Exámenes selectividad matemáticas ccss 2012 Galicia, Exámenes selectividad de Matemáticas
yerbamate
yerbamate

Exámenes selectividad matemáticas ccss 2012 Galicia, Exámenes selectividad de Matemáticas

14 páginas
479Número de visitas
Descripción
Consigue ahora los exámenes de selectividad matemáticas ccss para el curso 2012 de Galicia
20 Puntos
Puntos necesarios para descargar
este documento
Descarga el documento
Vista previa3 páginas / 14
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 14 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 14 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 14 páginas totales
Descarga el documento
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 14 páginas totales
Descarga el documento
Microsoft Word - SOLUCIÓNS E CRITERIOS DE AVALIACIÓN DO EXAME DE MATEMÁTICAS APLICA

PAU

XUÑO 2012

Código: 36

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

(Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos, exercicio 2 = 3 puntos, exercicio 3 = 2 puntos, exercicio 4 = 2 puntos)

OPCIÓN A

1) Decidimos investir unha cantidade de 15000 euros en bolsa, comprando accións de tres entidades A, B e C. Investimos en A o dobre que en B e en C xuntas. Transcorrido un ano, as accións da entidade A revalorizáronse un 3%, as de B un 4% e as de C perderon un 2% e, como consecuencia, obtivemos un beneficio de 380 euros. Determina canto investimos en cada unha das entidades.

2) A ganancia producida por unha máquina que durou 6 anos estímase pola función f (x) = ax 3 + bx2, 0 ! x ! 6 .

(f(x) representa a ganancia (en miles de euros) aos x anos de funcionamento, a e b son constantes) (a) Determina o valor de a e b , se se sabe que a función f(x) ten un punto de inflexión no punto (2, 32). (b) Se a = – 2 e b = 12, calcula o ano no que a máquina produciu a maior ganancia, ¿cal foi o valor da devandita

ganancia? Para estes valores, representa a gráfica da función f(x) en [0, 6].

3) Trátase contra unha determinada enfermidade ao 40% das árbores dunha parcela. Sábese que enferman o 5% das árbores tratadas e o 30% das non tratadas contra a enfermidade.

(a) Calcula a probabilidade de que non enferme unha árbore calquera da parcela. (b) Supoñamos que un 80% das árbores non están enfermas e que na parcela hai 625 árbores, ¿cal é a

probabilidade de que máis de 475 árbores desta parcela non estean enfermas?

4) Suponse que o número de telespectadores (en millóns) dun programa semanal de televisión, aproxímase a unha distribución normal, con desviación típica de 0´5 (millóns). A dirección do programa afirma que a media semanal de telespectadores que ven o citado programa é de, polo menos, 7 millóns. Para contrastar tal afirmación, obsérvase unha mostra de 10 semanas, obténdose unha media semanal de 6´54 millóns de telespectadores.

(a) Utilizando a mostra dada, calcula un intervalo do 95% de confianza para a media semanal de telespectadores dese programa.

(b) Formula un test para contrastar que a media semanal de telespectadores que ven o programa é a que afirma a dirección, fronte á alternativa de que é menor, ¿cal é a conclusión á que se chega, cun nivel de significación do 5%?

OPCIÓN B

1) Consideremos o seguinte sistema de inecuacións x !1, y ! x, x + y "10, 3y # 2x "10 . (a) Representa graficamente a rexión factible e calcula os seus vértices. (b) ¿En que punto ou puntos desa rexión alcanza os valores máximo e mínimo a función f (x,y ) = 2x ! 2y + 7 ?

2) Nun ámbito controlado, o tamaño dunha poboación de aves, P(t) (en centos), axústase á función

P(t) = t 2 ! 8t + 50, 0 " t "10

95 ! 250 t

, t >10

# $ %

&% , onde t é o tempo transcorrido en anos.

(a) ¿A partir de que ano crecerá a poboación P(t)? ¿Nalgún ano a poboación é mínima? (b) Determina o valor ao que tende a poboación de aves co paso do tempo. (c) Calcula o intervalo de tempo no que a poboación se mantén entre 5000 e 7500 aves.

3) O 40% dos aspirantes a un posto de traballo superou unha determinada proba de selección. Terminan sendo contratados o 80% dos aspirantes que superan esa proba e o 5% dos que non a superan.

(a) Calcula a porcentaxe de aspirantes ao posto de traballo que terminan sendo contratados. (b) Se un aspirante non é contratado, ¿cal é a probabilidade de que superase a proba de selección?

4) Realízase unha enquisa para determinar a intención de voto ao partido político MLM. Dos 2000 entrevistados, 600 din que votarán ao MLM.

(a) Calcula un intervalo do 95% de confianza para a proporción de futuros votantes a favor dese partido. (b) Unha información publicada por certa prensa afirma que “a intención de voto para ese partido é de, polo

menos, o 33%”. Formula un test para contrastar a devandita afirmación fronte a que a proporción de futuros votantes é inferior, tal como parece prognosticar a enquisa. ¿A que conclusión se chega, cun nivel de significación do 1%

PAU

SETEMBRO 2012

Código: 36

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

(Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos, exercicio 2 = 3 puntos, exercicio 3 = 2 puntos, exercicio 4 = 2 puntos)

OPCIÓN A

1) (a) Determina a matriz X sabendo que X !1 "Bt = A + B , sendo A = 1 1

0 !1 "

#$ %

&' , B = !1 1

1 1 "

#$ %

&' , Bt a matriz trasposta

de B e X !1 !a matriz inversa de X. (b) Dada

A = a 0

a 1

!

"# $

%& , calcula, se o hai, algún valor de “a” para o que se verifique que A2 sexa a matriz identidade.

2) A cantidade de auga (en centos de litros) que chega a unha depuradora para o seu procesado ao longo de certo día, vén estimada pola función C(t) = !2t

3 + 75t 2 ! 600t + 2000, 0 " t " 24 , onde t é o tempo en horas transcorrido a partir das 0:00 horas.

(a) Determina en que períodos se produce un aumento e unha diminución da cantidade de auga. (b) Calcula a cantidade máxima e mínima de auga. (c) Calcula o punto de inflexión e representa a gráfica da función C(t), 0 ! t ! 24.

3) Sábese queen certa poboación de persoas de 18 ou máis anos, o 60% está en contra da eutanasia.

(a) Realízase unha enquisa a unha mostra aleatoria de 150 persoas desa poboación, ¿cal é a probabilidade de que máis da mitade se manifeste en contra da eutanasia?

(b) Se nesa poboación o 68% son maiores de 65 anos e o 75% deles está en contra da eutanasia, ¿que porcentaxe dos que teñen entre 18 e 65 anos está en contra da eutanasia? 4) O tempo de espera para a realización de certa proba médica nun hospital segue unha distribución normal con desviación típica de 5 días. A xerencia afirma que “o tempo medio de espera para a realización da devandita proba é como máximo de 20 días”. Para contrastar esa afirmación tomouse unha mostra aleatoria de 100 pacientes que precisaban facerse a proba, resultando que o tempo medio de espera foi de 21 días.

