Exámenes de muestra: prueba 1 y prueba 2 Matemática Nivel Medio primeros exámenes en 2, Exámenes selectividad de Matemáticas

¡Descarga Exámenes de muestra: prueba 1 y prueba 2 Matemática Nivel Medio primeros exámenes en 2 y más Exámenes selectividad en PDF de Matemáticas solo en Docsity!   Matemáticas Nivel Medio Exámenes de muestra: prueba 1 y prueba 2 Para primeros exámenes en 2014 ÍNDICE Ejemplos de preguntas de Matemáticas Nivel Medio: prueba 1 Ejemplo de esquema de calificación de Matemáticas Nivel Medio: prueba 1 Ejemplos de preguntas de Matemáticas Nivel Medio: prueba 2 Ejemplo de esquema de calificación de Matemáticas Nivel Medio: prueba 2 SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX– 3 – Véase al dorso 0312 2. [Puntuación máxima: 5] Sobre un estante hay nueve libros. Para cada libro, x es el número de páginas, e y es el precio de venta en libras (£). Sea r el coeficiente de correlación. (a) Escriba los valores máximo y mínimo posibles de r . [2 puntos] (b) Sabiendo que 0,95r = , indique cuál de los siguientes diagramas representa mejor los datos. [1 punto] (c) Para los datos del diagrama D, ¿cuáles dos expresiones, entre las siguientes, describen la correlación entre x e y ? perfecta, nula, lineal, positiva fuerte, negativa fuerte, positiva débil, negativa débil [2 puntos] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x A B C D y y x y x y SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX– 4 – 0412 3. [Puntuación máxima: 6] Un coche de juguete se mueve con velocidad 1msv − durante seis segundos. Esto se muestra en el siguiente gráfico. v (m et ro s p or se gu nd o) y x v 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 t (segundos) (a) Escriba la velocidad del coche en el instante 3t = . [1 punto] (b) Halle la aceleración del coche en el instante 1,5t = . [2 puntos] (c) Halle la distancia total recorrida. [3 puntos] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX– 5 – Véase al dorso 0512 4. [Puntuación máxima: 5] Un conjunto de datos tiene una media de 20 y una desviación típica de 6. (a) Se suma 10 a cada valor del conjunto de datos. Escriba el valor de (i) la nueva media; (ii) la nueva desviación típica. [2 puntos] (b) Se multiplica por 10 cada valor del conjunto de datos original. (i) Escriba el valor de la nueva media. (ii) Halle el valor de la nueva varianza. [3 puntos] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX– 8 – 0812 7. [Puntuación máxima: 7] Dada 1( )f x x = , conteste a lo siguiente. (a) Halle las primeras cuatro derivadas de ( )f x . [4 puntos] (b) Escriba una expresión para ( ) ( )nf x en función de x y n . [3 puntos] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX– 9 – Véase al dorso 0912 NO escriba soluciones en esta página. SECCIÓN B (46 Puntos) Conteste todas las preguntas en las hojas de respuestas provistas. Empiece una página nueva para cada respuesta. 8. [Puntuación máxima: 15] Sea 2( ) 3( 1) 12f x x= + − . (a) Muestre que 2( ) 3 6 9f x x x= + − . [2 puntos] (b) Respecto al gráfico de f (i) escriba las coordenadas del vértice; (ii) escriba el punto de corte con el eje  y ; (iii) halle los puntos de corte con el eje  x . [7 puntos] (c) A partir de lo anterior dibuje aproximadamente el gráfico de f . [3 puntos] (d) Sea 2( )g x x= . El gráfico de f se puede obtener a partir del gráfico de g mediante las dos transformaciones siguientes un estiramiento de razón t en la dirección del eje  y , seguido de una traslación mediante p q       . Escriba p q       y el valor de t . [3 puntos] SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX– 10 – 1012 NO escriba soluciones en esta página. 