Examen algebra linael, Ejercicios de Álgebra Lineal. Universidad de Málaga (UMA)
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Examen algebra linael, Ejercicios de Álgebra Lineal. Universidad de Málaga (UMA)

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Asignatura: Algebra Lineal, Profesor: Ignacio Ignacio, Carrera: Doble Grado en Ingeniería Mecánica e Ingeniería en Diseño Industrial y Desarrollo del Producto, Universidad: UMA
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ÁLGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga. Febrero 2014

Apellidos: Nombre:

Especialidad: Grupo: D.N.I :

1. Dados los subespacios vectoriales U y V de R3:

U ≡ x− 2z = 0, V ≡< {(0,−3, 0), (2, 1, 3), (2,−2, 5)} >

a) Calcula las ecuaciones cartesianas y la dimensión del subespacio U ∩ V . b) Calcula las ecuaciones cartesianas y una base del subespacio U + V .

2. Sea f : R2 → R3 la aplicación dada por f(x, y) = (x+ y, x− y, y).

a) Define qué es el núcleo de f y calcula una base.

b) Define qué es la imagen de f y calcula una base.

c) Halla la matriz de f en las bases canónicas de R2 y R3. d) Calcula la matriz de f respecto de las bases {(2, 3), (−1, 0)} y la canónica de R3.

3. En una isla aislada la población de dos especies en simbiosis crecen a lo largo de los años, siendo xn y yn la cantidad de individuos en el año n de cada especie respectivamente. Inicialmente x0 = 100, y0 = 200. Se ha podido constatar que cualquiera que sea el año n la población vaŕıa del año n al año n+ 1 de acuerdo a las ecuaciones:

xn+1 = −xn + 2yn, yn+1 = 2xn − yn.

Teniendo en cuenta que estas ecuaciones pueden expresarse matricialmente como:

 xn+1 yn+1

=  −1 2

2 −1

1 xn yn

=  −1 2

2 −1

2 xn−1 yn−1

= ··· =  −1 2

2 −1

n+1 x0 y0

 Halla los términos generales de xn y de yn y calcula x300.

4. Se consideran las rectas:

r ≡ {

x− y + z = 1 2x+ y − z = 2 s ≡

x− 2 3

= y + 1

2 = z

a

Halla a para que exista un plano que contenga a r y sea perpendicular a s. Calcula, en tal caso, la ecuación de dicho plano.

5. a) Calcula la ecuación de un giro en R2 de centro C(2,−3) y ángulo π/4. Calcula el trans- formado de la recta x− 2y = 5 mediante dicho giro.

b) Clasifica el siguiente movimiento de R2 y calcula sus elementos.( y1 y2

) =

( −3/5 −4/5 −4/5 3/5

)( x1 x2

) +

( 3 1

) 6. Dada la cuádrica 3x2 + 3z2 + 4xy + 8xz + 4yz + 5x = 0

a) Clasif́ıcala mediante diagonalización ortogonal, encontrando su ecuación reducida.

b) Describe cuál fue el movimiento obtenido para centrar la cuádrica y calcula su centro.

7. Resuelve: { x′1(t) = −x1(t) + 2x2(t) x′2(t) = 2x1(t)− x2(t)

x1(0) = 5, x2(0) = −3.

Normas del examen:

Razona todas las respuestas.

Todas las preguntas valen la misma puntuación.

No se puede escribir a lápiz ni en rojo.

Pon el nombre en todas las hojas y entrégalas numeradas.

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