:

Colocando los vectores por las:

A =

( 1 1 1 1 −1 2

) ∼ (

1 1 1 0 −2 1

) ,

Rg(A) = 2 = no de vectores, son linealmente independientes.

Ejemplo 7.

Teorema 1.4.3 (Teorema fundamental de dependencia lineal).

~u1, . . . , ~up ∈ IRn son linealmente independientes⇒ p ≤ n.

Observación 1.4.1 La condición p ≤ n es condición necesaria para que los vec- tores sean linealmente independientes.

p > n⇒ ~u1, . . . , ~up son linealmente dependientes.

Analizar la dependencia o independencia lineal de los vectores:( 1 1

) ,

( 1 2

) ,

( 1 0

) ∈ IR2.

Solución:

Tres vectores de IR2, son linealmente dependientes.

Ejemplo 8.

Grado en Enología. UCA 5

Apuntes de Matemáticas I

Teorema 1.4.4 Sea el conjunto de vectores U = {~u1, ~u2, . . . , ~up} ⊂ IRn. Sea A la matriz cuyas las (o columnas) son las coordenadas de los vectores de U . Entonces

~u1, ~u2, . . . , ~up forman un sistema de generadores⇔ rg(A) = n.

Averiguar si el conjunto

U =

  10

0

 ,  0−1

1

 ,  1−1

1

 ⊂ IR3 forma un sistema de generadores de IR3. Solución:

Sea

A =

 1 0 10 −1 −1 0 1 1

 . Como rg(A) = 2 < 3 = no de vectores, U no es sistema de generadores de IR3.

Ejemplo 9.

Teorema 1.4.5

~u1, . . . , ~up ∈ IRn forman un sistema de generadores de IRn ⇒ p ≥ n.

Observación 1.4.2 La condición p ≥ n es condición necesaria para que los vec- tores formen un sistema de generadores de IRn.

p < n⇒ {~u1, . . . , ~up} no es un sistema de generadores de IRn.

Averiguar si el conjunto U =

  10

0

 ,  0−1

1

 ⊂ IR3 forma un sistema de generadores de IR3. Solución:

Dos vectores de IR3 no pueden formar sistema de generadores de IR3.

Ejemplo 10.

1.4.1. Resumen

Sea U = {~u1, . . . , ~up} ∈ IRn. Se verica:

U es s.g. de IRn ⇒ p ≥ n p < n ⇒ U no es s.g. de IRn

U es l.i. ⇒ p ≤ n p > n ⇒ U no es l.i. (es l.d.)

U es base ⇒ p = n p 6= n ⇒ U no es base

SeaA la matriz cuyas las (o columnas) son las coordenadas de los vectores ~u1, . . . , ~up. Se verica:

U es l.i. ⇔ rg(A) = p U es s.g. ⇔ rg(A) = n U es base ⇔ rg(A) = n = p

Grado en Enología. UCA 6

Apuntes de Matemáticas I

1.5. Subespacios vectoriales. Denición

Denición 1.5.1 Sea y sea F ⊂ IRn, F 6= ∅. Entonces se dice que F es un subespa- cio vectorial de IRn, si a su vez F es un espacio vectorial sobre IR con las mismas operaciones de IRn.

Teorema 1.5.1 Dado ∅ 6= F ⊂ IRn es un subespacio vectorial de IRn si, y solo si

∀~u,~v ∈ F, α, β ∈ IR⇒ α~u+ β~v ∈ F.

Demostrar que el conjunto F =

{( x x

) ∈ IR2/α ∈ IR

} , es un subespacio vec-

torial de IR2. Solución:

F 6= ∅. Sean ( x1 x1

) ,

( x2 x2

) ∈ F , α, β ∈ IR. Entonces:

α

( x1 x1

) + β

( x2 x2

) =

( αx1 + βx2 αx1 + βx2

) ∈ F.

Ejemplo 11.

Denición 1.5.2 F = {θ} = {~0} y el mismo IRn son dos subespacios vectoriales de IRn llamados triviales. Los demás se llaman propios.

Observación 1.5.1 Los subespcios vectoriales F ⊂ IRn poseen dimensión y bases. Además

0 ≤ dim(F ) ≤ n.

Calcular la dimensión y una base del subespacio F =

{( x x

) /x ∈ IR

} ⊂ IR2.

Solución:

dim(F ) = 1 y una base B =

{( 1 1

)} .

Ejemplo 12.