9. [Puntuación máxima: 14] Se lanzan dos dados normales de seis caras. A continuación se muestra un diagrama que representa el espacio muestral. puntuación en el segundo dado puntuación en el primer dado 6 5 4 3 2 1 654321 Sea X   la suma de las puntuaciones de los dos dados. (a) (i) Halle P ( 6)X = . (ii) Halle P ( 6)X > . (iii) Halle P ( 7 | 6)X X= > . [6 puntos] (b) Elena juega a un juego en el que lanza dos dados. Si la suma es 6, gana 3 puntos. Si la suma es mayor que 6, gana 1 puntos. Si la suma es menor que 6, pierde k puntos. Halle el valor de k para el cual el juego es justo. [8 puntos] SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX/M 12 páginas ESQUEMA DE CALIFICACIÓN EXAMEN DE MUESTRA MATEMÁTICAS Nivel Medio Prueba 1 – 2 – SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX/M Instrucciones para los examinadores Siglas M Puntos otorgados por el intento de utilizar un método correcto. A Puntos otorgados por una respuesta o por la precisión; generalmente dependen de los puntos M precedentes. R Puntos otorgados por un razonamiento claro. N Puntos otorgados por respuestas correctas si no aparece ningún desarrollo. AG Respuesta incluida en la pregunta y, en consecuencia, no se otorgan puntos. Uso del Esquema de calificación 1 Información general Conceda puntos utilizando las anotaciones que se indican en el esquema de calificación; por ejemplo, M1, A2. 2 Puntuación por Método y por Respuesta/Precisión  No conceda automáticamente la puntuación máxima solo porque la respuesta sea correcta; es obligatorio comprobar todo el procedimiento y puntuar la pregunta según las directrices del esquema de calificación.  En general no es posible otorgar M0 seguido de A1, ya que los puntos A dependen de los puntos M precedentes, cuando los haya. Una excepción a esta norma se produce cuando no aparece trabajo para M1, al contrario de cuando este es incorrecto (ver apartado 4).  Cuando las puntuaciones M y A van sobre la misma línea, por ejemplo M1A1, esto significa generalmente M1 por el intento de usar un método adecuado (por ejemplo, sustitución en una fórmula) y A1 por usar los valores correctos.  Cuando existen dos o más puntuaciones A en la misma línea, se pueden otorgar de forma independiente; de manera que si el primer valor es incorrecto, pero los dos siguientes son correctos, se otorga A0A1A1.  Cuando en el esquema de calificación se especifica M2, N3, etc., no separe las notas, a menos que exista una observación.  Cuando aparece la respuesta correcta a una pregunta o a un apartado de una pregunta, ignore el resto del trabajo. – 3 – SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX/M 3 Puntos N Si no se muestra ningún desarrollo, otorgue puntos N a las respuestas correctas. En ese caso, ignore la distribución de notas (M, A, R).  No otorgue una mezcla de notas N y otras notas.  Pueden existir menos notas N disponibles que el total de notas M, A y R; esto se hace de forma deliberada para penalizar a los alumnos por no seguir las instrucciones respecto a que muestren el trabajo.  Si un alumno muestra un trabajo incorrecto que, de algún modo, le lleva a la respuesta correcta, no se deben otorgar puntos N a esa respuesta correcta. Sin embargo, si el alumno ha indicado (generalmente tachándolo) que el trabajo debe ser ignorado, otorgue los puntos N a la respuesta correcta. 4 Puntuación de arrastre de error (solo cuando se comete un error) Los puntos por coherencia (FT) se otorgan cuando una respuesta incorrecta de un apartado de una pregunta se utiliza de forma correcta en apartados o subapartados posteriores. Generalmente, para otorgar puntos FT debe aparecer un desarrollo, y no simplemente una respuesta final basada en la respuesta incorrecta del apartado anterior. Sin embargo, si la única puntuación que se puede otorgar en un subapartado es por la respuesta (es decir, no se requiere el desarrollo), entonces se deben otorgar los puntos FT si procede.  