Funciones de variable real y compleja, Apuntes de Física. Universitat de Barcelona (UB)
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Asignatura: números, Profesor: Carlos Ivorra, Carrera: Física + Matemàtiques, Universidad: UB
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Carlos Ivorra Castillo

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

CON APLICACIONES A LA TEORÍA DE NÚMEROS

El camino más corto entre dos verdades del análisis real pasa por el análisis complejo.

Jacques Hadamard

Índice General

Introducción ix

Caṕıtulo I: El plano complejo 1 1.1 Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Transformaciones de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Las funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Índices de arcos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Caṕıtulo II: Funciones holomorfas 25 2.1 Derivación de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 La integral curviĺınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 El teorema y las fórmulas de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Caṕıtulo III: Series de Taylor 49 3.1 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Convergencia casi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 Consecuencias de los desarrollos de Taylor . . . . . . . . . . . . . 68

Caṕıtulo IV: Productos infinitos 79 4.1 Productos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2 Productos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Factorización de funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.4 Números de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.5 La fórmula de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Caṕıtulo V: El teorema de Cauchy 111 5.1 El teorema de Cauchy para ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2 Abiertos simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.4 Clasificación de singularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.5 Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.6 El teorema de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

v

vi ÍNDICE GENERAL

Caṕıtulo VI: La función factorial 145 6.1 Construcción de la función factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2 Otras expresiones para la función factorial . . . . . . . . . . . . . 149 6.3 El teorema de Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Caṕıtulo VII: Series de Dirichlet 159 7.1 Convergencia de las series de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.2 Funciones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.3 Permutaciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.4 El teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.5 La distribución de los números primos . . . . . . . . . . . . . . . 194

Caṕıtulo VIII: El teorema de los residuos 217 8.1 Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.2 Aplicaciones al cálculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.3 El teorema de Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 8.4 Sumas de Gauss cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Caṕıtulo IX: Funciones Harmónicas 255 9.1 Relación con las funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . 256 9.2 Propiedades de las funciones harmónicas . . . . . . . . . . . . . . 259 9.3 Funciones subharmónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 9.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Caṕıtulo X: Funciones enteras 279 10.1 Orden de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.2 El teorema pequeño de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 10.3 El teorema grande de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Caṕıtulo XI: La función dseta de Hurwitz 299 11.1 Definición y prolongación anaĺıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.2 La ecuación funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 11.3 Los ceros de la función dseta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 11.4 Funciones L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Caṕıtulo XII: Transformaciones conformes 325 12.1 Transformaciones de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 12.2 Dominios simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 12.3 El teorema de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Caṕıtulo XIII: Funciones multiformes 361 13.1 Prolongación anaĺıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 13.2 Funciones multiformes meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 13.3 Singularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 13.4 Superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 13.5 Superficies de gérmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 13.6 Planos tangentes y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

ÍNDICE GENERAL vii

Caṕıtulo XIV: Funciones algebraicas 393 14.1 Singularidades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 14.2 La configuración anaĺıtica de una función algebraica . . . . . . . 397 14.3 Ráıces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 14.4 Superficies de Riemann compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 14.5 Funciones harmónicas en superficies de Riemann . . . . . . . . . 413

Bibliograf́ıa 427

Índice de Materias 428

Introducción

Los números complejos son una creación esencialmente algebraica. Cardano introdujo la unidad imaginaria en 1545 para expresar las soluciones, aunque fue- ran “imaginarias”, de las ecuaciones de segundo grado, y desde este momento los algebristas encontraron cada vez más evidencias de que los números ima- ginarios resultantes de admitir al número i como si fuera un número real más eran suficientes para resolver cualquier ecuación polinómica. Sin embargo, una prueba de esta conjetura tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Gauss demostró en su tesis doctoral que todo polinomio con coeficientes complejos se descompone en factores lineales, es decir, que tiene todas sus ráıces en C: éste es el teorema fundamental del álgebra. Otro descubrimiento de Gauss mucho más simple, pero no menos importante, fue que la aritmética de los números complejos, introducida formalmente a partir de la relación i =

√ −1, tiene una

interpretación geométrica sencilla si identificamos los elementos de C con los puntos del plano. Esta interpretación puede considerarse como el punto de par- tida del estudio anaĺıtico de los números complejos. En términos modernos C recibe la topoloǵıa de R2 y la relación de esta topoloǵıa con su aritmética es la misma que se da en R. En particular tiene sentido la expresión

ĺım z→z0

f(z)− f(z0) z − z0

para cualquier función compleja f definida en un entorno del punto z0. Se abre aśı una teoŕıa de derivación de funciones complejas similar a su análoga real. Sus sólidos cimientos fueron establecidos por Cauchy en los numerosos art́ıculos que dedicó a esta materia. Como cabe esperar, las funciones derivables en el sentido complejo y las funciones derivables reales comparten sus propiedades básicas con demostraciones prácticamente idénticas (se trata de las propiedades que dependen directamente de la topoloǵıa y la estructura de cuerpo), pero al profundizar en la teoŕıa pronto se advierte una diferencia esencial con el caso real: mientras que el análisis real es esencialmente geométrico, en el sentido de la mayoŕıa de sus resultados son conjeturables a partir de la interpretación geométrica de la derivada, la geometŕıa apenas interviene en el análisis complejo.