(a) Formula un test para contrastar a hipótese que afirma a xerencia fronte a que o tempo medio foi superior. ¿A que conclusión se chega cun nivel de significación do 5%? ¿Chegaríase á mesma conclusión cun nivel de significación do 1%?

(b) Explica, no contexto do problema, en que consisten os erros de tipo I e de tipo II.

OPCIÓN B 1) Considérase a función f (x,y ) = x + 2y suxeita ás restricións: x + y ! 9; y " x ! 5; 2y # 4 " x; 0 ! x ! 6; y # 0

(a) Representa a rexión R do plano determinada polo conxunto de restricións e calcula os seus vértices. (b) Calcula os puntos de R onde a función alcanza os seus valores máximo e mínimo. Calcula eses valores. (c) Responde ao apartado anterior se se elimina a restrición y " 0 do anterior conxunto de restricións.

2) Nunha empresa a relación entre a produción x (expresada en miles de toneladas) e o custo medio de fabricación

C(x) (expresado en miles de euros) é do tipo C(x) = 2 + x + 9

x , 1! x !10 .

(a) Calcula a cantidade de produción que minimiza o custo medio de fabricación e o custo medio mínimo. (b) Calcula a cantidade de produción que maximiza o custo medio de fabricación e o custo medio máximo. (c) Se non desexan superar os 12 mil euros de custo medio de fabricación ¿entre que valores deberá estar

comprendida a produción?

3) A probabilidade de obter rendibilidade positiva no prazo dun ano cun fondo de investimento recentemente constituído é 0´4. Se no primeiro ano se obtivo rendibilidade positiva, a probabilidade de obtela no segundo ano é 0´6. A probabilidade de non obter rendibilidade positiva nin no primeiro nin no segundo ano é 0´48.

(a) ¿Que probabilidade hai de obter rendibilidade positiva no segundo ano? (b) Calcula a probabilidade de obter rendibilidade positiva nalgún dos dous anos.

4) (a) Quérese estimar a porcentaxe de españois que, tendo dereito a voto, non votarán nas próximas eleccións ao Parlamento Europeo. ¿Cal debe ser o tamaño da mostra para garantir unha marxe de erro non superior ao 2´5% cun nivel do 95% de confianza? (b) Selecciónase unha mostra aleatoria de 1540 españois con dereito a voto e deles 693 aseguran que non votarán nas próximas eleccións ao Parlamento Europeo. Calcula un intervalo do 95% de confianza para a porcentaxe de españois con dereito a voto que non votarán nas citadas eleccións. ¿Que erro máximo se está a cometer nesta estimación?

CONVOCATORIA DE XUÑO

OPCIÓN A EXERCICIO 1 (3 puntos)

– Formular o sistema: 1´50 puntos. – Resolución: 1´50 puntos.

EXERCICIO 2(3 puntos) (a) 1´25 puntos:

– Chegar a formular o sistema de dúas ecuacións coas dúas incógnitas “a” e “b”: 0´75 puntos. – Resolver o sistema, obtendo “a” e “b”: 0´50 puntos.

(b) 1´75 puntos: – Por calcular os puntos críticos: 0´25 puntos.– Por determinar o máximo: 0´25 puntos. – Comprobar que é máximo absoluto: 0´25 puntos. – Polo valor da ganancia máxima: 0´25 puntos. – Por reflexar na gráfica o punto de inflexión: 0´25 puntos. – Representación gráfica: 0´50 puntos.

EXERCICIO 3(2 puntos) (a) 0´75 puntos:

– Expresar o teorema das probabilidades totais e identificar cada unha das probabilidades da fórmula anterior: 0´50 puntos.

– Resultado final: 0´25 puntos. (b) 1´25 puntos:

– Formular a probabilidade pedida: 0´25 puntos. – Paso da binomial a normal: 0´50 puntos. – Corrección de medio punto: 0´25 puntos. – Tipificación e resultado: 0´25 puntos.

EXERCICIO 4(2 puntos) (a) 1 punto:

– Expresión do intervalo de confianza: 0´25 puntos. – Calcular numéricamente os extremos do intervalo: 0´50 puntos. – Responder á pregunta no contexto do problema: 0´25 puntos.

(b) 1 punto: – Especificar as hipóteses nula e alternativa: 0´25 puntos. – Establecer a rexión crítica: 0´25 puntos. – Avaliar o estatístico de contraste para a mostra dada: 0´25 puntos. – Conclusión: 0´25 puntos.

OPCIÓN B EXERCICIO 1(3 puntos) (a) 2 puntos:

– Vértices da rexión factible: 1 punto. – Representación gráfica da rexión factible: 1 punto (por debuxar as rectas e a rexión do plano limitada por elas

e os catro vértices). (b) 1 punto:

– Puntos da rexión nos que a función obxectivo alcanza o valor máximo: 0´75 puntos. – Punto da rexión no que alcanza o valor mínimo: 0´25 puntos.

EXERCICIO 2(3 puntos) (a) 1´25 puntos:

– Determinar a primeira derivada en cada un dos anacos da función: 0´75 puntos. – Responder á pregunta: ano a partir do que crece a poboación: 0´25 puntos. – Ano no que a poboación é mínima: 0´25 puntos.

(b) 0´75 puntos: – Calcular o límite da función: 0´50 puntos. – Por determinar o valor ao que tende a poboación de aves co paso do tempo: 0´25 puntos.

(c) 1 punto: – Solución no primeiro anaco: 0´50 puntos. – Solución no segundo anaco: 0´50 puntos.

EXERCICIO 3(2 puntos) (a) 1 punto:

– Aplicar o teorema das probabilidades totais: 0´50 puntos. – Cálculos e resultado final: 0´50 puntos.

(b) 1 punto: – Formulación da probabilidade pedida: 0´25 puntos. – Expresión da probabilidade condicionada anterior: 0´25 puntos. – Cálculos e resultado final: 0´50 puntos.

EXERCICIO 4 (2 puntos) (a) 1 punto:

– Expresión do intervalo de confianza: 0´25 puntos. – Calcular numéricamente os extremos do intervalo: 0´50 puntos. – Responder á pregunta no contexto do problema: 0´25 puntos.

(b) 1 punto: – Especificar as hipóteses nula e alternativa: 0´25 puntos. – Establecer a rexión crítica: 0´25 puntos. – Avaliar o estatístico de contraste para a mostra dada: 0´25 puntos. – Conclusión: 0´25 puntos.

CONVOCATORIA DE SETEMBRO

OPCIÓN A EXERCICIO 1 (3 puntos) (a) 2 puntos:

– Despexar a matriz X: 0´50 puntos. – Calcular a suma das matrices A e B: 0´25 puntos. – Calcular a matriz inversa de A+B: 0´75 puntos. – Obter a matriz X: 0´50 puntos.