1.6. Subespacios generados por un conjunto de vectores

Denición 1.6.1 Dado el conjunto de vectores U = {~v1, ~v2, . . . , ~vp} ⊂ IRn, se dene el subespacio vectorial generado por los vectores del conjunto U y se denota por

F =< ~v1, ~v2, . . . , ~vp >,

al subespacio vectorial formado por todos los vectores que son combinación lineal de los vectores de U , es decir,

F = {~v ∈ IRn/existen λ1, . . . , λp ∈ IR/~v = λ1~v1 + · · ·+ λp~vp}.

Al conjunto U se le llama conjunto generador de F o que los vectores ~v1, ~v2, . . . , ~vp generan F .

Grado en Enología. UCA 7

Apuntes de Matemáticas I

Calcular el subespacio F generado por los vectores

 11 0

 ,  00

1

 Soolución:

F =

α  11

0

+ β  00

1

 /α, β ∈ IR  =

  αα

β

 /α, β ∈ IR  .

Ejemplo 13.

1.6.1. Dimensión y base

Teorema 1.6.1 Sea F =< ~u1, ~u2, . . . , ~up >, y A la matriz cuyas las son las coordenadas de ~u1, . . . , ~up. Entonces:

1. dim(F ) = rg(A).

2. Las las no nulas de una matriz escalonada equivalente por las a A son los vectores de una base de F .

Calcular la dimensión y una base del subespacio

F =<

 13 4

 ,  26

8

 ,  25

7

 >⊂ IR3. Solución:

Sea A =

 1 3 42 6 8 2 5 7

 ∼  1 3 40 1 1

0 0 0

 . La dim(F ) = 2 y una base BF =

  13

4

 ,  01

1

 .

Ejemplo 14.

Observación 1.6.1 Las las no nulas de la matriz de Hermite de A también es una base de F .

Calcular la dimensión y una base del subespacio

F =<

 13 4

 ,  26

8

 ,  25

7

 >⊂ IR3. Solución:

Sea A =

 1 3 42 6 8 2 5 7

 ∼  1 3 40 1 1

0 0 0

 ∼  1 0 10 1 1

0 0 0

 . La dim(F ) = 2 y una base BF =

  10

1

 ,  01

1

 .

Ejemplo 15.

Grado en Enología. UCA 8

Apuntes de Matemáticas I

1.7. Ecuaciones paramétricas de un subespacio

Denición 1.7.1 Sea F ⊂ IRn un subespacio vectorial y B = {~v1, . . . , ~vp} una base o un sistema de generadores de F (p ≥ n). Sea

~v1 =

 v11 v21

... vn1

 , ~v2 = 

v12 v22

... vn2

 , . . . ~vp = 

v1p v2p

... vnp

 .

Para todo vector ~x =

 x1 x2 ...

xn

 ∈ F , existen λ1, λ2, . . . , λp ∈ IR tales que 

x1 x2 ...

xn

 = λ1 

v11 v21

... vn1

+ · · ·+ λp 

v1p v2p

... vnp

 .

Unas ecuaciones paramétricas de F son:

 x1 = v11λ1+ v12λ2+ · · ·+ v1pλp x2 = v21λ1+ v22λ2+ · · ·+ v2pλp ...

... ...

xn = vn1λ1+ vn2λ2+ · · ·+ vnpλp

Calcular unas ecuaciones paramétricas del subespacio F generado por los vectores 13 4

 ,  26

8

 ,  25

7

 . Solución:

Se tiene para todo

 x1x2 x3

 ∈ F :  x1x2

x3

 = λ1  13

4

+ λ2  26

8

+ λ3  25

7

 . Unas ecuaciones paramétricas de F :

x1 = λ1 + 2λ2 + 2λ3 x2 = 3λ1 + 6λ2 + 5λ3 x3 = 4λ1 + 8λ2 + 7λ3

Ejemplo 16.

Observación 1.7.1 Las ecuaciones paramétricas de un subespacio no son únicas.

Grado en Enología. UCA 9

Apuntes de Matemáticas I

Calcular unas ecuaciones paramétricas del subespacio F generado por los vectores 13 4

 ,  26

8

 ,  25

7

 . Solución:

Se tiene dim(F ) = 2 y una base BF =

  13

4

 ,  01

1

 . Unas ecuaciones paramétricas de F son:

x1 = λ1 x2 = 3λ1 + λ2 x3 = 4λ1 + λ2

Ejemplo 17.

1.8. Ecuaciones cartesianas o implícitas de un subespacio

Teorema 1.8.1 Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo: a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0

... ...

... ...

... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

El conjunto formado por todas las soluciones del sistema es un subespacio vectorial de IRn.

Denición 1.8.1 El conjunto de las ecuaciones del sistema homogéneo se dice que son las ecuaciones cartesianas o implícitas del subespacio.