Existe ciertamente una interpretación geométrica de la derivada compleja (o, más precisamente, del módulo y del argumento de la derivada), pero normal- mente es de poca ayuda. Pensemos por ejemplo en los dos teoremas siguientes:

ix

x Introducción

Si una función real derivable tiene un máximo relativo en un punto enton- ces su derivada es nula en dicho punto.

Si una función compleja derivable tiene un máximo relativo (en módulo) en un punto entonces es constante.

El primero es geométricamente evidente, el segundo no. Sin embargo no hemos de pensar por esto que la derivación compleja es una mera abstracción formal de la derivación real. Lo que sucede es que en lugar de ser una teoŕıa descriptiva superficial, en el sentido de que la distancia entre las definiciones y los teoremas se salva a menudo formalizando ideas geométricas sencillas, la deri- vación compleja combina las técnicas anaĺıticas con la estética y la profundidad del álgebra, en el sentido de que toda ella gira en torno a unos pocos principios fáciles de enunciar, pero abstractos y lógicamente distantes de las definiciones. Parece como si el origen algebraico del cuerpo complejo impregnase toda la teoŕıa y aśı, mientras la gúıa del análisis real es que las funciones derivables son las que admiten tangente en cada punto, en el caso complejo es útil pensar que las funciones derivables son como “polinomios de grado infinito”, hecho nada evidente a partir de la definición, pero que vuelve naturales los teoremas básicos. He aqúı un ejemplo :

Si el conjunto de puntos donde una función derivable compleja se anula tiene un punto de acumulación (en el dominio de la función) entonces dicha función es idénticamente nula.

Se trata del análogo infinito al hecho de que si un polinomio se anula en un conjunto infinito de puntos entonces es idénticamente nulo. El caso infinito es un resultado profundo en el sentido de que no es evidente a partir de la definición de derivada, ni aún de los hechos básicos sobre funciones derivables, pero es natural a partir de la analoǵıa con los polinomios que acabamos de explicar.

Este carácter algebraico-anaĺıtico de la teoŕıa se refleja en sus aplicaciones. Aunque muchas de ellas pertenecen al análisis real, análisis de Fourier o incluso a la f́ısica (mecánica de fluidos, electricidad, etc.), una parte importante corres- ponde a la teoŕıa de números, y lo más notable es que no sólo permite probar resultados anaĺıticos del tipo de relaciones asintóticas, como el teorema de los números primos, sino también profundos teoremas de enunciados estrictamente aritméticos o algebraicos.

De hecho, muchos de los problemas en que se puede aplicar con éxito la teoŕıa de funciones de variable compleja no muestran en principio relación alguna con los números complejos. Pongamos un ejemplo sencillo pero ilustrativo de este fenómeno.

xi

Consideremos la función f : R −→ R dada por f(x) = 1/(1 + x2). Es una función infinitamente derivable, luego podemos investigar la convergencia de su serie de Taylor alrededor de 0. Si intentamos calcular sus derivadas sucesivas obtenemos expresiones cada vez más complicadas, pero podemos observar que si |x2| < 1 entonces 1/(1 + x2) es la suma de la serie geométrica de razón −x2. Por lo tanto

1 1 + x2

= X

n=0

(1)nx2n.

Una serie de potencias es siempre su serie de Taylor, luego hemos encontrado el desarrollo de Taylor de la función f . Es inmediato que la serie converge sólo cuando |x| < 1. Surge entonces la pregunta de por qué la convergencia se interrumpe en 1. O tal vez no surge. Podŕıa pensarse que esto es aśı, como acabamos de probar, y que no tiene sentido buscar un porqué más alla de la prueba anterior u otra similar. Sin embargo, la teoŕıa de funciones de variable compleja aporta una explicación más profunda.

Consideremos la función f : C \ {±i} −→ C dada por f(z) = 1/(1 + z2), la extensión natural de la función de partida. El mismo argumento de antes prueba que

f(z) = X

n=0

(1)nz2n, para |z| < 1.

Las series de potencias convergen siempre en discos a funciones continuas, y ahora está claro por qué no puede converger más allá del disco unidad: porque f presenta discontinuidades en los puntos ±i, luego no existe ninguna extensión continua de f a un disco abierto mayor que |z| < 1.

La función original f teńıa un problema (o mejor dicho, dos problemas), pero fuera de la recta real. Considerar su restricción a R oscurece la situación, a pesar de que f puede aparecer al abordar un problema que sólo involucre números reales.

Similarmente, las técnicas complejas se aplican al cálculo de ĺımites, in- tegrales, suma de series de funciones, cálculo de series de Fourier, y muchos otros problemas de planteamiento estrictamente real. En este libro veremos muchos ejemplos de este tipo, pero a la hora de mostrar aplicaciones menos sencillas nos hemos inclinado hacia la teoŕıa de números por dos razones. Por una parte es más fácil exponer de forma “casi autocontenida” y motivada pro- blemas aritméticos, a menudo de planteamiento elemental, y por otro lado las aplicaciones a la teoŕıa de números muestran el sorprendente papel de “bisagra” que juega la derivación compleja entre el álgebra y el análisis, que es, a nuestro juicio, una de las caracteŕısticas más notables de la teoŕıa.