(b) 1 punto: – Calcular a matriz A2: 0´25 puntos. – Formular a igualdade pedida: 0´25 puntos. – Resolver para calcular o valor de a: 0´50 puntos.

EXERCICIO 2(3 puntos) (a) 1´75 puntos:

– Determinar a primeira derivada: 0´25 puntos. – Calcular os puntos críticos:0´25 puntos. – Determinar os intervalos de crecemento e de decrecemento: 0´75 puntos. – Determinar os periodos de tempo pedidos: 0´50 puntos.

(b) 0´50 puntos: – Cantidade máxima e mínima de auga: 0´25 puntos por cada unha delas.

(c) 0´75 puntos: – Calcular o punto de inflexión: 0´25 puntos. – Representación gráfica da función: 0´50 puntos.

EXERCICIO 3(2 puntos) (a) 1´25 puntos:

– Formular a probabilidade pedida: 0´25 puntos. – Paso da binomial á normal: 0´50 puntos. – Corrección de medio punto: 0´25 puntos. – Tipificación e resultado final: 0´25 puntos.

(b) 0´75 puntos: – Resolver, ben coa definición da probabilidade condicionada ou co cadro de continxencia ou coa árbore: 0´75

puntos.

EXERCICIO 4(2 puntos) (a) 1’50 puntos:

– Especificar as hipóteses nula e alternativa: 0´25 puntos. – Establecer a rexión crítica: 0´25 puntos. – Avaliar o estatístico de contraste para a mostra dada: 0´25 puntos. – Conclusión para o nivel de significación do 5%: 0´25 puntos. – Rexión crítica e conclusión para o nivel do 1%: 0´50 puntos.

(b) 0´50 puntos: – Explicar, no contexto do problema, en que consisten os erros de tipo I e de tipo II: 0´25 puntos por cada un

deles. OPCIÓN B EXERCICIO 1(3 puntos) (a) 1´5 puntos:

– Vértices da rexión factible: 1 punto (0´50 puntos polos catro que intersecan aos eixes de coordenadas máis 0´50 puntos polos outros dous).

– Representación gráfica da rexión factible: 0´50 puntos (por debuxar as rectas e a rexión do plano limitada por elas e os correspondentes vértices).

(b) 0´75 puntos: – Punto da rexión no que a función obxectivo alcanza o valor máximo e valor máximo: 0´25 puntos. – Puntos da rexión nos que alcanza o valor mínimo e valor mínimo: 0´50 puntos.

(c) 0´75 puntos: – Sinalar a nova rexión factible co novo vértice: 0´25 puntos.– Punto da nova rexión no que a función obxectivo alcanza o valor máximo: 0´25 puntos. – Puntos da nova rexión nos que alcanza o valor mínimo: 0´25 puntos.

EXERCICIO 2(3 puntos) (a) 1´50 puntos:

– Determinar a primeira derivada: 0´25 puntos. – Calcular os puntos críticos: 0´25 puntos. – Xustificar que é un punto mínimo: 0´25 puntos. – Cantidade de produción que minimiza o custo medio: 0´25 puntos. – Valor mínimo da función: 0´25 puntos. – Polo custo medio mínimo: 0´25 puntos.

(b) 0´50 puntos: – Cantidade que maximiza o custo medio de fabricación: 0´25 puntos. – Custo medio máximo: 0´25 puntos.

(c) 1 punto: – Resolver a inecuación: 0´75 puntos. – Responder entre que valores estará comprendida a produción: 0´25 puntos.

EXERCICIO 3(2 puntos) (a) 1´25 puntos:

– Calcular a probabilidade de obter rendibilidade positiva no primeiro e no segundo ano: 0´50 puntos. – Obter a probabilidade pedida, utilizando ou o cadro de continxecia, ou a árbore e o teorema das

probabilidades totais: 0´75 puntos. (b) 0´75 puntos:

– Formular a probabilidade pedida: 0´25 puntos. – Expresión da probabilidade da unión anterior: 0´25 puntos. – Cálculos e resultado final: 0´25 puntos.

EXERCICIO 4 (2 puntos) (a) 1 punto:

– Formulación: 0´25 puntos. – Cálculo de n: 0´50 puntos. – Expresión do valor (e valores) enteiro de n: 0´25 puntos

(b) 1 punto: – Expresión do intervalo de confianza: 0´25 puntos. – Calcular numéricamente os extremos do intervalo: 0´50 puntos. – Erro máximo que se está a cometer nesta estimación: 0´25 puntos.

CONVOCATORIA DE XUÑO

O/A alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das dúas opcións (A ou B)

OPCIÓN A

Exercicio 1.(A puntuación máxima deste exercicio é 3 puntos)

Formular o sistema

x + y + z = 15000 x = 2 y + z( ) ! 3

100 x + 4

100 y " 2

100 z = 380

#

$

% %%

&

% % %

x + y + z = 15000 x " 2y " 2z = 0 3x + 4y " 2z = 38000

#

$ %

& %

1´50 puntos.

sendo x a cantidade investida na entidade A, y a cantidade investida na B e z na C (0´50 puntos por cada unha das tres ecuacións)Resolución (por calquera método) x = 10000, y = 3000, z = 2000. “Investimos 10000 euros na entidade A 0´50 puntos, 3000 na entidade B 0´50 puntos e 2000 na entidade C”0´50 puntos. Exercicio 2. (A puntuación máxima deste exercicio é 3 puntos) A ganancia producida por unha máquina estímase pola función f (x) = ax

3 + bx2 , 0!x! 6 (f(x) representa a ganancia (en miles de euros) aos x anos de funcionamento, a e b son constantes) (a) 1´25 puntos: Determina o valor de “a” e “b”, se se sabe que a función ten un punto de inflexión no punto (2,32) – Determinar a primeira e segunda derivada: !f (x) = 3ax

2 + 2bx; !!f (x) = 6ax + 2b 0´25 puntos. – Pola condición de punto de inflexión no punto x = 2: !!f (2) = 0 " 12a + 2b = 0 0´25 puntos. – Pola condición de que f(x) pasa polo punto (2, 32) f (2) = 32! 8a + 4b = 32 0´25 puntos.

– Resolver o sistema

6a + b = 0 2a + b = 8

! " #

obtendo o valor a = –2 0´25 puntos e b = 12 0´25 puntos.

(b) 1´75 puntos: Calcula o ano no que a máquina produciu a maior ganancia, ¿cal foi o valor da devandita ganancia? Representa a gráfica da función f(x) en [0, 6] – Polos puntos críticos:

!f (x) = "6x2 + 24x; !f (x) = 0# x 24 " 6x( ) = 0$ x = 0 y x = 4 0´25 puntos.