Observación 1.8.1 Al resolver el sistema se obtienen las ecuaciones paramétricas del susbespacio. Por tanto las ecuaciones paramétricas de un subespacio se pueden interpretar como las soluciones de cierto sistema de ecuaciones homogéneo.

Calcular las ecuaciones paramétricas, una base y la dimensión del subespacio

vectorial F ⊂ IR3 formado por las soluciones del sistema

x1 + x2 + x3 = 0.

Solución:

Resolviendo el sistema se obtienen las ecuaciones paramétricas: x1 = −α− β x2 = α x3 = β

Una base B =

  −11

0

 ,  −10

1

 , dim(F ) = 2.

Ejemplo 18.

Teorema 1.8.2 Sea F ⊂ IRn un subespacio vectorial. Se verica:

no de ecuaciones cartesianas = n− dim(F ).

Grado en Enología. UCA 10

Apuntes de Matemáticas I

Observación 1.8.2 Por el número de ecuaciones cartesianas se entiende como el número de ecuaciones de un sistema escalonado equivalente. Se trata de un sistema en el que no se pueden eliminar ecuaciones por transformaciones elementales.

Calcular la dimensión del subespacio F ⊂ IR3 cuyas ecuaciones cartesianas son x +2y +3z = 0 x −y = 0 −x −z = 0

Solución:

A =

 1 2 31 −1 0 −1 9 −1

 ∼  1 2 30 1 1

0 9 0

 dim(F ) = 3− no de ecuaciones = 1.

Ejemplo 19.

Calcular el número de ecuaciones cartesianas de F =<

 13 4

 ,  01

1

 >. Solución:

n o

de ecuaciones: = 3− dim(F ) = 3− rg (

1 3 4 0 1 1

) = 1.

Ejemplo 20.

1.8.1. De ecuaciones paramétricas a cartesianas

Dadas las ecuaciones paramétricas de un subespacio vectorial, las ecuaciones carte- sianas se obtienen eliminando los parámetros.

Calcular las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial que tiene las siguientes

ecuaciones paramétricas:  x1 = λ1 x2 = 3λ1 + λ2 x3 = 4λ1 + λ2

Solución:

Estas ecuaciones se pueden considerar como un sistema compatible no homogéneo

de tes ecuaciones e incógnitas λ1, λ2, λ3. La matriz ampliada:

(A|B) =

 1 0 x13 1 x2 4 1 x3

 ∼  1 0 x10 1 x2 − 3x1

0 0 −x1 − x2 + x3

 . Para que el sistema sea compatible debe ocurrir que x1 + x2 − x3 = 0. Esta es la ecuación implícita del subespacio.

Ejemplo 21.

Grado en Enología. UCA 11

Apuntes de Matemáticas I

1.9. Intersección y suma se dsubespacios

Denición 1.9.1 La intersección de dos subespacios U ∈ IRn y W ∈ IRn es el conjunto

U ∩ V = {~u ∈ IRn/~u ∈ U, ~u ∈W}.

Teorema 1.9.1 La intersección de subespacios vectoriales de IRn es un subespacio vectorial de IRn.

Observación 1.9.1 Las ecuaciones caresianas del subespacio intersección U ∩W es el conjunto de las ecuaciones cartesianas de U y W .

Calcular la dimensión y las ecuaciones cartesianas del subespacio U ∩W , donde

U = {(x1, x2, x3) ∈ IR3/x1+x2+x3 = 0}, W =<

 11 1

 ,  11

0

 ,  −1−1

1

 > . Solución:

Una base y dimensión de W : 1 1 11 1 0 −1 −1 1

 ∼  1 1 00 0 1

0 0 0

 .

dim(W ) = 2 y una base es B =

  11

0

 ,  00

1

. Unas ecuaciones paramétricas son

 x1 = α x2 = α x3 = β

y la ecuación cartesiana

x1 − x2 = 0.

Unas ecuaciones cartesianas de U ∩W son:

U ∩W ≡ { x1 + x2 + x3 = 0 x1 − x2 = 0.

Ejemplo 22.

Denición 1.9.2 La suma de dos subespacios U ∈ IRn y W ∈ IRn es el conjunto

U +W = {~u+ ~w/~u ∈ U, ~w ∈W}.

Observación 1.9.2 Un sistema de generadores de U + W está formado por un sistema de generadores de U y otro de W .

Calcular la dimensión de U +W , donde

U = {(x1, x2, x3) ∈ IR3/x1 + x2 + x3 = 0}

y

W =<

 11 1

 ,  00

1

 > .

Ejemplo 23.

Grado en Enología. UCA 12

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 12 páginas totales
Descarga el documento