También debemos recordar que la derivación compleja está relacionada con la geometŕıa deferencial. La memoria de Riemann sobre variedades diferenciables que dio origen a la geometŕıa diferencial moderna estuvo motivada en parte por sus investigaciones sobre la materia que nos ocupa. Veremos algo acerca de esto en los últimos caṕıtulos. También daremos una demostración del teorema de la curva de Jordan basada en las propiedades de los logaritmos complejos.

xii Introducción

La mayor parte de este libro está dedicada a exponer los resultados básicos de la teoŕıa, acompañados de numerosas aplicaciones que muestren su potencia. Para seguirla adecuadamente el lector debe conocer los resultados topológicos básicos: propiedades de los espacios compactos, conexos, topoloǵıa producto, funciones continuas, ĺımites, etc. (por lo general en Rn), los resultados ele- mentales sobre espacios de funciones: convergencia puntual y uniforme, etc. (también para funciones en Rn, especialmente en R2, aunque una cierta fami- liaridad con el caso de R puede ser suficiente), aśı como los resultados funda- mentales del análisis real: diferenciabilidad, integrales, series, etc. (incluyendo la teoŕıa básica de la integral de Lebesgue). Algunas aplicaciones a la teoŕıa de números requieren la aritmética elemental (números primos, divisores, etc.) y un mı́nimo de álgebra (no más allá de saber qué es un grupo o un anillo cociente).

Para acabar debo hacer constar que la primera versión de los ocho prime- ros caṕıtulos del libro (aproximadamente) fue elaborada conjuntamente con mi amiga Pilar Rueda, y a ella le deben mucho de lo que son. Sin duda, en los caṕıtulos posteriores se echará de menos su buen criterio y su eficiencia pues, en contra de lo que ambos hubiéramos deseado, tuvimos que descomponer nuestro proyecto común en dos proyectos independientes, uno de los cuales termina en este libro.

Caṕıtulo I

El plano complejo

Dedicamos este primer caṕıtulo a introducir los conceptos básicos relacio- nados con los números complejos junto con algunos resultados anaĺıticos y to- pológicos que vamos a necesitar más adelante. Recordemos que los números complejos son de la forma z = a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, caracterizada por que i2 = 1. Esta ecuación, junto a las leyes de cuerpo, determina la suma y el producto de los números complejos, pues

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi)(c + di) = ac + bdi2 + adi + bci = (ac− bd) + (ad + bc)i.

Los números reales a y b de la expresión binómica anterior están uńıvocamen- te determinados por el número complejo z. Se llaman respectivamente parte real (Re z) y parte imaginaria (Im z) de z. Esta unicidad nos permite identificar el cuerpo C de los números complejos con el espacio R2, asociando a cada número a + bi el par ordenado (a, b). Esto nos da una interpretación geométrica de C como el conjunto de todos los puntos de un plano coordenado, de modo que los números reales ocupan el eje horizontal (eje real) mientras que el eje vertical (eje imaginario) está ocupado por los números de la forma bi, llamados también imaginarios puros.

1

i

b

a

a + bi

Con esta identificación, las funciones Re : C −→ R e Im : C −→ R son simplemente las proyecciones de R2 en R.

1

2 Caṕıtulo 1. El plano complejo

Existe un único automorfismo de C que fija a los números reales (y no es la identidad), llamado conjugación y que viene dado por z = a + bi = a − bi. Geométricamente se trata de la simetŕıa respecto al eje real. Como ya hemos dicho, la conjugación es un automorfismo, es decir, cumple

z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1z2.

Además z = z y z = z si y sólo si z ∈ R. La norma eucĺıdea en R2 se corresponde con el módulo de un número com-

plejo |z| = |a + bi| =

p a2 + b2 =

√ zz.

De las propiedades de la conjugación se deduce inmediatamente que |z1z2| = |z1||z2|. Notemos que el módulo extiende al valor absoluto en R, por lo que usamos la misma notación. Puesto que zz = |z|2, para z 6= 0 se cumple z−1 = z/|z|2.

Consideraremos a C como espacio topológico con la topoloǵıa usual de R2, que es la topoloǵıa dada por el módulo, o también la topoloǵıa producto inducida por R.

Es costumbre usar llamar discos a lo que en la teoŕıa general de espacios métricos se llaman bolas. Usaremos la notación

D(z0, ≤) = {z ∈ C | |z − z0| < ≤}.

Los discos cerrados los expresaremos como las clausuras de los discos abier- tos:

D(z0, ≤) = {z ∈ C | |z − z0| ≤ ≤}.

Conviene extender el plano complejo C añadiéndole un punto infinito, con lo que obtenemos el espacio compacto C= C∪{∞}, donde los entornos abiertos de son los complementarios de los subconjuntos compactos de C.

La proyección estereográfica nos da un homeomorfismo entre Cy una es- fera, por lo que a Cse le llama esfera de Riemann. Formalmente no necesita- remos este hecho.