Dentro de un apartado de una pregunta, una vez que se comete un error, no se pueden otorgar más puntos A por el trabajo que utiliza el error, pero se pueden otorgar puntos M si procede.  Si la pregunta resulta mucho más sencilla debido a un error, entonces se ha de utilizar el propio criterio para otorgar menos puntos FT.  Si el error lleva a un valor inadecuado (por ejemplo, probabilidad mayor que 1, uso de 1r  para la suma infinita de una progresión geométrica, sen 1,5  , un valor no entero cuando se requiere un entero), entonces no se debe otorgar la puntuación de la respuesta final.  En el esquema de calificación puede aparecer la expresión “del alumno” en una descripción, para indicar que el alumno podría estar utilizando un valor incorrecto.  Las excepciones a esta norma vendrán indicadas explícitamente en el esquema de calificación.  Un alumno comete un error en un apartado, pero obtiene la respuesta o respuestas correctas en los apartados posteriores, se otorgan puntos cuando proceda, a menos que la pregunta diga a partir de lo anterior. Con frecuencia, es posible utilizar en apartados posteriores un enfoque distinto, que no depende de la solución obtenida en los apartados previos. 5 Error de lectura Si un alumno copia de forma incorrecta la información de la pregunta, se considera un error de lectura (MR). Se ha de aplicar una penalización MR de 1 punto a esa pregunta.  Si la pregunta resulta mucho más sencilla debido al error de lectura (MR), entonces se ha de utilizar el propio criterio para otorgar menos puntos.  Si el error de lectura (MR) lleva a un valor inadecuado (por ejemplo, probabilidad mayor que 1, uso de 1r  para la suma infinita de una progresión geométrica, sen 1,5  , un valor no entero cuando se requiere un entero), entonces no se debe otorgar la puntuación de la respuesta final.  El error que el alumno pueda cometer al copiar su propio trabajo no constituye un error de lectura, sino un error. – 6 – SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX/M SECCIÓN A 1. (a) 1 AE AD 2    A1 intento de hallar AD  M1 p. ej. AB BD    , u v 1 AE ( ) 2   u v 1 1 2 2        u v A1 N2 [3 puntos] (b) 1 ED AE ( ) 2     u v A1 DC 3   v A1 intento de hallar EC  M1 p. ej. ED DC    , 1 ( ) 3 2  u v v 1 7 EC 2 2   u v 1 ( 7 ) 2        u v A1 N2 [4 puntos] Total [7 puntos] 2. (a) el valor mínimo de r es 1 , el valor máximo de r es 1 A1A1 N2 [2 puntos] (b) C A1 N1 [1 punto] (c) lineal, negativa fuerte A1A1 N2 [2 puntos] Total [5 puntos] – 7 – SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX/M 3. (a) 4 1(ms ) A1 N1 [1 punto] (b) reconocer que la aceleración es la pendiente M1 p. ej. 4 0 (1, 5) 2 0 a    N1 22 (ms )a  A1 N1 [2 puntos] (c) reconocer que es el área bajo la curva M1 p. ej. trapecio, triángulos, integración sustitución correcta A1 p. ej. 6 0 1 (3 6)4, ( ) d 2 v t t  distancia 18 (m) A1 N2 [3 puntos] Total [6 puntos] 4. (a) (i) la nueva media es 20 10 30  A1 N1 (ii) la nueva desviación típica es 6 A1 N1 [2 puntos] (b) (i) la nueva media es 20 10 200  A1 N1 (ii) MÉTODO 1 la varianza es 36 A1 la nueva varianza es 36 100 3600  A1 N2 [3 puntos] MÉTODO 2 la nueva desviación típica es 60 A1 la nueva varianza es 260 3600 A1 N2 [3 puntos] Total [5 puntos] – 8 – SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX/M 5. (a) intento de utilizar sustitución o comparación M1 p. ej. 1 exu   por tanto d e d xu x  desarrollo correcto A1 p. ej. d ln u u u  ln (1 e )x C  A1 N3 [3 puntos] (b) MÉTODO 1 intento de utilizar sustitución o comparación M1 p. ej. sea sen3u x d    3cos3 d u x x  A1 21 1 d         3 3 2 u