Foro 3 de Mecánica Vectorial para Ingenieros, Ejercicios de Mecánica

¡Descarga Foro 3 de Mecánica Vectorial para Ingenieros y más Ejercicios en PDF de Mecánica solo en Docsity! Pregunta 1: Derive las transformaciones canónicas en la formulación hamiltoniana y explique su importancia en la resolución de problemas de mecánica analítica. Respuesta: Las transformaciones canónicas son transformaciones en las variables canónicas (q, p) que preservan la forma de las ecuaciones de Hamilton. Estas transformaciones permiten simplificar problemas complejos o encontrar soluciones aproximadas mediante cambios de coordenadas. Si tenemos un conjunto original de variables canónicas (q, p) y un nuevo conjunto (Q, P), una transformación canónica se define como: Q = Q(q, p, t) P = P(q, p, t) Donde las nuevas variables (Q, P) también satisfacen las ecuaciones canónicas: = ∂H/∂P Ṗ = -∂H/∂QQ̇ Para que la transformación sea canónica, debe cumplirse la condición: Σ(dQi ∧ dPi) = Σ(dqi ∧ dpi) Donde ∧ denota el producto exterior. Esta condición asegura que las nuevas variables (Q, P) sean realmente canónicas y que la transformación preserve la estructura hamiltoniana del sistema. Las transformaciones canónicas se pueden derivar a partir de una función generadora F(q, Q, t), que relaciona las nuevas y antiguas variables canónicas mediante: pi = ∂F/∂qi P = ∂F/∂Q La importancia de las transformaciones canónicas radica en que permiten: 1. Separar variables en problemas complejos, lo que facilita su resolución. 2. Eliminar términos no deseados en el hamiltoniano, simplificando las ecuaciones de movimiento. 3. Introducir nuevas coordenadas más adecuadas para el problema en cuestión. 4. Desarrollar métodos de perturbación y encontrar soluciones aproximadas. 5. Analizar sistemas con simetrías y leyes de conservación. En resumen, las transformaciones canónicas son herramientas poderosas en mecánica analítica que permiten simplificar y resolver problemas complejos mediante cambios de variables canónicas. Pregunta 2: Explique el concepto de flujos potenciales en mecánica de fluidos y derive las ecuaciones que gobiernan estos flujos. Respuesta: En mecánica de fluidos, un flujo potencial es un flujo incompresible e irrotacional, donde la velocidad del fluido se puede expresar como el gradiente de una función escalar llamada potencial de velocidad, φ. v = ∇φ Para que un flujo sea potencial, debe cumplir las siguientes condiciones: 1. Incompresible: ∇ · v = 0 (la divergencia de la velocidad es cero) 2. Irrotacional: ∇ × v = 0 (el rotacional de la velocidad es cero) Estas condiciones implican que la vorticidad (rotación local del fluido) es nula en todo el dominio. Las ecuaciones que gobiernan los flujos potenciales se derivan de las ecuaciones de Navier- Stokes para fluidos incompresibles e irrotacionales, y de la condición de irrotacionalidad del potencial de velocidad:∇^2φ = 0 (Ecuación de Laplace) Esta es la ecuación que debe satisfacer el potencial de velocidad φ en el dominio del flujo. Además, se deben imponer condiciones de contorno adecuadas en las fronteras del dominio, como:  Condición de contorno de flujo libre en superficies libres.  Condición de no deslizamiento en superficies sólidas.  Condiciones de periodicidad o simetría según el problema. Una vez resuelto el potencial de velocidad φ, se puede calcular la velocidad del fluido como v =∇φ, y otras cantidades de interés, como la presión, utilizando la ecuación de Bernoulli. Los flujos potenciales son importantes en diversas aplicaciones, como el diseño de alas y perfiles aerodinámicos, el análisis de flujos alrededor de cuerpos sumergidos, la modelización de corrientes marinas y flujos en canales, entre otros. Pregunta 3: Derive las ecuaciones de movimiento para un satélite en órbita alrededor de un cuerpo celeste, considerando las perturbaciones gravitacionales debidas a la no esfericidad del cuerpo central. Respuesta: Para derivar las ecuaciones de movimiento de un satélite en órbita, considerando las perturbaciones gravitacionales debidas a la no esfericidad del cuerpo central, partimos de la ley de gravitación universal y la segunda ley de Newton. Sea r el vector de posición del satélite respecto al centro de masa del cuerpo central, y μ el producto de la constante gravitacional y la masa del cuerpo central. La aceleración del satélite debido a la atracción gravitacional del cuerpo central se expresa como: a = -μ(r/r^3) + a_p Donde a_p es la aceleración debida a las perturbaciones gravitacionales. Asumiendo que el cuerpo central es un elipsoide oblato (achatado en los polos), el potencial gravitacional perturbador puede expresarse en términos de los armónicos esféricos J_n y los polinomios de Legendre P_n(cos θ), donde θ es la latitud geocéntrica. El término principal de perturbación es el armónico zonal J_2, que representa el achatamiento del cuerpo central en los polos. La aceleración perturbadora debida a J_2 viene dada por: a_p = (3μJ_2R^2/2r^4) [(1 - 5(cos^2 θ)) r]