θ cos θ

sen θ

z

|z|

Además de la representación binómica a + bi, todo número complejo admite la representación polar, de la forma z = |z|(cos θ + i sen θ).

Si z 6= 0, el número real θ está determinado por z salvo múltiplos enteros de 2π y se llama argumento de z. Aśı, todo número complejo z 6= 0 está uńıvocamen- te determinado por su módulo y por uno cualquiera de sus argumentos. Llamaremos Arg z al conjunto de los argumentos de z. Tenemos que si θ es un argumento de z entonces

Arg z = + 2kπ | k ∈ Z}.

1.1. Funciones de variable compleja 3

1.1 Funciones de variable compleja

Las funciones de variable real más importantes admiten una extensión natu- ral a funciones de variable compleja. El caso más simple es el de los polinomios. Cada polinomio con coeficientes reales define una función sobre C que extiende a la función que define sobre R. Claramente se trata de una función continua. Más aún, todo polinomio p(z) C[z] define una función continua en Csi admitimos que p() = .

Lo mismo ocurre con las funciones racionales, con la precaución de que toman el valor infinito en los puntos donde se anulan sus denominadores (en se extienden con el valor del ĺımite, finito o infinito, y el resultado es siempre una función continua). Por ejemplo, la función

f(z) = 1

z2 + 1

toma el valor en ±i y toma el valor 0 en .

Quizá la función real más importante sea la función exponencial. Ésta ad- mite una extensión al plano complejo que es sin duda la función más importante de variable compleja. La definición que vamos a dar puede parecer muy arti- ficial, pero veremos enseguida que aśı se conservan las muchas propiedades de la función real, y más adelante probaremos que es la única extensión posible derivable en todo punto en el sentido de derivabilidad compleja que definiremos en el caṕıtulo siguiente.

Definición 1.1 Definimos la función exponencial ez : C −→ C mediante

ex+iy = ex cos y + iex sen y. (1.1)

El teorema siguiente recoge las propiedades básicas de la exponencial com- pleja. Todas ellas se demuestran sin ninguna dificultad a partir de las propie- dades de la exponencial real y las funciones trigonométricas.

Teorema 1.2 La función exponencial compleja es continua y extiende a la ex- ponencial real. Además verifica

a) ez1+z2 = ez1ez2 ,

b) ez = ez,

c) |ea+bi| = ea,

d) ez 6= 0,

e) e−z = 1/ez.

Las funciones complejas presentan el inconveniente de que no pueden ser representadas gráficamente, ya que su gráfica tiene cuatro dimensiones. Para hacernos una idea del comportamiento de la exponencial podemos fijarnos en cómo transforma las rectas.

4 Caṕıtulo 1. El plano complejo

Por ejemplo, si fijamos x, al variar y la expresión (1.1) describe un ćırculo de centro 0 y radio ex, luego la función exponencial biyecta el conjunto de las rectas verticales con el de los ćırculos de centro 0.

Si por el contrario fijamos la variable y, entonces (1.1) recorre todos los múltiplos positivos del vector unitario (cos y, sen y), es decir, la imagen de una recta horizontal es una semirrecta.

En el caso de una recta oblicua, resulta que a medida que “avanzamos” por la recta aumentan tanto el módulo como el argumento de las imágenes, por lo que el resultado es una espiral, lo que se conoce como una espiral logaŕıtmica.

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

x = 1

y = 10 y = 4x

La figura muestra las imágenes por la función exponencial de las rectas x = 1, y = 10 e y = 4x.

Centrémonos en las rectas horizontales. Si lla- mamos = {ex+iα | x ∈ R}, es decir, la semi- rrecta formada por todos los números complejos de argumento α, hemos visto que es la ima- gen por la función exponencial de la recta y = α. Una banda de anchura menor que 2π, esto es, un conjunto de la forma

{x + iα | x ∈ R, a < α < b} con b− a < 2π

es la unión de las rectas horizontales de altura a < α < b, luego su imagen por la función exponencial será la unión de las semirrectas con a < α < b, o sea, un ángulo de b− a radianes:

a

b

ez

Aśı pues, la función exponencial biyecta las bandas con los ángulos. La mayor banda que podemos tomar sin perder la biyectividad es la de anchura 2π, siempre que la tomemos abierta (o al menos semiabierta).

Teorema 1.3 Si α ∈ R, la función exponencial biyecta la banda abierta

{x + iy | x ∈ R, α < y < α + 2π}

con el abierto Hα = C \ (Sα ∪ {0}), es decir, con el complementario de la semirrecta cerrada de argumento α.

1.1. Funciones de variable compleja 5

α

α + 2π

ez

Demostración: Si un número complejo z 6= 0 no tiene argumento α, tiene un argumento y de manera que α < y < α+2π. Si |z| = ex, entonces z = ex+iy, luego la función exponencial entre los conjuntos considerados es suprayectiva.

Para probar la inyectividad vemos primero que ex+iy = 1 si y sólo si

ex(cos y + i sen y) = 1, si y sólo si ex = 1, cos y = 1 y sen y = 0, si y sólo si x = 0 e y = 2para cierto k ∈ Z.

