Formulario Estadística II, Apuntes de Estadística Empresarial
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Formulario Estadística II, Apuntes de Estadística Empresarial

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Formulario Estadística Empresarial II
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Estad́ıstica II Formulario para exámenes

Intervalos de confianza y contraste de hipótesis para una y dos poblaciones.

Notación:

• µX y σ2X : media y varianza de una variable aleatoria/población X; X̄ y s2X : media y cuasi varianza muestrales

• pX proporción en la población para X ∼ Bernoulli(pX), p̂X proporción en la muestra

• Xn: muestra aleatoria simple (MAS) de tamaño n de X

• (1− α) nivel de confianza, α nivel de significación

• zα un α cuantil superior de una distribución N(0,1); tn−1;α un α cuantil superior de una distribución tn−1

Parámetro Hipótesis: MAS(s) y Cantidad pivotal y distribución

µX Población normal, varianza conocida X̄ − µX σX/ √ n ∼ N(0, 1)

µX Población normal, varianza desconocida X̄ − µX sX/ √ n ∼ tn−1

µX Población no normal, tamaño de muestra grande X̄ − µX sX/ √ n ∼aprox. N(0, 1)

pX Población Bernoulli, tamaño de muestra grande p̂X − pX√

p̂X(1− p̂X)/n ∼aprox. N(0, 1)

σ2X y σX Población normal (n− 1)s2X

σ2X ∼ χ2n−1

µX − µY Diferencia normal Di = Xi − Yi, muestra emparejada D̄ − µD sD/ √ n ∼ tn−1

µX − µY Poblaciones normales, varianzas iguales X̄ − Ȳ − (µX − µY )

sp

√ 1 nX

+ 1nY

∼ tnX+nY −2, y

(nX − 1)s + (nY − 1)s nX + nY − 2

µX − µY Poblaciones normales, varianzas conocidas X̄ − Ȳ − (µX − µY )√

σ2X nX

+ σ2Y nY

∼ N(0, 1)

µX − µY Poblaciones no normales, tamaños de muestra grandes X̄ − Ȳ − (µX − µY )√

s2X nX

+ s2Y nY

∼aprox. N(0, 1)

pX − pY Poblaciones Bernoulli, tamaños de muestra grande p̂X − p̂Y − (pX − pY )√ p̂0(1− p̂0)

( 1 nX

+ 1nY

) ∼aprox. N(0, 1), y p̂0 =

nX p̂X + nY p̂Y nX + nY

σ2X/σ 2 Y and σX/σY Poblaciones normales

s2X/σ 2 X

s2Y /σ 2 Y

∼ FnX−1,nY −1

Ejemplo: Para construir un intervalo de confianza (1 − α) para µX si X ∼ N(µX , σ2X) con σ2X desconocida em- pleamos:

IC1−α(µX) =

( x̄− tn−1;1−α/2

sx√ n

; x̄+ tn−1;α/2 sx√ n

) Para llevar a cabo un contraste unilateral H0 : µX ≥ µ0 frente a H1 : µX < µ0, la región de rechazo a un nivel de significación α, RRα, es:

RRα =

t : t︷ ︸︸ ︷

x̄− µ0 sx/ √ n < tn−1;1−α

 1

X Y

￿ sp =

Covarianza muestral y correlación para una muestra de pares de observaciones (x1, y1), . . . , (xn, yn):

sxy︷ ︸︸ ︷ cov(x, y) =

n∑ i=1

(xi − x̄) (yi − ȳ)

n− 1 =

n∑ i=1

xiyi − nx̄ȳ

n− 1 ,

r(x,y)︷ ︸︸ ︷ cor(x, y) =

cov(x, y)

sxsy =

n∑ i=1

xiyi − nx̄ȳ√√√√ n∑ i=1

x2i − nx̄2

√√√√ n∑ i=1

y2i − nȳ2

Estimaciones de la pendiente y el intercepto en el modelo de regresión lineal simple yi = β0 + β1xi + ui, donde ui ∼ iid N(0, σ2), para obtener el modelo ajustado ŷi = β̂0 + β̂1xi:

β̂1 = cov(x, y)

s2x =

1

n− 1

n∑ i=1

(xi − x̄) (yi − ȳ)

1

n− 1

n∑ i=1

(xi − x̄)2 =

n∑ i=1

xiyi − nx̄ȳ

n∑ i=1

x2i − nx̄2 , β̂0 = ȳ − β̂1x̄.

Cantidades pivotales para β1, β0, σ 2, con residuos ei = yi − ŷi y varianza residual s2R =

∑n i=1 e

2 i /(n− 2):

β̂1 − β1√ s2R

(n− 1)s2X

∼ tn−2, β̂0 − β0√

s2R

( 1

n +

x̄2

(n− 1)s2X

) ∼ tn−2, (n− 2)s2Rσ2 ∼ χ2n−2.

Intervalos de confianza para la respuesta promedio y la respuesta puntual, y0, dado X = x0:

ŷ0 ± tn−2;α/2

√√√√s2R (

1

n +

(x0 − x̄)2

(n− 1)s2X

) , ŷ0 ± tn−2;α/2

√√√√s2R (

1 + 1

n +

(x0 − x̄)2

(n− 1)s2X

) .

Tabla ANOVA para el modelo de regresión lineal simple (R-cuadrado R2 = SCM/SCT):

Fuente de variación SC GL Media Cociente F Modelo SCM =

∑n i=1(ŷi − ȳ)2 1 SCM/1 SCM/s2R

Residuos/errores SCR = ∑n i=1(yi − ŷi)2 =

∑n i=1 e

2 i n− 2 SCR/(n− 2) = s2R

Total SCT = SCM + SCR n− 1

Para contrastar H0 : β1 = 0 vs. H1 : β1 6= 0, el estad́ıstico es F = SCM/s2R ∼ F1;n−2 y RRα = {F > F1,n−2;α}.

Formulación del modelo, estimaciones, modelo ajustado y residuos para el modelo de regresión lineal múltiple yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + · · ·+ βkxik + ui, donde ui ∼ iid N(0, σ2), en notación matricial:

y = Xβ + u, β̂ = (XTX)−1XTy, ŷ = Xβ̂, e = y − ŷ, donde

y =

 y1 y2 ... yn

 , X = 

1 x11 x12 · · · x1k 1 x21 x22 · · · x2k ...

... ...

. . . ...

1 xn1 xn2 · · · xnk

 , β = 

β0 β1 β2 ... βk

 , u = 

u1 u2 ... un



Cantidades pivotales para σ2 y βj, j = 0, 1, . . . , k, con varianza residual s 2 R =

∑n i=1 e

2 i /(n− k − 1):

(n− k − 1)s2R σ2

∼ χ2n−k−1, β̂j − βj s(β̂j)

∼ tn−k−1,

donde s(β̂j) = √ s2(β̂j) y s

2(β̂j) es el j-ésimo elemento diagonal de la matriz de covarianza (estimada) para β̂, definida

como Sβ̂ = s 2 R(X

TX)−1.

Tabla ANOVA para el modelo de regresión lineal múltiple:

Fuente de variación SC GL Media Cociente F Modelo SCM k SCM/k (SCM/k)/s2R Residuos/errores SCR n− k − 1 SCR/(n− k − 1) = s2R Total SCT n− 1

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