Examen Problemas Final 2014, Ejercicios de Álgebra. Universitat Politècnica de Catalunya. BarcelonaTech (UPC)
angel_collado-1
angel_collado-1

Examen Problemas Final 2014, Ejercicios de Álgebra. Universitat Politècnica de Catalunya. BarcelonaTech (UPC)

PDF (38 KB)
6 páginas
1Número de descargas
1Número de visitas
Descripción
Asignatura: Algebra, Profesor: Juan Rodriguez Jordana, Carrera: Enginyeria Geomàtica i Topografia, Universidad: UPC
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 6
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 6 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 6 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 6 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 6 páginas totales
Descarga el documento
Java Printing

EPSEB-EGT EXAMEN D'ÀLGEBRA 2 07/01/15

1) Donat el sistema sobredeerminat de matriu A =

1 0

0 1

2 0

0 2

i vector de termes independents b =

1

1

1

1

a) Calculeu el sistema normal multiplicant per AT i resoleu-lo mitjançant descomposició LU. b) Feu la descomposició QR de la matriu A i resoleu el sistema QRX=b mitjancant aquesta descomposició. a) El sistema normal és ATAX = ATb .

N = ATA = 5 0

0 5 , T = ATb =

3

3

La descomposició LU de la matriu N és L = 1 0

0 1 , U =

5 0

0 5

La solució del sistema Ld = T és d = 3

3

La solució del sistema UX = d és X =

3 5

3 5

b) La descomposició QR de la matriu A és Q =

1 5

5 0

0 1 5

5

2 5

5 0

0 2 5

5

, R = 5 0

0 5

QTb =

3 5

5

3 5

5 . La solució del sistema RX = QTb és X =

3 5

3 5

2) Es tracta de trobar la transformació bidimensional que transforma els punts p1=(-1, 2) , p2=(2, 2) , p3=(2, -2), p4=(-1, -2), p5=(-2, 0) en els punts pt1=(-7.5, 1.8), pt2=(-4.4, 0) , pt3=(-6.9, -3.7), pt4=(-10.2, -1.8), pt5=(-9.6, 0.7) respectivament. a) Escriviu la matriu A i el vector U del sistema sobredeterminat AX=U, amb els paràmetres de la transformació com a incògnites, per una transformació de semblança, una afí, una bilineal i una projectiva bidimensional. b) Plantegeu la resolució mitjançant el sistema normal i mitjançant descomposició QR. c) Plantegeu el cálcul de l'angle de rotació d'eixos, el factor de la homotècia i el vector de translació d'eixos.

a) Per una transformació de semblança A =

K1 2 1 0

2 1 0 1

2 2 1 0

2 K2 0 1

2 K2 1 0

K2 K2 0 1

K1 K2 1 0

K2 1 0 1

K2 0 1 0

0 2 0 1

Per una transformació afí A =

K1 2 0 0 1 0

0 0 K1 2 0 1

2 2 0 0 1 0

0 0 2 2 0 1

2 K2 0 0 1 0

0 0 2 K2 0 1

K1 K2 0 0 1 0

0 0 K1 K2 0 1

K2 0 0 0 1 0

0 0 K2 0 0 1

Per una transformació bilineal A =

K1 2 0 0 K2 0 1 0

0 0 K1 2 0 K2 0 1

2 2 0 0 4 0 1 0

0 0 2 2 0 4 0 1

2 K2 0 0 K4 0 1 0

0 0 2 K2 0 K4 0 1

K1 K2 0 0 2 0 1 0

0 0 K1 K2 0 2 0 1

K2 0 0 0 0 0 1 0

0 0 K2 0 0 0 0 1

Per una transformació projectiva bidimensional A =

K1 2 0 0 K7.5 15.0 1 0

0 0 K1 2 1.8 K3.6 0 1

2 2 0 0 8.8 8.8 1 0

0 0 2 2 0 0 0 1

2 K2 0 0 13.8 K13.8 1 0

0 0 2 K2 7.4 K7.4 0 1

K1 K2 0 0 K10.2 K20.4 1 0

0 0 K1 K2 K1.8 K3.6 0 1

K2 0 0 0 K19.2 0. 1 0

0 0 K2 0 1.4 K0. 0 1

En tots els casos, U =

K7.5

1.8

K4.4

0

K6.9

K3.7

K10.2

K1.8

K9.6

0.7

b1) Resolució del sistema normal per al cas de la transformació de semblança

N = ATA, T = ATU Paràmetres de la transformació X = NK1T

b2) Descomposició QR=A

Paràmetres de la transformació X = RK1QTU

c) Si els paràmetres de la transformació de semblança estimats per mínims quadrats són X =

X1

X2

X3

X4

,

Angle de rotació d'eixos

α = arctan X2 X1

Raó de la homotècia: λ = X1 2CX2

2

Vector de translació d'eixos (en el sistema girat i amb la nova escala) t = KX3

KX4

3) Sigui la forma quadràtica q x, y, z = 16x2K9y2 K144 z2

a) Classifiqueu la forma quadràtica

La matriu és

16 0 0

0 K9 0

0 0 K144

. Com que els vaps són 16, -9 i -144, es tracta d'una forma quadràtica no

definida

b) Trobeu la cònica q(x, y, 1)=0 que resulta de fer z=1. De quina cònica es tracta?

Es tracta de la hipèrbola: 16x2K9y2 = 144 , o bé: x 2

9 K

y2

16 = 1

c) Escriviu les equacions d'una transformació d'eixos a =2 composada d'una trnslació d'eixos de vector (3,5) seguida d'una rotació de 30º

X

Y =

1 2

3 1 2

K 1 2

1 2

3

xK3

yK5

c) Trobeu l'equació de la cònica després d'aplicar l'anterior transformació.

La transformació inversa és

x= 1 2

3 XK 1 2

YC3

y= 1 2

XC 1 2

3 YC5

Substituint a l'equació de la hipèrbola 16x2K9y2 = 144 :

16 1 2

3 XK1 2

YC3 2 K9 1

2 XC 1

2 3 YC5

2 =144

Desenvolupnat: 39 4

X2K11 4

Y2K25 2

3 XYC 48 3 K45 XK 48 C45 3 YK225 = 0

4) Un vaixell surt de Barcelona B(41º23' N, 7º7' E) i arriba a Tunisia T(36º50' N, 10º9' E) circulant per un cercle màxim

Nomenem N el pol nord. Del triangle de vèrtexs B, N i T coneixem els dos costats t i b i l'angle comprès N

fgr d evalf Pi 180

:

t d 90K 41C 23 60

$fgr

0.8485209047

b d 90K 36C 50 60

$fgr

0.9279333857

N d 10C 9 60

K7K 7 60

$fgr

0.05294165398 Es tracta del cas 3, que es resol amb les fòrmules del grup I.

a) Quina distància, en milles nàutiques, ha recorregut? Es tracta de calcular el costat n cn d cos t $cos b Csin t $sin b $cos N

0.9960070940

n d arccos cnfgr 5.121849197

La distància recorreguda en milles nàutiques és el costat n expressat en minuts = 307.3 milles nàutiques

b) Quin ha estat el rumb de partida? Es tracta de calcular el vèrtex B

cB d cos b Kcos t $cn

sin t . 1Kcn2 K0.8802964131

B d arccos cB fgr

151.6781403 %Kfloor % $60

40.688418 %Kfloor % $60

41.305080 El rumb de partida és de 151º40'41''

comentarios (0)
No hay comentarios
¡Escribe tú el primero!
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 6 páginas totales
Descarga el documento