– Determinar o máximo: !!f (x) = "12x + 24, !!f (0) = 24 > 0; !!f (4) = "24 < 0 0´25 puntos, deducíndose que en x = 4 a función presenta un máximo e é absoluto xa que f(0) =0 e f(6) = 0 0´25 puntos, é dicir, “no cuarto ano de funcionamento a máquina produce a ganancia máxima”. – “A ganancia máxima ascendeu a 64000 euros0´25 puntos. – Representación gráfica da función 0´50 puntos., reflexando o punto de inflexión: 0´25 puntos. Recuperando a información que tiñamos sobre f(x), os puntos de corte co eixe x son (0, 0) e (6, 0). No punto (4, 64) hai un máximo, no punto (0, 0) un mínimo e no enunciado din que o punto (2, 32) é un punto de inflexión, o que reflexaremos na gráfica, (neste exercicio restábanse 0´25 puntos se se representaba unha parábola) Exercicio 3. (A puntuación máxima deste exercicio é 2 puntos) Trátase contra unha determinada enfermidade ao 40% das árbores dunha parcela. Enferman o 5% das árbores tratadas e o 30% das non tratadas (a) 0´75 puntos: Calcula a probabilidade de que non enferme unha árbora calquera da parcela – Definimos os sucesos, E: unha árbore enferma, T: unha árbore se trata contra a enfermidade. Os datos que nos dan son: P(T ) = 0´40, P(E /T ) = 0´05, P(E /T ) = 0´30

!"

#!"

$!"

%!"

&!"

'!"

(!"

)!"

!" #" $" %" &" '" (" )"

!" #"

#$ %" &'(

#& ) %*(

+& ,(

&( -.

/+ 0&

"#/+&,(&1-#$%/#")(#2/&

– Utilizar o teorema das probabilidades totais e sustituir os valores de cada probabilidade na fórmula anterior:

P(E) = P(T )P(E /T ) + P(T )P(E /T ) = 0´4 !0´95 + 0´6 !0´7 = 0´8 (0´50 puntos por identificar cada unha das probabilidades na fórmula anterior+ 0´25 puntos por chegar ao resultado final). Se se fai o diagrama de árbore, puntúase 0´25 puntos máis 0´50 puntos se se aplica ben a fórmula das probabilidades totais e se chega ao resultado final. Se se fai por medio de táboas, puntúase esta con 0´50 puntos máis 0´25 puntos polo resultado final. (b) 1´25 puntos: Supoñamos que un 80% das árbores non están enfermas e que na parcela hai 625 árbores, ¿cal é a probabilidade de que máis de 475 árbores desta parcela non estean enfermas? – Sexa a variable aleatoria binomial X = número de árbores enfermas, en mostras de 625 árbores.

X ! B(n = 625,p = 0´8) . – Formular a probabilidade pedida: P(X > 475) 0´25 puntos. – Paso da binomial á normal:

X ! B(n = 625,p = 0´8)! "X ! N µ = np = 500,# = np(1$ p) = 10( ) (Pasamos da variable

X discreta á variable !X continua) 0´50 puntos. – Corrección de medio punto: P(X > 475) = P( !X " 475´5) 0´25 puntos. – Tipificación e resultado final: P( !X " 475´5) = P(Z " #2´45) = 0´9929 0´25 puntos. Exercicio 4. (A puntuación máxima deste exercicio é 2 puntos) Sexa “X = número de telespectadores (en millóns) dun programa semanal de televisión” X ! N(µ,! = 0´5) . A dirección do programa afirma que a media semanal de telespectadores dese programa é de polo menos 7 millóns, é dicir, µ ! 7 . Para constrastar tal afirmación, observáse unha mostra de 10 semanas, obténdose unha media semanal de 6´54 millóns de telespectadores.

X : estatísticomediamostral

evaluámolo paraamostradada! "!!!!!!!!!! x = 6´54 (millónsdeespectadores)

Estatístico de proba:

X ! µ " n

! N(0,1)

(a) 1 punto. Utilizando a mostra dada, calcula un intervalo do 95% de confianza para a media semanal de telespectadores dese programa.

– Expresión do intervalo de confianza:P X ! z" 2

# n < µ < X + z" 2

# n

$ %&

' () = 1!" 0´25 puntos.

– Calcular numéricamente os extremos do intervalo 6´23 e 6´85 0´50 puntos –Responder á pregunta no contexto do problema: “en base a mostra dada, estímase cun 95% de confianza, que a media semanal de telespectadores dese programa está entre 6.230.000 e 6.850.000 espectadores”0´25 puntos. (b) 1 punto. Formula un test para contrastar que a media semanal de telespectadores que ven o programa é a que afirma a dirección, fronte á alternativa de que é menor, ¿cal é a conclusión á que se chega, cun nivel de significación do 5%

– Especificar as hipótesis nula e alternativa:

H0 : µ ! 7 H1 : µ < 7

" # $

%$ 0´25 puntos.

– Estatístico de proba:

X ! µ " n

! N (0,1)

– Establecer a rexión crítica: (-!,-1´645) 0´25 puntos.

– Avaliar o estatístico de proba, “baixo a hipótese H0 certa”, para a mostra dada: zob =

6´54 ! 7 0´5 10

= !2´9 0´25 puntos.

– Decisión: zob = !2´9 "(!#,!1́645)$Rexeito H0. Cos datos desta mostra e con risco de equivocarnos dun 5%, concluiríamos que a media semanal de telespectadores é menor de 7 millóns, é dicir, non é a que afirma a dirección do programa0´25 puntos.(o último risco de equivocarnos, ante esta afirmación, é o valor-P = P(Z<-2´9) = 0´0019, é dicir, aproximadamente dun 0´19%, sendo polo tanto o test significativo, xa que o risco de equivocarnos non é do 5% de partida, senon moito máis baixo: dun 0´19%). OPCIÓN B

Exercicio 1.(A puntuación máxima deste exercicio é 3 puntos) Sexa o seguinte sistema de inecuacións: x " 1, y " x, x + y ! 10, 3y – 2x ! 10 (a) 2 puntos: Representa graficamente a rexión factible e calcula os seus vértices. – Vértices da rexión factible 1 punto, polos vértices: A (1, 1); B (1, 4); C (4, 6); D (5, 5) 0´25 puntos por cada un deles. – Representación gráfica da rexión factible 1 punto:

T E 2 18 20

E 38 42 80

40 60 100

T

(b) 1 punto: Punto ou puntos desa rexión onde alcanza os valores máximo e mínimo a función f (x,y ) = 2x ! 2y + 7 – A función alcanza o mínimo no punto B (1, 4) 0´25 puntos.– A función alcanza o máximo nos puntos A (1, 1) 0´25 puntos, D (5, 5) 0´25 puntos e nos infinitos puntos do segmento AD0´25 puntos.