Por lo tanto ez1 = ez2 si y sólo si ez1−z2 = 1, si y sólo si z1− z2 = 2kπi para un k ∈ Z.

Si tomamos z1 y z2 en una banda abierta de anchura 2π, esta condición equivale a z1 = z2, luego la función exponencial es biyectiva sobre estas bandas.

Definición 1.4 Un número complejo L es un logaritmo de otro número z si cumple eL = z. Llamaremos Log z al conjunto de todos los logaritmos de z.

Del teorema anterior se deduce que todo número complejo no nulo tiene infinitos logaritmos, aunque vamos a verlo directamente:

Si L = a + bi es un logaritmo de z, entonces z = ea+bi = ea(cos b + i sen b), luego |z| = ea y por lo tanto a = log |z|. Por definición, b es un argumento de z.

Rećıprocamente, es obvio que si θ es un argumento de z, entonces L = log |z|+es un logaritmo de z. Aśı pues, hay una biyección entre los logaritmos de z y los argumentos de z dada por

Log z −→ Arg z L 7→ ImL

Arg z −→ Log z θ 7→ log |z| +

En particular, si L1 y L2 son logaritmos de z, entonces L1 = L2 + 2kπi, con k ∈ Z y, si L1 es un logaritmo de z, entonces Log z = {L1 + 2kπi | k ∈ Z}.

Para cada α ∈ R definimos la función logα : Hα −→ C como la inversa de la restricción de la función exponencial a la franja α < Im z < α + 2π. Equivalentemente, si z ∈ Hα entonces logα z es el único logaritmo de z cuya parte imaginaria está en ]α,α + 2π[. Con más detalle, logα z = log |z|+ i argα z, donde argα z es el único argumento de z en el intervalo ]α,α + 2π[.

6 Caṕıtulo 1. El plano complejo

A las funciones logα y argα se las llama ramas uniformes1 del logaritmo y el argumento en .

Teorema 1.5 Para cada número real α, las ramas uniformes argα : Hα −→ R y logα : Hα −→ C son continuas.

Demostración: Dada la relación logα z = log |z| + i argα z, basta probar que argα es continua.

Si z ∈ Hα, entonces z = |z|eiθ, donde θ = argα z ∈ ]α,α + 2π[. Por lo tanto e−iαz = |z|ei(θ−α) tiene argumento θ − α ∈ ]0, 2π[, es decir, e−iαz ∈ H0. Además arg0(e−iαz) = θ− α, luego argα z = α+ arg0(e−iαz). Por consiguiente basta probar que arg0 es continua.

Llamemos S = {eiθ | 0 < θ < 2π}. La función f : H0 −→ S dada por f(z) = z/|z| es continua y conserva los argumentos, es decir, arg0 z = arg0 f(z). Por lo tanto basta probar la continuidad de la restricción a S de arg0, es decir, de la inversa de la función g : ]0, 2π[ −→ S dada por g(θ) = cos θ + i sen θ.

A su vez ésta es consecuencia de la continuidad de las funciones

arccos : ]1, 1[ −→ ]0[ , arcsen : ]1, 1[ −→ i −π

2 , π

2

h ,

pues sobre el conjunto {z ∈ S | Im z > 0} se cumple g−1(z) = arccosRe z, sobre {z ∈ S | Im z < 0} es g−1(z) = 2π − arccosRe z y sobre {z ∈ S | Re z < 0} tenemos g−1(z) = π − arcsen Im z, y estos tres conjuntos son abiertos en S y cubren todos sus puntos.

En la práctica no usaremos la notación logα, sino que diremos que log es el logaritmo que toma argumentos entre α y α + 2π. Si no se indica lo contrario, log representará al logaritmo con argumentos entre −π y π. De este modo, si r ∈ R, su argumento es 0, luego log r ∈ R y aśı log extiende a la función logaritmo real.

Observar que no es cierto en general que logα(z1z2) = logα z1 + logα z2. El segundo miembro es, en efecto, un logaritmo de z1z2, pero su parte imaginaria no tiene por qué estar entre α y α + 2π.

Ahora vamos a extender las funciones seno y coseno. Partiremos del hecho de que si x ∈ R, entonces eix = cosx + i senx, luego cosx = Re eix, senx = Im eix.

Nos interesa definir que las extensiones sean derivables en el sentido que definiremos en el caṕıtulo siguiente, pero veremos alĺı que las funciones parte real y parte imaginaria no son derivables, por lo que si definiéramos cos z = Re eiz y sen z = Im eiz no obtendŕıamos funciones derivables. Esto se resuelve observando que en general Re z = (z + z)/2, Im z = (z − z)/2i.

1La palabra “uniforme” no está relacionada con su uso en otros contextos, como en “con- vergencia uniforme” o “función uniformemente continua”. Aqúı “función uniforme” se opone a “función multiforme”, que es una función que asigna a cada z un conjunto de valores, como ocurre con las funciones Arg y Log. En general, una rama uniforme de una función multiforme F es una función f tal que f(z) ∈ F (z) para todo z.