u u C   A1 2sen 3 sen3 cos3 d 6 x x x x C  A1 N2 [4 puntos] MÉTODO 2 intento de utilizar sustitución o comparación M1 p. ej. sea cos3u x d 3sen3 d u x x   A1 21 1 d 3 3 2 u u u C     A1 2cos 3 sen3 cos3 d 6 x x x x C  A1 N2 [4 puntos] MÉTODO 3 reconocer la fórmula del ángulo doble M1 desarrollo correcto A1 p. ej. 1 sen 6 2 x cos6 sen6 d 6 x x x C    A1 1 cos6 sen6 d 2 12 x x x C    A1 N2 [4 puntos] Total [7 puntos] – 11 – SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX/M 9. (a) (i) el número de formas de obtener 6X  es 5 A1 5 P( 6) 36 X   A1 N2 (ii) el número de formas de obtener 6X  es 21 A1 21 7 P( 6) 36 12 X         A1 N2 (iii) 6 2 P( 7 | 6) 21 7 X X          A2 N2 [6 puntos] (b) intento de hallar P( 6)X  M1 p. ej. 5 21 1 36 36   10 P( 6) 36 X   A1 juego justo si E( ) 0W  (puede aparecer en cualquier lugar) R1 intento de sustituir en la fórmula de E( )X M1 p. ej. 5 21 10 3 1 36 36 36 k                    sustitución correcta en E( ) 0W  A1 p. ej. 5 21 10 3 1 0 36 36 36 k                     desarrollo para la resolución M1 p. ej. 15 21 10 0k   36 10k A1 36 ( 3,6) 10 k   A1 N4 [8 puntos] Total [14 puntos] – 12 – SPEC/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX/M 10. (a) ( ) sen 3cosf x x x    A1A1 N2 [2 puntos] (b) (i) en A, ( ) 0f x  R1 desarrollo correcto A1 p. ej. sen 3cosx x tg 3x  A1 4 , 3 3 x    A1 intento de sustituir el valor de x obtenido en ( )f x M1 p. ej. 4 4 cos 3 sen 3 3              sustitución correcta A1 p. ej. 1 3 3 2 2          desarrollo correcto que lleve claramente a 2 A1 p. ej. 1 3 2 2   2q   AG N0 (ii) cálculos correctos para hallar ( )f x a ambos lados de 4 3 x   A1A1 p. ej. (π) 0 3, (2π) 0 3f f     ( )f x cambia de signo, de negativa a positiva R1 por tanto A es un mínimo AG N0 [10 puntos] (c) máximo en 3 x   R1 sustitución correcta de 3 x   en ( )f x A1 p. ej. 1 3 3 2 2         el valor máximo es 2 A1 N1 [3 puntos] (d) 2r  , 3 a   A1A1 N2 [2 puntos] Total [17 puntos] SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX MATEMÁTICAS NIVEL MEDIO PRUEBA 2 EXAMEN DE MUESTRA INSTRUCCIoNES PARA loS AlUMNoS  Escriba su número de convocatoria en las casillas de arriba.  No abra esta prueba hasta que se lo autoricen.  En esta prueba es necesario usar una calculadora de pantalla gráfica.  Sección A: conteste todas las preguntas en las casillas provistas.  Sección B: conteste todas las preguntas en las hojas de respuesta provistas. Escriba su número de convocatoria en cada una de las hojas de respuestas, y adjúntelas a este cuestionario de examen y a su portada empleando los cordeles provistos.  Cuando termine el examen, indique en la casilla correspondiente de la portada el número de hojas que ha utilizado.  Salvo que se indique lo contrario en la pregunta, todas las respuestas numéricas deberán ser exactas o aproximadas con tres cifras significativas.  Se necesita una copia sin anotaciones del cuadernillo de fórmulas de Matemáticas NM para esta prueba.  la puntuación máxima para esta prueba de examen es [90 puntos]. 11 páginas 1 hora 30 minutos © International Baccalaureate organization 2012 Código del examen X X X X – X X X X Número de convocatoria del alumno 0 0 0112 SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX– 4 – 0412 3. [Puntuación máxima: 6] Una variable aleatoria X está normalmente distribuida con media 450. Se sabe que P( ) 0,27X a> = . (a) Represente toda esta información sobre el siguiente diagrama. [3 puntos] (b) Sabiendo que la desviación típica es 20, halle a . Dé la respuesta aproximando al número entero más cercano. [3 puntos] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX– 5 – Véase al dorso 0512 4. [Puntuación máxima: 7] Considere las rectas 1L , 2L , 3L , y 4L , de ecuaciones. 