Exercicio 2. (A puntuación máxima deste exercicio é 3 puntos) Sexa P(t) o tamaño dunha poboación de aves (en centos) nun entorno controlado

P(t) = t2 ! 8t + 50, 0 " t "10

95 ! 250 t

, t >10

# $ %

&%

(a) 1´25 puntos: ¿A partir de que ano crecerá a poboación P(t)? ¿Nalgún ano a poboación é mínima?

No intervalo (0, 10), !P (t) = 2t " 8 0´25 puntos. No (10, +!),

!P (t) = 250 t2

0´50 puntos.

En (0, 10), !P (t) = 2t " 8 > 0 # t > 4 ; en (10, +!) !P (t) > 0 para todo t , é dicir, a poboación P(t) crece sempre no intervalo(10, +!) A partir do cuarto ano crece a poboación de aves 0´25 puntos. No (0, 10), !!P (t) = 2 > 0 . Polo tanto, “a poboación é mínima no cuarto ano” (t = 4) 0´25 puntos. (b) 0´75 puntos: Determina o valor ao que tende a poboación de aves co paso do tempo

– Teremos que calcular o límite da función P(t): lim

t!+" P(t) = lim

t!+" 95 # 250

t $ %&

' () = 95 0´50 puntos.

– “A poboación tende a 9500 aves co paso do tempo0´25 puntos. (c) 1 punto: Calcula o intervalo de tempo no que a poboación se mantén entre 5000 e 7500 aves – Haberá que buscar o tempo t para o que se verifica 50 ! P(t) ! 75 – Primeiro buscamos o anaco que corresponde a cada desigualdade, e como para t = 0 P(0) = 50 e para t = 10 P(10) = 70, temos que no primeiro anaco:

[0, 10]: P(t) ! 50" t2 # 8t + 50 ! 50$ t(t # 8) ! 0

como t ! 0 t # 8 ! 0$ t ! 8 0´50 puntos

e no segundo (10, +!): P(t) ! 75" 95 # 250

t ! 75$ 250

t % 20$ t !12´5 0´50 puntos

Entón, “dende o oitavo ano ata o doce e medio, mantense a poboación entre 5000 e 7500 aves” Ainda que non se pide a gráfica da función, poderíase trazar, xa que axuda a escoller as desigualdades nos anacos correspondentes da función.

Exercicio 3. (A puntuación máxima deste exercicio é 2 puntos) O 40% dos aspirantes a un posto de traballo superou unha determinada proba de selección. Terminan sendo contratados o 80% dos aspirantes que superan esa proba e o 5% dos que non a superan. (a) 1 punto: Calcula a porcentaxe de aspirantes ao posto de traballo que terminan sendo contratados. Denominamos aos sucesos C: un aspirante é contratado, S: un aspirante supera a proba de selección. Os datos que recollemos do enunciado son:

P(S) = 0´4; P C S( ) = 0´8; P C S( ) = 0´05

x+ y = 10 x = 1 x

y

y = x 3y – 2x = 10

A

B

C

D

0 (–5, 0) (10, 0)

(0, 10)

(0, 10/3)

– Formular a probabilidade pedida: P(C) 0´25 puntos. – Utilizar o teorema das probabilidades totais e sustituir os valores de cada probabilidade na fórmula anterior:

P(C) = P(S) !P C S( ) + P(S) !P C S( ) = 0´4 !0´8 + 0´6 !0´05 = 0´35 0´50 puntos. – “O 35% dos aspirantes terminan sendo contratados0´25 puntos. (b) 1 punto: Se un aspirante non é contratado, ¿cal é a probabilidade de que superase a proba de selección? – Formular a probabilidade pedida

P S C( ) 0´25 puntos.

– Expresión da probabilidade condicionada anterior P S C( ) = P(S !C)P(C) =

P(S) "P C S( ) 1# P(C)

0´25 puntos.

– Sustituir os valores de cada probabilidade e resultado final P S C( ) = 0´4 !0´20´65 = 0 1́23 0´50 puntos.

Tamén podemos facer o exercicio construíndo o diagrama de árbore, nese caso, a árbore ben feito puntúase con 0´50 puntos e os apartados (a) e (b) con 0´75 puntos cada un deles. No caso de facer cadro valórase con 1 punto, e os apartados (a) e (b) con 0´50 puntos cada un deles.

C C S 32 8 40

S 3 57 60 35 65 100

Exercicio 4. (A puntuación máxima deste exercicio é 2 puntos) Realízase unha enquisa para determinar a intención de voto ao partido MLM, de 2000 entrevistados, 600 din que votarán ao MLM Sexan “p : proporción de votantes a favor do MLM (parámetro poboacional a estimar)

: proporciónmostral devotantesafavor doMLM,enmostrasde 2000 entrevistados (estatísticomostral) !

avaliaciónde paraamostradada " #""""""""""" = 600 2000 = 0´3 (estimaciónpuntual dep)

(a) 1 punto. Calcula un intervalo do 95% de confianza para a proporción de futuros votantes a favor dese partido.

– Expresión do intervalo de confianza:

P ! P ! z" 2

p(1! p) n

L1

" #$$$ %$$$ # p #

! P + z" 2

p(1! p) n

L2

" #$$$ %$$$

$

%

& & & &

'

(

) ) ) )

= 1!" 0´25 puntos.

– Calcular numéricamente os extremos do intervalo, avaliando para a mostra dada os estatísticos L1 e L2, de forma que, o parámetro “p” decoñecido estimámolo polo seu estimador puntual coñecido: p̂ , resultando:

L1 avaliamos para a mostra dada! "!!!!!!!!!!

0´3 # 1́96 0´3 $0´7 2000

= 0´3 # 0´02 = 0´28 0´25 puntos

L2 avaliamos para a mostra dada! "!!!!!!!!!!

0´3 + 1́96 0´3 $0´7 2000

= 0´3 + 0´02 = 0´32 0´25 puntos

– Responder á pregunta no contexto do problema, concluíndo que: “en base a mostra dada, estímase cun 95% de confianza, que a proporción de futuros votantes do partido MLM, está entre un 28% e un 32% (erro máximo cometido na estimación dun 2%) 0´25 puntos. (b) 1 punto. Unha información publicada por certa prensa afirma que “a intención de voto para ese partido é de, polo menos, o 33%”. Formula un test para contrastar a devandita información fronte a que a proporción de futuros votantes é inferior, tal como parece prognosticar a enquisa. ¿A que conclusión se chega cun nivel de significación do 1%? – Especificar as hipóteses nula e alternativa:

H0 : p ! 0´33 H1 : p < 0´33

" # $

%$ 0´25 puntos.

– Estatístico de proba:

! p p(1! p)

n

! N(0,1)

–Establecer a rexión crítica: z0´01 = 2´33, (!",!2´33) 0´25 puntos.

– Avaliar o estatístico de proba, “baixo H0 certa”, para a mostra dada:

zob = 0´3 ! 0´33 0´33 "0´67

2000

= !2´85 0´25 puntos.