1.1. Funciones de variable compleja 7

Definición 1.6 Llamaremos funciones seno y coseno a las dadas por

sen z = eiz − e−iz

2i cos z =

eiz + e−iz

2 .

Con esta definición la derivabilidad será obvia a partir de la derivabilidad de la función exponencial. La prueba del teorema siguiente no presenta ninguna dificultad.

Teorema 1.7 Las funciones seno y coseno complejas extienden a las corres- pondientes funciones reales. Además cumplen:

a) sen2z + cos2z = 1.

b) sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a.

c) cos(a + b) = cos a cos b− sen a sen b.

d) Si k ∈ Z entonces sen(z + 2) = sen z, cos(z + 2) = cos z.

e) cos(−z) = cos z, sen(−z) = sen z.

Sin embargo, no es cierto que | sen z| ≤ 1, | cos z| ≤ 1. Por ejemplo, para todo número real x se cumple

cos ix = ex + e−x

2 sen ix = i

ex − e−x 2

,

y estas funciones no están acotadas. Ahora tenemos definida de forma natural la función tangente compleja, dada

por tan z = sen z/ cos z. Esta función está definida en el plano complejo salvo en los puntos donde el coseno se anula que, como vemos a continuación, son exactamente los números reales donde el coseno se anula.

Teorema 1.8 Los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mis- mos que los de las funciones reales correspondientes, es decir,

cos z = 0 si y sólo si z = π

2 + kπ, sen z = 0 si y sólo si z = kπ,

con k ∈ Z.

Demostración: Veámoslo para el coseno. cos z = 0 si y sólo si eiz = −e−iz, si y sólo si e2iz = 1 = eiπ, si y sólo si 2iz = +2kπi, si y sólo si z = π/2+. El caso del seno es análogo.

A partir de la exponencial y el logaritmo se pueden definir otras funciones de interés. Por ejemplo, podemos definir exponenciales de base arbitraria no nula:

az = ez log a,

donde log a es un logaritmo cualquiera de a. Podemos considerar az como una función multiforme, aunque es mejor pensar que tenemos infinitas funciones

8 Caṕıtulo 1. El plano complejo

independientes definidas sobre todo el plano complejo, una para cada logaritmo posible de la base. La exponencial usual se obtiene como caso particular al tomar log e = 1.

También tenemos las funciones potenciales:

za = ea log z.

Éstas son funciones multiformes, de las que podemos separar ramas unifor- mes continuas (es decir, funciones continuas que asignan a cada z una de sus potencias za) en los abiertos donde el logaritmo las tiene, en particular en los abiertos y, por consiguiente, en un entorno de cada punto no nulo. No obstante, si a ∈ Z entonces za = (elog z)a, donde las exponenciales del segundo miembro son la función exponencial usual y la exponenciación respecto a ente- ros, definida algebraicamente en cualquier cuerpo, es decir, za es simplemente la exponenciación usual, es una función uniforme y está definida en todo el plano complejo.

De entre las funciones potenciales con exponente no entero, las más im- portantes son las de exponente 1/n, donde n es un número natural no nulo. Entonces escribimos z1/n = n

√ z, pues claramente

° n √

z ¢n = z, pero debemos

recordar que n √

z es una función multiforme, pues cada número complejo no nulo tiene exactamente n ráıces n-simas distintas.

Ejercicio: Probar que dos logaritmos log1 z y log2 z de un número complejo z 6= 0 determinan una misma ráız n-sima e(1/n) log1 z = e(1/n) log2 z si y sólo si sus partes imaginarias se diferencian en un múltiplo entero de 2.

Cada rama uniforme continua del logaritmo determina una rama uniforme continua de la ráız n-sima. En particular todo número complejo no nulo tiene en un entorno una rama uniforme continua de la ráız n-sima. De hecho es fácil ver que en un entorno suficientemente pequeño tiene exactamente n ramas distintas (las que hemos descrito).

1.2 Transformaciones de Möbius

Las transformaciones de Möbius son una familia muy importante de funcio- nes de variable compleja, por lo que les dedicamos esta sección. Son los cocientes no triviales de polinomios de primer grado:

Definición 1.9 Llamaremos transformaciones de Möbius a las funciones

M(z) = az + b cz + d

,

donde a, b, c, d son números complejos tales que ad− bc 6= 0.

Notar que si fuera ad − bc = 0 entonces M(z) seŕıa simplemente una cons- tante. Tal y como hemos comentado en la sección anterior para el caso de

1.2. Transformaciones de Möbius 9

funciones racionales arbitrarias, el dominio de una transformación de Möbius es todo Csi convenimos en que

M() = ĺım z→∞

M(z) = a

c ∈ C∞, M(−d/c) = ∞.

Claramente M : C∞ −→ Ces una función continua y tiene inversa

M−1(z) = dz − b

−cz + a,

que, como vemos, es también una transformación de Möbius. En consecuencia las transformaciones de Möbius resultan ser homeomorfis-

mos de Cen śı mismo. Un cálculo directo muestra que la composición de dos transformaciones de Möbius es de nuevo una transformación de Möbius, luego éstas forman un grupo con la composición de aplicaciones.

