Foro 2 de Mecánica Vectorial para Ingenieros, Ejercicios de Mecánica

¡Descarga Foro 2 de Mecánica Vectorial para Ingenieros y más Ejercicios en PDF de Mecánica solo en Docsity! Pregunta 1: Derive las ecuaciones de Euler-Lagrange para un sistema con coordenadas generalizadas y explique su importancia en la formulación lagrangiana de la mecánica. Respuesta: Las ecuaciones de Euler-Lagrange son un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de un sistema mecánico en términos de coordenadas generalizadas (q1, q2, ..., qn) y el lagrangiano L(q, , t), que es la diferencia entre la energía cinética T y la q̇ energía potencial V. Estas ecuaciones se derivan aplicando el principio de mínima acción, que establece que la trayectoria real del sistema es aquella que minimiza la acción S, definida como la integral de la diferencia entre T y V a lo largo de la trayectoria: S = ∫ L(q, , t) dtq̇ Las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtienen tomando las derivadas parciales de la acción respecto a cada coordenada generalizada qi y su derivada i, e igualando a cero:q̇ (∂L/∂qi) - (d/dt)(∂L/∂ i) = 0q̇ Estas ecuaciones son fundamentales en la formulación lagrangiana porque permiten determinar las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico sin necesidad de resolver explícitamente las fuerzas y momentos involucrados. Además, son válidas para sistemas con cualquier número de grados de libertad y en cualquier sistema de coordenadas generalizadas. Pregunta 2: Explique el principio de Hamilton y las ecuaciones canónicas de Hamilton en la formulación hamiltoniana de la mecánica. ¿Cuáles son las ventajas de esta formulación? Respuesta: El principio de Hamilton establece que la evolución dinámica de un sistema mecánico puede describirse de manera equivalente utilizando el hamiltoniano H en lugar del lagrangiano L. El hamiltoniano se define como la suma de la energía cinética T y la energía potencial V: H = T + V Las ecuaciones canónicas de Hamilton describen la evolución temporal de las coordenadas generalizadas qi y sus momentos conjugados pi, definidos como: pi = ∂L/∂ iq̇ Las ecuaciones canónicas son: i = ∂H/∂pi ṗi = -∂H/∂qiq̇ Estas ecuaciones forman un sistema de 2n ecuaciones diferenciales de primer orden (n coordenadas y n momentos) que permiten determinar la evolución del sistema a partir de las condiciones iniciales. La formulación hamiltoniana presenta varias ventajas sobre la formulación lagrangiana: 1. Separa explícitamente las contribuciones de la energía cinética y potencial. 2. Facilita el análisis de sistemas con vínculos o restricciones. 3. Permite el uso de técnicas de transformaciones canónicas y la teoría de perturbaciones. 4. Es especialmente útil en mecánica cuántica y electrodinámica. Pregunta 3: Derive las ecuaciones de Euler para la rotación de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa y explique cómo se relacionan con el momento angular y el tensor de inercia. Respuesta: Las ecuaciones de Euler describen la rotación de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa en términos de los ángulos de Euler (φ, θ, ψ) y sus derivadas respecto al tiempo. Partimos de la definición del momento angular L del cuerpo rígido: L = I · ω Donde I es el tensor de inercia del cuerpo e ω es el vector de velocidad angular. El tensor de inercia I depende de la distribución de masa del cuerpo y se expresa en forma matricial en el sistema de referencia del cuerpo. Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación (τ = dL/dt), y expresando el momento angular L y la velocidad angular ω en términos de los ángulos de Euler, se obtienen las ecuaciones de Euler: (Ixx - Iyy - Izz) ω1ω2 + Ixz (ω2^2 - ω3^2) + τ1 = I11 + I12 + I13 (Iyy - Izz - Ixx) ω2ω3 + Iyz φ̈ θ̈ ψ̈ (ω3^2 - ω1^2) + τ2 = I21 + I22 + I23 (Izz - Ixx - Iyy) ω3ω1 + Izx (ω1^2 - ω2^2) + τ3 = I31 + φ̈ θ̈ ψ̈ φ̈ I32 + I33θ̈ ψ̈ Donde Iij son los elementos del tensor de inercia y τi son los momentos externos aplicados. Estas ecuaciones relacionan las aceleraciones angulares ( , , ) con los momentos externos yφ̈ θ̈ ψ̈ las velocidades angulares, teniendo en cuenta la distribución de masa del cuerpo a través del tensor de inercia. Pregunta 4: Explique el concepto de modos normales de vibración en sistemas continuos y su importancia en el análisis de vibraciones en estructuras e ingeniería. Respuesta: Los modos normales de vibración son patrones de movimiento oscilatorio característicos que pueden presentarse en sistemas continuos, como cuerdas, barras, placas y membranas. Estos modos representan formas específicas en las que el sistema puede vibrar de manera estacionaria y armónica. Cada modo normal tiene una frecuencia natural asociada y una forma modal correspondiente, que describe la forma de vibración del sistema en ese modo. Estos modos son soluciones particulares de las ecuaciones de onda que gobiernan el movimiento del sistema continuo. Los modos normales se determinan resolviendo las ecuaciones de onda con las condiciones de contorno apropiadas para el sistema específico. Las soluciones resultantes son funciones de forma modal que satisfacen las condiciones de contorno y tienen frecuencias naturales asociadas. La importancia de los modos normales radica en que cualquier movimiento vibratorio de un sistema continuo puede representarse como una superposición de sus modos normales. Esto significa que el movimiento real del sistema se puede descomponer en una combinación lineal de los modos normales, cada uno con su propia amplitud y fase.