– Decisión: zob = !2´85 "(!#,!2´33)$Rexeito H0. Cun risco de equivocarnos do 1%, concluiríamos que a proporción de futuros votantes ao MLM é menor do 33% que afirma a información publicada pola prensa 0´25 puntos.(o último risco de equivocarnos, ante esta afirmación, é o valor-P = P(Z < –2´85) = 0´0022, é dicir, dun 0´22%, sendo polo tanto o test significativo).

CONVOCATORIA DE SETEMBRO

O/A alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das dúas opcións (A ou B)

OPCIÓN A

Exercicio 1.(A puntuación máxima deste exercicio é 3 puntos)

(a) 2 puntos: Determina a matriz X, sabendo que X !1 "Bt = A + B , sendo A = 1 1

0 !1 "

#$ %

&' , B = !1 1

1 1 "

#$ %

&'

– Despexar a matriz X: X = Bt A + B( )!1 0´50 puntos.

– Calcular a suma das matricesA + B = 0 2

1 0 !

"# $

%& 0´25 puntos.

– Calcular a matriz inversaA + B( )!1 = 0 11 2 0

"

# $

%

& ' 0´75 puntos.

– DeterminarBt = !1 1

1 1 "

#$ %

&' 0´25 puntos, e

X =

1 2 !1 1 2 1

"

# $$

%

& ''

0´25 puntos.

(b) 1 punto: Dada A = a 0

a 1

!

"# $

%& , calcula se o hai, algún valor de “a” para o que se verifique que A2 sexa a matriz

identidade.

– Calcular a matriz A2 = a

2 0 a2 + a 1

!

" ##

$

% &&

0´25 puntos.

– Formular a igualdade pedida

a2 0 a2 + a 1

!

" ##

$

% && = 1 0

0 1 !

"# $

%& 0´25 puntos.

– Formular as ecuacións

a2 = 1

a2 + a = 0

! " #

$# 0´25 puntos.

– Resolver para calcular o valor de “a”, sendo a única solución posible “a = –1” 0´25 puntos. Exercicio 2. (A puntuación máxima deste exercicio é 3 puntos) Sexa C(t) = !2t

3 + 75t2 ! 600t + 2000, 0 " t " 24 a cantidade de auga (en centos de litros) que chega a unha depuradora para o seu procesado ao longo de certo día e t o tempo en horas transcurrido a partir das 0:00 horas. (a) 1´75 puntos: Determina en que períodos se produce un aumento e unha diminución da cantidade de auga. – Determinar a primeira derivada !C (t) = "6t

2 +150t " 600 0´25 puntos.

– Calcular os puntos críticos !C (t) = 0 " t2 # 25t +100 = 0$

t = 5 t = 20 % & '

0´25 puntos.

– Determinar os intervalos de crecemento e de decrecemento (0, 5) (5, 20) (20, 24)

t signo de C´(t)

t = 1 C´(1)< 0

t = 10 C´(10)> 0

t = 22 C´(22)< 0

No intervalo (0, 5) e no (20, 24) a función C(t) é decrecente 0´50 puntos. No (5, 20) a función C(t) é crecente 0´25 puntos. – Contestamos á pregunta do exercicio. “Prodúcese un aumento da cantidade de auga dende as 5:00 horas ata as 20:00 horas” 0´25 puntos. Prodúcese unha diminución dende as 0:00 horas ata as 5:00 e dende as 20:00 ata as 24:00 horas” 0´25 puntos. (b) 0´50 puntos: Calcula a cantidade máxima e mínima de auga. – No punto t = 5 a función C(t) presenta un mínimo. Cmín = C(5) = 625. – No punto t = 20 a función C(t) presenta un máximo. Cmáx = C(20) = 4000. “Cantidade mínima de auga 62.500 litros” 0´25 puntos. “Cantidade máxima de auga 400.000 litros” 0´25 puntos. (En t = 0 C(0) = 2000 e en t = 24 C(24) = 3152. Logo os puntos 5 e 20 son mínimo e máximo absoluto, respectivamente) (c) 0´75 puntos: Calcula o punto de inflexión e representa a gráfica da función C(t), 0 ! t ! 24. – O punto de inflexión preséntase no (12´5, 2312´5) 0´25 puntos. – Representación gráfica da función 0´50 puntos. Recuperamos toda a información que tiñamos sobre C(t) e representamos a súa gráfica

Exercicio 3. (A puntuación máxima deste exercicio é 2 puntos) Sábese que en certa poboación de persoas de 18 ou máis anos, o 60% está en contra da eutanasia. (a) 1´25 puntos: Realízase unha enquisa a unha mostra aleatoria de 150 persoas desa poboación, ¿cal é a probabilidade de que máis da metade se manifeste en contra da eutanasia? – Definimos a variable aleatoria X = número de persoas de 18 ou máis anos, que están en contra da eutanasia nunha mostra aleatoria de 150 persoas desa poboación. X segue unha distribución binomial, B(n = 150, p = 0,6). – Formulamos a probabilidade pedida

P X > 75( ) = P X ! 76( ) 0´25 puntos.

– Paso da binomial á normal X ! B 150,0,6( )! "X ! N µ = np = 90,# = np(1$ p) = 6( ) 0,50 puntos (0,25 puntos por

determinar a media e 0,25 puntos pola desviación típica. Cambiamos a variable X pola X´ por ter que pasar dunha variable aleatoria discreta a unha continua, e no paso seguinte facemos a corrección de medio punto pola mesma razón). – Corrección de medio punto

P X > 75( ) = P !X > 75,5( ) 0´25 puntos.

– Tipificación e resultado final P !X > 75,5( ) = P Z > "2,42( ) = 0,9922 0´25 puntos.

(b) 0´75 puntos: Se nesa poboación o 68% son maiores de 65 anos e o 75% deles está en contra da eutanasia, ¿que porcentaxe dos que teñen entre 18 e 65 anos está en contra da eutanasia? – Denominamos os sucesos e formulamos as probabilidades do enunciado do exercicio: E+65: unha persoa desa poboación é maior de 65 anos, E18–65: unha persoa desa poboación tén entre 18 e 65 anos, CE: unha persoa desa poboación está en contra da eutanasia,

P E+65( ) = 0,68, P CE E+65( ) = 0,75, P CE( ) = 0,60 – Calculamos o dato que nos falta e que é imprescindible para poder determinar a probabilidade pedida por calquera dos seguintes métodos: –

P CE !E+65( ) = P E+65( ) "P CE E+65( ) = 0,68 "0,75 = 0,51 0´25 puntos,

poñemos o resultado no cadro e completámolo 0´25 puntos, e a probabildade pedida é P CE E18!65( ) = 932 = 0,2812

0´25 puntos. Outro método, se utilizamos a definición de probabilidade condicionada,

P CE E18!65( ) =

P CE( ) ! P CE "E+65( ) 1! P E+65( )

= 0,6 ! 0,51 1! 0,68

= 0,2812 0´75 puntos.