Comenzamos el estudio de estas funciones con una propiedad geométrica:

Teorema 1.10 La imagen de una recta o de una circunferencia por una trans- formación de Möbius es una recta o una circunferencia.

Demostración: El teorema no afirma que la imagen de una recta sea una recta y la imagen de una circunferencia sea una circunferencia, sino que las rectas pueden ser transformadas en circunferencias y viceversa.

La circunferencia de centro un punto (a, b) y radio r > 0 está formada por los puntos (x, y) que cumplen la ecuación (x− a)2 + (y − b)2 − r2 = 0.

Operando y multiplicando por un número real A 6= 0 arbitrario queda:

A(x2 + y2)2Aax− 2Aby + A(a2 + b2 − r2) = 0,

luego las circunferencias son los conjuntos de puntos que cumplen una ecuación del tipo

A(x2 + y2) + 2Bx + 2Cy + D = 0, (1.2)

donde A 6= 0 y B2 + C2 −AD > 0 (ya que B2 + C2 −AD = A2r2). Rećıproca- mente, el conjunto de los puntos que cumple una ecuación en estas condiciones es una circunferencia.

Por otra parte si A = 0 la ecuación se reduce a 2Bx+2Cy +D = 0 que, ad- mitiendo (B,C) 6= (0, 0), es la ecuación de una recta, y toda recta está formada por los puntos que cumplen una ecuación de este tipo.

En resumen, las rectas y las circunferencias son los conjuntos de puntos (x, y) que cumplen una ecuación del tipo (1.2), donde A 6= 0 y B2 + C2 − AD > 0 o bien A = 0 y (B,C) 6= (0, 0).

Si consideramos (x, y) como un número complejo z, entonces (1.2) equivale a

Azz + Ez + Ez + D = 0, (1.3)

donde E = B + Ci, y las condiciones sobre los coeficientes son A = 0 y E 6= 0 o bien A 6= 0 y EE −AD > 0.

10 Caṕıtulo 1. El plano complejo

Convendremos en que pertenece a cualquier recta y no pertenece a nin- guna circunferencia, luego una recta es un conjunto de números complejos deter- minados por una ecuación de tipo (1.3) con A = 0 más el punto y una circun- ferencia es un conjunto de números complejos determinados por una ecuación de tipo (1.3) con A 6= 0.

Consideremos en primer lugar la función M(z) = 1/z. El conjunto de los números complejos z 6= 0 que cumplen la ecuación (1.3) se transforma en el conjunto de los números complejos no nulos que cumplen

A 1 zz

+ E 1 z

+ E 1 z

+ D = 0

o, equivalentemente, Dzz + Ez + E z + A = 0.

Si A 6= 0 y D 6= 0 (con lo que z = 0 no cumple (1.3)) tenemos que el conjunto inicial era una circunferencia y su imagen también. Si A 6= 0 pero D = 0 entonces el conjunto inicial era una circunferencia y el final es una recta. El 0 pertenećıa a la circunferencia y su imagen es , que pertenece a la recta.

Si A = 0 y D 6= 0 tenemos una recta que no pasa por 0 y se transforma en una circunferencia. El 0 está en la imagen porque es la imagen de , que estaba en la recta. Finalmente si A = D = 0 tenemos una recta que pasa por 0 y que se transforma en otra recta que pasa por 0 (de modo que 0 e se intercambian).

Aśı pues, el teorema es cierto para la función 1/z. Análogamente se puede comprobar que es válido para una función del tipo M(z) = az + b, aunque también se puede probar geométricamente teniendo en cuenta que en tal caso M(z) consiste en la homotecia z 7→ |a|z, seguida del giro de ángulo arg z y seguida de la traslación z 7→ z + b, y todas estas operaciones conservan rectas y circunferencias.

En el caso general (si c 6= 0) expresamos

M(z) = az + b cz + d

= a

c +

bc− ad c(cz + d)

,

con lo que M se expresa como composición de tres transformaciones de Möbius que ya sabemos que conservan o intercambian rectas y circunferencias, a saber, z 7→ cz + d, seguida de z 7→ 1/z, seguida de

z 7→ bc− ad c

z + a

c .

El caso c = 0 es claro.

Con más precisión, si M es una transformación de Möbius y M(z0) = , entonces las imágenes de las rectas y circunferencias que pasan por z0 han de contener a , luego han de ser rectas, y las imágenes de las rectas y cir- cunferencias que no pasan por z0 no han de contener a , luego han de ser circunferencias.

1.2. Transformaciones de Möbius 11

Por otra parte, tanto las rectas como las circunferencias dividen a Cen dos componentes conexas (dos semiplanos o el interior y exterior de la circunfe- rencia) y es obvio que si una función M transforma una recta/circunferencia A en una recta/circunferencia B, entonces M es un homeomorfismo entre C∞ \A y C∞ \ B, luego biyecta sus dos componentes conexas, es decir, si por ejemplo M transforma una recta en una circunferencia, entonces M env́ıa los puntos de uno de los semiplanos definidos por la recta al interior de la circunferencia y los puntos del otro semiplano al exterior.