1L : 1 3 2 2 3 1 x y t z            = + −                  2L : 1 3 2 2 3 1 x y p z            = +                  3L : 0 1 1 2 0 x y s z a −           = +           −      4L : 6 4 2 x y q z −       =       −    (a) Escriba la recta que es paralela a 4L . [1 punto] (b) Escriba el vector de posición del punto de intersección entre 1L y 2L . [1 punto] (c) Sabiendo que 1L es perpendicular a 3L , halle el valor de a . [5 puntos] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX– 6 – 0612 5. [Puntuación máxima: 7] La probabilidad de obtener cara en una moneda trucada es de 0,4. Se lanza la moneda 600 veces. (a) (i) Escriba la media del número de caras. (ii) Halle la desviación típica del número de caras. [4 puntos] (b) Halle la probabilidad de que el número de caras obtenido diste de la media menos de una desviación típica. [3 puntos] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX– 9 – Véase al dorso 0912 NO escriba soluciones en esta página. SECCIÓN B (43 Puntos) Conteste todas las preguntas en las hojas de respuestas provistas. Empiece una página nueva para cada respuesta. 8. [Puntuación máxima: 13] Una fábrica registra, diariamente, el número ( x ) de cajas que produce y el costo total de producción ( y ) dólares. Los resultados obtenidos durante nueve días se muestran en la siguiente tabla. x 26 44 65 43 50 31 68 46 57 y 400 582 784 625 699 448 870 537 724 (a) Escriba la ecuación de la recta de regresión de y sobre x . [2 puntos] Utilice esta recta de regresión como modelo para contestar a lo siguiente. (b) Interprete el significado de (i) la pendiente; (ii) el punto de corte con el eje y . [2 puntos] (c) Estime el costo de producir 60 cajas. [2 puntos] (d) La fábrica vende las cajas a $19,99 cada una. Halle el menor número de cajas que debe producir la fábrica en un día para obtener beneficio. [3 puntos] (e) Comente sobre la conveniencia de usar el modelo para (i) estimar el costo de producir 5000 cajas; (ii) estimar el número de cajas producidas cuando el costo total de producción es de $540. [4 puntos] SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX– 10 – 1012 NO escriba soluciones en esta página. 9. [Puntuación máxima: 16] Sea 2 1( ) , 1 1 xh x x x − = ≠ − + . (a) Halle 1( )h x− . [4 puntos] (b) (i) Dibuje aproximadamente el gráfico de h para 4 4x− ≤ ≤ y 5 8y− ≤ ≤ , incluyendo todas las asíntotas. (ii) Escriba las ecuaciones de las asíntotas. (iii) Escriba el punto de corte del gráfico de h con el eje x . [7 puntos] (c) Sea R la región del primer cuadrante encerrada por el gráfico de h , el eje x y la recta 3x = . (i) Halle el área de R . (ii) Escriba una expresión para el volumen obtenido haciendo girar R 360 alrededor del eje x . [5 puntos] SPEC/5/MATME/SP2/ENG/TZ0/XX– 11 – 1112 NO escriba soluciones en esta página. 10. [Puntuación máxima: 14] Una roca cae desde lo alto de un acantilado. Sea h su altura en metros sobre el suelo, a los t segundos. La siguiente tabla muestra valores de h y t . t (segundos) 1 2 3 4 5 h (metros) 105 98 84 60 26 (a) Jane opina que la función 3 2( ) 0,25 2,32 1,93 106f t t t t= − − + + es un modelo adecuado para describir los datos. Utilice el modelo de Jane para (i) escribir la altura del acantilado; (ii) hallar la altura de la roca después de 4,5 segundos; (iii) hallar cuántos segundos han transcurrido cuando la altura de la roca es de 30 m. [5 puntos] (b) Kevin opina que la función 2( ) 5,2 9,5 100g t t t= − + + es un modelo más adecuado para describir los datos. Utilice el modelo de Kevin para hallar el instante en que la roca llega al suelo. [3 puntos] (c) (i) Utilizando papel milimetrado, sitúe los datos de la tabla usando una escala de 1 cm para 1 segundo y 1 cm para 10 m. (ii) Comparando