Por último, se usamos a árbore (pola árbore 0,25 puntos):

– Facemos uso do teorema das probabilidades totais:

0,6 = 0,68 !0,75 + 0,32 !P CE E18"65( ) 0,25 puntos. – Despexamos

P CE E18!65( ) = 0,090,32 = 0,2812 0,25 puntos.

Podemos polo tanto concluír que o 28,12% dos que teñen entre 18 e 65 anos está en contra da eutanasia

Exercicio 4. (A puntuación máxima deste exercicio é 2 puntos) Sexa “X = días de espera para a realización de certa proba médica nun hospital”, X ! N(µ,! = 5) . A xerencia afirma que “o tempo medio de espera para a realización da devandita proba é como máximo de 20 días, é dicir, µ ! 20 . Para constrastar esa afirmación, tomouse unha mostra aleatoria de 100 pacientes que precisaban facer a proba, resultando que o tempo medio de espera foi de 21 días.

CE CE

E+65 51 17 68 E18–65 9 23 32

60 40 100

X : díasdeesperaparaarealizacióndaprobamédica,paratodosospacientesdohospital ! N(µ,! = 5) n = 100 pacientes

X : estatísticomediamostral " tempomediodeesperaenmostrasde 100 pacientes #

evaluacióndo estatístico paraamostradada$ %$$$$$$$$$$$$$$ x = 21 días : estimaciónpuntual de µ

(a) 1´50 puntos: Formula un test para contrastar a hipótese que afirma a xerencia fronte a que o tempo medio foi superior. ¿A que conclusión se chega cun nivel de significación do 5%? ¿Chegaríase á mesma conclusión cun nivel de significación do 1%?

– Especificar as hipótesis nula e alternativa:

H0 : µ ! 20 H1 : µ > 20

" # $

%$ 0´25 puntos.

– Estatístico de proba:

X ! µ " n

! N(0,1)

– Establecer a rexión crítica: (1´645, +!) 0´25 puntos.

– Avaliar o estatístico de proba, “baixo a hipótese H0 certa”: zob =

21! 20 5 100

= 2 0´25 puntos.

– Decisión: zob = 2 > zcrít = 1́645! Rexeito H0. Cos datos desta mostra e con risco de equivocarnos dun 5%, concluiríamos que o tempo medio de espera para a realización da devandita proba foi superior a 20 días, é dicir, rexeitaríamos o que afirma a xerencia. 0´25 puntos.(O último risco de equivocarnos, ante esta afirmación, é o valor-P = P(Z > 2) = 0´0228, é dicir, aproximadamente dun 2´3%). – Para o nivel do 1%, establecer a rexión crítica: (2´33, +!) 0´25 puntos. – Decisión: zob = 2 < zcrít = 2´33! Acepto H0. Non se chegaría á mesma conclusión, xa que con risco de equivocarme dun 1% non podería rexeitar H0. Non se pode concluír que o tempo medio é superior a 20 días. Aceptaría a afirmación da xerencia 0´25 puntos. (b) 0´50 puntos: Explica, no contexto do problema, en que consisten os erros de tipo I e de tipo II.

! = P Rechazar H0 H0 certa( ) " P Aceptar H1 H1 falsa( ) . O erro de tipo I consiste en rexeitar a hipótese que afirma

a xerencia, cando realmente é certa. Decidiriamos que o tempo medio de espera é superior a 20 días cando realmente non o é 0´25 puntos. –

! = P Aceptar H0 H0 falsa( ) " P Rechazar H1 H1 certa( ) .O erro de tipo II consiste en aceptar a hipótese que afirma a

xerencia, cando realmente é falsa. Decidiriamos que o tempo medio de espera é como máximo de 20 días, cando realmente non o é 0´25 puntos. OPCIÓN B Exercicio 1.(A puntuación máxima deste exercicio é 3 puntos)Sexa a función f(x, y) = x + 2y suxeita ás restricións: x + y ! 9, y x !5, 2y " 4 – x, 0 ! x ! 6, y " 0.(a) 1´50 puntos: Representa a rexión R do plano determinada polo conxunto de restricións e calcula os seus vértices. – Vértices da rexión factible 1 punto repartido en: A (4, 0) e B (0, 2) 0´25 puntos ;C (0, 5) e F (6, 0) 0´25 puntos; D (2, 7) 0´25 puntos e por E (6, 3) 0´25 puntos. – Representación gráfica da rexión factible 0´50 puntos:

(b) 0´75 puntos: Calcula os puntos de R onde a función alcanza os seus valores máximo e mínimo. Calcula eses valores. – A función alcanza o máximo no vértice D (2, 7). Valor máximo = 16 0´25 puntos.– A función alcanza o mínimo nos vértices A (4, 0), B (0, 2) 0´25 puntos, e nos infinitos puntos do segmento AB. Valor mínimo = 4 0´25 puntos. (c) 0´75 puntos: Responde ao apartado anterior se se elimina a restrición y ! 0 do anterior conxunto de restricións. – Sinalar a nova rexión factible calculando o novo vértice G (6, –1) (rexión do plano limitada polos vértices GBCDE) 0´25 puntos. – A función alcanza o máximo no vértice D (2, 7). Valor máximo = 16 0´25 puntos.– A función alcanza o mínimo nos vértices G (6, –1), B (0, 2), e nos infinitos puntos do segmento GB. Valor mínimo = 4 0´25 puntos.

Exercicio 2. (A puntuación máxima deste exercicio é 3 puntos) Nunha empresa a relación entre a produción x (expresada en miles de toneladas) e o custo medio de fabricación C(x)

(expresado en miles de euros) é do tipo C(x) = 2 + x + 9

x , 1! x !10

(a) 1´50 puntos: Calcula a cantidade de produción que minimiza o custo medio de fabricación e o custo medio mínimo.

– Determinar a primeira derivada

!C (x) = 1" 9 x2

0´25 puntos.

– Calcular os puntos críticos !C (x) = 0 " x = 3 x = #3 nonválido) 0´25 puntos. – Xustificar que en x = 3 hai un mínimo, calculando

!!C (x) = 18

x3 ; !!C (3) > 0 0´25 puntos.