los gráficos de f y g con los datos representados, explique cuál de las funciones constituye el mejor modelo para la altura de la roca que cae. [6 puntos] – 2 – SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX/M Instrucciones para los examinadores Siglas M Puntos otorgados por el intento de utilizar un método correcto. A Puntos otorgados por una respuesta o por la precisión; generalmente dependen de los puntos M precedentes. R Puntos otorgados por un razonamiento claro. N Puntos otorgados por respuestas correctas si no aparece ningún desarrollo. AG Respuesta incluida en la pregunta y, en consecuencia, no se otorgan puntos. Uso del Esquema de calificación 1 Información general Conceda puntos utilizando las anotaciones que se indican en el esquema de calificación; por ejemplo, M1, A2. 2 Puntuación por Método y por Respuesta/Precisión  No conceda automáticamente la puntuación máxima solo porque la respuesta sea correcta; es obligatorio comprobar todo el procedimiento y puntuar la pregunta según las directrices del esquema de calificación.  En general no es posible otorgar M0 seguido de A1, ya que los puntos A dependen de los puntos M precedentes, cuando los haya. Una excepción a esta norma se produce cuando no aparece trabajo para M1, al contrario de cuando este es incorrecto (ver apartado 4).  Cuando las puntuaciones M y A van sobre la misma línea, por ejemplo M1A1, esto significa generalmente M1 por el intento de usar un método adecuado (por ejemplo, sustitución en una fórmula) y A1 por usar los valores correctos.  Cuando existen dos o más puntuaciones A en la misma línea, se pueden otorgar de forma independiente; de manera que si el primer valor es incorrecto, pero los dos siguientes son correctos, se otorga A0A1A1.  Cuando en el esquema de calificación se especifica M2, N3, etc., no separe las notas, a menos que exista una observación.  Cuando aparece la respuesta correcta a una pregunta o a un apartado de una pregunta, ignore el resto del trabajo. – 3 – SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX/M 3 Puntos N Si no se muestra ningún desarrollo, otorgue puntos N a las respuestas correctas. En ese caso, ignore la distribución de notas (M, A, R).  No otorgue una mezcla de notas N y otras notas.  Pueden existir menos notas N disponibles que el total de notas M, A y R; esto se hace de forma deliberada para penalizar a los alumnos por no seguir las instrucciones respecto a que muestren el trabajo.  Si un alumno muestra un trabajo incorrecto que, de algún modo, le lleva a la respuesta correcta, no se deben otorgar puntos N a esa respuesta correcta. Sin embargo, si el alumno ha indicado (generalmente tachándolo) que el trabajo debe ser ignorado, otorgue los puntos N a la respuesta correcta. 4 Puntuación de arrastre de error (solo cuando se comete un error) Los puntos por coherencia (FT) se otorgan cuando una respuesta incorrecta de un apartado de una pregunta se utiliza de forma correcta en apartados o subapartados posteriores. Generalmente, para otorgar puntos FT debe aparecer un desarrollo, y no simplemente una respuesta final basada en la respuesta incorrecta del apartado anterior. Sin embargo, si la única puntuación que se puede otorgar en un subapartado es por la respuesta (es decir, no se requiere el desarrollo), entonces se deben otorgar los puntos FT si procede.  Dentro de un apartado de una pregunta, una vez que se comete un error, no se pueden otorgar más puntos A por el trabajo que utiliza el error, pero se pueden otorgar puntos M si procede.  Si la pregunta resulta mucho más sencilla debido a un error, entonces se ha de utilizar el propio criterio para otorgar menos puntos FT.  