– Cantidade de produción que minimiza o custo medio: “para 3000 toneladas de produción o custo medio é mínimo0´25 puntos. – Valor mínimo da función: Cmín = C(3) = 8 0´25 puntos. Polo custo medio mínimo: “O custo mínimo é 8000 euros0´25 puntos. (Observar que hai que responder ás preguntas do exercicio, expresándoas nas correspondentes unidades, xa que noutro caso se acabaría restando 0´50 puntos neste apartado). (b) 0´50 puntos: Calcula a cantidade de produción que maximiza o custo medio de fabricación e o custo medio máximo. – Cantidade que maximiza o custo medio de fabricación: C(1)=12, C(10) = 12´9 e a función é continua, logo “para 10.000 toneladas de produción o custo medio é máximo0´25 puntos. – Custo medio máximo: “é de 12.900 euros” 0´25 puntos. (c) 1 punto: Se non desexan superar os 12 mil euros de custo medio de fabricación ¿entre que valores deberá estar comprendida a produción? – Formulamos a desigualdade, é dicir, buscamos o valor (ou valores) de x para o que se verifica:

C(x) !12 ! 2 + x + 9

x "12 0´25 puntos.

– Operamos na desigualdade anterior: x2 !10x + 9 " 0 0´25 puntos. – Resolvemos a inecuación: 1! x ! 9 0´25 puntos. – Respondemos á pregunta do exercicio: “Para non superar os 12.000 euros de custo medio de fabricación, a produción ten que estar comprendida entre 1.000 e 9.000 toneladas0´25 puntos. Exercicio 3. (A puntuación máxima deste exercicio é 2 puntos) A probabilidade de obter rendibilidade positiva no prazo dun ano cun fondo de investimento recentemente constituído é 0´4. Se no primeiro ano se obtivo rendibilidade positiva, a probabilidade de obtela no segundo ano é 0´6. A probabilidade de non obter rendibilidade positiva nin no primeiro nin no segundo ano é 0´48. (a) 1´25 puntos: ¿Que probabilidade hai de obter rendibilidade positiva no segundo ano? Denominamos aos sucesos R1

+: obter rendibilidade positiva no primeiro ano, R2 +: obter rendibilidade positiva no

segundo ano.

Os datos que recollemos do enunciado son: P R1

+( ) = 0´4, P R2+ R1+( ) = 0´6, P R1+ !R2+( ) = 0´48 – Se o facemos usando a táboa de continxencia, calculamos, en primeiro lugar, a probabilidade de obter rendibilidade positiva no primeiro e no segundo ano:

P R1

+ !R2 +( ) = P R1+( ) "P R2+ R1+( ) = 0´4 "0´6 = 0´24 0´50 puntos.

Completamos a táboa: 0´50 puntos

– A probabilidade pedida é P R2

+( ) = 0´36 0´25 puntos. – Se o facemos utilizando o teorema das probabilidades totais, primeiro temos que calcular:

P R2 + R1

+( ) = P R1 + !R2

+( ) P R1

+( ) = 0,48 0,6

= 0,8 0´50 puntos. Logo, P R2

+ R1 +( ) = 1! 0,8 = 0,2 0´25 puntos.

P R2

+( ) = P R1+( ) !P R2+ R1+( ) + P R1+( ) !P R2+ R1+( ) 0´25 puntos. P R2

+( ) = 0,4 !0,6 + 0,6 !0,2 = 0,36 0´25 puntos. – Se o facemos construíndo o diagrama de árbore: 0´75 puntos e chegar ao resultado pedido 0´50 puntos (b) 0,75 puntos: Calcula a probabilidade de obter rendibilidade positiva nalgún dos dous anos. – Formular a probabilidade pedida

P R1

+ !R2 +( ) 0´25 puntos.

– Expresión da probabilidade da unión: P R1

+ !R2 +( ) = P R1+( ) + P R2+( ) " P R1+ #R2+( ) 0´25 puntos.

– Cálculos e resultado final P R1

+ !R2 +( ) = 0,4 + 0,36 " 0,24 = 0,52 0´25 puntos.

Este exercicio pódese facer tamén utilizando as leis de Morgan.

R2 +

R2 +

R1 + 24 16 40

R1 + 12 48 60

36 64 100

Exercicio 4. (A puntuación máxima deste exercicio é 2 puntos) (a) 1 punto. Quérese estimar a porcentaxe de españois que, tendo dereito a voto, non votarán nas próximas eleccións ao Parlamento Europeo. ¿Cal debe ser o tamaño da mostra para garantir unha marxe de erro non superior ao 2,5% cun nivel do 95% de confianza? Sexan “p : proporción de españois con dereito a voto que “non votarán” nas próximas eleccións ao Parlamento Europeo (parámetro poboacional a estimar)

P̂ : proporción mostral de españois con dereito a voto que “non votarán” nas próximas eleccións ao Parlamento Europeo, en mostras de tamaño “n” (estatístico mostral, estimador puntual de p)

O estatístico a utilizar é

! p p(1! p) n

! N(0,1) . Como non coñecemos unha estimación puntual previa de “p”, tomamos o

caso máis desfavorable para “p”, p = 1/2, (xa que a función f(p) = p(1–p) se maximiza para p = 1/2).

– Formulamos a marxe de erro non superior ao 2,5%: z! 2 "

p(1# p) n

$ 0,025 0´25 puntos.

– Substituímos na fórmula: 1,96 ! 1 4

n " 0,025 0´25 puntos.

– Despexamos “n”: n ! 1536,64 0´25 puntos. – Concluímos, coa expresión do valor (e valores) enteiro de n: “Para garantir ese erro, con ese nivel de confianza, necesitamos mostras de 1537 ou máis españois con dereito a voto0´25 puntos. (b) 1 punto. Selecciónase unha mostra aleatoria de 1540 españois con dereito a voto e deles 693 aseguran que non votarán nas próximas eleccións ao Parlamento Europeo. Calcula un intervalo do 95% de confianza para a porcentaxe de españois con dereito a voto que non votarán nas citadas eleccións. ¿Que erro máximo se está a cometer nesta estimación?

– Expresión do intervalo de confianza:

P ! P ! z" 2

p(1! p) n

L1

" #$$$ %$$$ # p #

! P + z" 2

p(1! p) n

L2

" #$$$ %$$$

$

%

& & & &

'

(

) ) ) )

= 1!" 0´25 puntos.– Calcular

numéricamente os extremos do intervalo, avaliando para a mostra dada os estatísticos L1 e L2, de forma que, o parámetro “p” decoñecido estimámolo polo valor da súa estimación puntual p̂ = 693/1540 = 0,45

resultando: L1 avaliamos paraamostradada! "!!!!!!!!!! 0,45 #1,96

0,45 $0,55 1540

= 0,45 # 0,0248 = 0,4252 0´25 puntos.

L2 avaliamos paraamostradada! "!!!!!!!!!! 0,45 +1,96

0,45 #0,55 1540

= 0,45 + 0,0248 = 0,4748 0´25 puntos.

Estímase, cun 95% de confianza, que entre un 42,52% e un 47,48%, aproximadamente, de españois con dereito a voto, non votarán nas próximas eleccións ao Parlamento EuropeoO erro máximoque se está a cometer nesta estimación é dun 2,48% 0´25 puntos.

No hay comentarios
Esta solo es una vista previa
3 páginas mostradas de 14 páginas totales
Descarga el documento