Si el error lleva a un valor inadecuado (por ejemplo, probabilidad mayor que 1, uso de 1r  para la suma infinita de una progresión geométrica, sen 1,5  , un valor no entero cuando se requiere un entero), entonces no se debe otorgar la puntuación de la respuesta final.  En el esquema de calificación puede aparecer la expresión “del alumno” en una descripción, para indicar que el alumno podría estar utilizando un valor incorrecto.  Las excepciones a esta norma vendrán indicadas explícitamente en el esquema de calificación.  Un alumno comete un error en un apartado, pero obtiene la respuesta o respuestas correctas en los apartados posteriores, se otorgan puntos cuando proceda, a menos que la pregunta diga a partir de lo anterior. Con frecuencia, es posible utilizar en apartados posteriores un enfoque distinto, que no depende de la solución obtenida en los apartados previos. 5 Error de lectura Si un alumno copia de forma incorrecta la información de la pregunta, se considera un error de lectura (MR). Se ha de aplicar una penalización MR de 1 punto a esa pregunta.  Si la pregunta resulta mucho más sencilla debido al error de lectura (MR), entonces se ha de utilizar el propio criterio para otorgar menos puntos.  Si el error de lectura (MR) lleva a un valor inadecuado (por ejemplo, probabilidad mayor que 1, uso de 1r  para la suma infinita de una progresión geométrica, sen 1,5  , un valor no entero cuando se requiere un entero), entonces no se debe otorgar la puntuación de la respuesta final.  El error que el alumno pueda cometer al copiar su propio trabajo no constituye un error de lectura, sino un error. – 4 – SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX/M 6 Métodos alternativos  Los métodos alternativos para el conjunto de la pregunta vienen indicados mediante MÉTODO 1, MÉTODO 2, etc.  Las soluciones alternativas para apartados de la pregunta se indican mediante BIEN . . . O. 7 Formas alternativas A menos que en la pregunta se especifique lo contrario, se han de aceptar las expresiones equivalentes.  Puesto que se trata de un examen internacional, se han de aceptar todas las formas de notación alternativas.  En el esquema de calificación, las expresiones equivalentes numéricamente o algebraica aparecerán generalmente escritas entre paréntesis inmediatamente después de la respuesta.  En el esquema de calificación, las respuestas simplificadas (que los alumnos con frecuencia no escriben en los exámenes), aparecerán generalmente entre paréntesis. Se deben otorgar puntos tanto a la forma que precede al paréntesis como a la forma entre paréntesis (si aparece). 8 Precisión de las respuestas Si el nivel de precisión viene especificado en la pregunta, se asignarán puntos por dar la respuesta con la precisión requerida. Existen dos tipos de errores de precisión y no debe concederse la puntuación de respuesta final si se cometen estos errores.  Errores de redondeo: solo se aplican a respuestas finales, no a los pasos intermedios.  Nivel de precisión: cuando no se especifica en la pregunta de examen, se aplica a las respuestas finales la regla general; es decir, salvo que se indique lo contrario en la pregunta, todas las respuestas numéricas deberán darse como valores exactos o con una aproximación de tres cifras significativas. 9 Calculadoras Para la Prueba 2 se requiere una calculadora de pantalla gráfica, pero las calculadoras con características de manipulación simbólica (por ejemplo, la TI-89) no están permitidas. Notación de las calculadoras La Guía de Matemáticas NM dice: Los alumnos deben utilizar siempre la notación matemática correcta y no la de las calculadoras. No se deben aceptar respuestas finales donde se utilice la notación de las calculadoras. Sin embargo, no se ha de penalizar el uso de la notación de las calculadoras en el desarrollo. En ocasiones los alumnos utilizan métodos distintos a los que aparecen en el esquema de calificación. A menos que la pregunta especifique un método, se debe corregir siguiendo el esquema de calificación cualquier otro método correcto utilizado. – 7 – SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX/M 2. (a) puntos de corte cuando ( ) 0f x  M1 (0,827; 0) (4,78; 0) (aceptar 0,827 4,78x x  ) A1A1 N3 [3 puntos] (b) A1A1A1 N3 Nota: Otorgue A1 al máximo señalado con el círculo, A1 a los cortes con el eje x señalados con círculos, A1 a la forma correcta ( y aproximadamente mayor que 3,14 ). [3 puntos] (c) la pendiente es 1,28 A1 N1 [1 punto] Total [7 puntos] – 8 – SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX/M 3. (a) A1A1A1 N3 Nota: Otorgue A1 a 450, A1 si a está situado a la derecha de la media, A1 al área 0,27. [3 puntos] (b) enfoque válido M1 p. ej. ( ) 1 ( ), 0,73P X a P X a    462,256a   A1 462a  A1 N3 [3 puntos] Total [6 puntos] 4. (a) 1L A1 N1 [1 punto] (b) 1 2 3           A1 N1 [1 punto] (c) elección de vectores directores correctos A1A1 p. ej. 3 2 1           , 1 2 a          reconocer que 0a b M1 sustitución correcta A1 p. ej. 3 4 0a    7a   A1 N3 [5 puntos] Total [7 puntos] – 9 – SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX/M 5. (a) (i) reconocer la binomial con 600, 0,4n p  M1 E( )   240X  A1 N2 (ii) sustitución correcta en la fórmula de la varianza o de la desviación típica A1 p. ej. 144, 600 0,4 0,6  la desviación típica   12 A1 N1 [4 puntos] (b) intento de hallar el rango de valores M1 p. ej. 240  1  2 228       252X  evidencia de un enfoque adecuado A1 p. ej. P( 251) P( 228)X X   (228 252) 0,662P X   A1 N2 [3 puntos] Total [7 puntos] – 12 – SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX/M SECCIÓN B 8. (a) 10,7 121y x  A1A1 N2 [2 puntos] (b) (i) costo adicional por caja (costo por unidad) A1 N1 (ii) costos fijos A1 N1 [2 puntos] (c) intento de sustituir en la ecuación de la regresión M1 p. ej. 10,7 60 121y    , 760,12y   costo $760 (aceptar $763, proveniente de valores con 3 cs) A1 N2 [2 puntos] (d) establecimiento de la inecuación (aceptar la ecuación) M1 p. ej. 19,99 10,7 121x x  12,94x   A1 13 cajas (aceptar 14, proveniente de 13,02x  , y el uso de valores con 3 cs) A1 N2 Nota: Excepción a la regla de FT: si se muestra el desarrollo, otorgue la A1 final a una solución entera, coherente con el valor de x del alumno. [3 puntos] (e) (i) sería una extrapolación, no es apropriado R1R1 N2 (ii) esta línea de regresión no puede predecir x a partir de y, no es apropriado R1R1 N2 [4 puntos] Total [13 puntos] – 13 – SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX/M 9. (a) 2 1 1 x y x    intercambio de x e y (en cualquier lugar del desarrollo) M1 p. ej. 2 1 1 y x y    desarrollo correcto A1 p. ej. 2 1xy x y   reagrupación de términos A1 p. ej. 1 2 , 1 (2 )x y xy x y x      1 1 ( ) 2 x h x x     A1 N2 [4 puntos] (b) (i) A1A1A1A1 N4 Nota: Otorgue A1 a los cortes con los ejes aproximadamente correctos, A1 a la forma correcta, A1 a las asíntotas, A1 al dominio y recorrido aproximadamente correctos. (ii) 1x   , 2y  A1A1 N2 (iii) 1 2 A1 N1 [7 puntos] (c) (i) área 2,06 A2 N2 (ii) intento de sustituir en la fórmula del volumen  2no aceptar d b a y x M1 volumen 2 3 1 2 2 1 d 1 x x x          A2 N3 [5 puntos] Total [16 puntos] – 14 – SPEC/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX/M 10. (a) (i) 106 m A1 N1 (ii) sustituir 4,5t  M1 44,9 mh  A1 N2 (iii) establecer una ecuación adecuada M1 p. ej. ( ) 30f t  4,91t  A1 N1 [5 puntos] (b) inferir que la altura es 0 A1 establecer una ecuación adecuada M1 p. ej. ( ) 0g t  5,39 st  A1 N2 [3 puntos] continúa…