Teorema 1.11 Toda transformación de Möbius M deja fijo al menos a un punto de C∞ y si M no es la identidad entonces tiene a lo sumo dos puntos fijos.

Demostración: Sea M(z) =

az + b cz + d

.

Supongamos primero que c = 0 (luego d 6= 0, a 6= 0). Entonces se cumple M() = , luego M tiene un punto fijo. En el plano finito M(z) = z tiene a lo sumo la solución b/(d−a) (siempre que a 6= d), luego en total hay a lo sumo dos puntos fijos. Ahora supongamos c 6= 0, con lo que M() = a/c 6= , luego no es un punto fijo. Tampoco lo es el punto −d/c, pues su imagen es . Entre los puntos restantes, la ecuación M(z) = z equivale a cz2 + (d − a)z − b = 0, que tiene una o dos soluciones en C.

En la prueba anterior hemos usado el teorema fundamental del álgebra. Daremos una prueba de este resultado en el caṕıtulo III (la cual, por supuesto, no usará el teorema anterior).

Una consecuencia del teorema anterior es que si una transformación de Möbius tiene tres puntos fijos entonces es la identidad. El teorema siguiente generaliza considerablemente este hecho.

Teorema 1.12 Si z1, z2, z3 son tres puntos distintos de C∞ y w1, w2, w3 son también distintos entre śı (aunque no necesariamente distintos de los anterio- res) existe una única transformación de Möbius M que cumple M(z1) = w1, M(z2) = w2, M(z3) = w3.

Demostración: La unicidad es consecuencia del teorema anterior: si dos transformaciones M y N cumplen estas condiciones entonces MN−1 deja fijos a z1, z2, z3, luego es la identidad y por lo tanto M = N .

Supongamos que z1, z2, z3 son finitos y que w1 = 0, w2 = , w3 = 1. Para que una transformación

M(z) = az + b cz + d

.

cumpla M(z1) = 0 se ha de cumplir que az1+b = 0, o sea, que az+b = a(z−z1). Del mismo modo la condición M(z2) = equivale a cz + d = c(z − z2). Aśı pues,

M(z) = a

c

z − z1 z − z2

.

12 Caṕıtulo 1. El plano complejo

La condición M(z3) = 1 determina el cociente

a

c =

z3 − z2 z3 − z1

y el resultado es M(z) =

z3 − z2 z3 − z1

z − z1 z − z2

.

Es claro que esta transformación cumple lo pedido. Si uno de los puntos z es infinito es fácil ver que la función que resulta de

tomar ĺımites en la expresión anterior cumple lo buscado. Concretamente sirven las funciones

M(z) = z3 − z2 z − z2

, M(z) = z − z1 z3 − z1

, M(z) = z − z1 z − z2

,

según sea z1 = , z2 = o z3 = . En general podemos obtener dos transformaciones M y N tales que

M(z1) = 1, M(z2) = ∞, M(z3) = 1,

N(w1) = 1, N(w2) = ∞, N(w3) = 1, y entonces MN−1 es la transformación buscada.

Teniendo en cuenta que por tres puntos no alineados pasa una única circun- ferencia es claro que dadas dos rectas/circunferencias existe una transformación de Möbius que transforma una en otra.

1.3 Las funciones trigonométricas inversas

Las últimas funciones de variable compleja que vamos a presentar en este caṕıtulo son las funciones trigonométricas inversas:

Arcsen z, Arccos z, Arctan z.

Definimos el arco seno Arcsen z como el conjunto de todos los números com- plejos w tales que senw = z. Similarmente se definen el arco coseno y el arco tangente. Se trata, pues, de funciones multiformes, y vamos a estudiar la exis- tencia de ramas uniformes continuas. Ante todo, observamos que la relación sen(w + π/2) = cosw hace que Arcsen z = Arccos z + π/2, en el sentido de que cualquier arco coseno de z se convierte en un arco seno sumándole π/2 y cualquier arco seno se convierte en un arco coseno restándole π/2. Esto permite traducir todas las propiedades del arco coseno a propiedades del arco seno, por lo que sólo nos ocuparemos de las funciones Arccos z y Arctan z.

Teniendo en cuenta la definición que hemos dado de la función coseno, con- viene que estudiemos primero la función racional

w = λ(z) = z + z−1

2 =

z2 + 1 2z

.

1.3. Las funciones trigonométricas inversas 13

Observemos que λ toma el valor exactamente en los puntos 0 e . Dado w ∈ C, un número z cumplirá w = λ(z) si y sólo si z2 2wz + 1 = 0, lo que a su vez equivale a que z = w +

√ w2 1, donde

√ w2 1 es cualquiera de las

ráıces cuadradas de w2 1. Aśı, si w 6= ±1,∞ entonces w21 es un número complejo no nulo y tiene dos

ráıces cuadradas distintas, con lo que w tiene exactamente dos antiimágenes por λ (esto último también vale para w = ). Los puntos w = ±1 son los únicos que tienen una única antiimagen por λ, a saber, λ(1) = 1, λ(1) = 1.

Para comprender con más detalle el comportamiento de λ estudiaremos en primer lugar cómo transforma las circunferencias de centro 0. La circunferencia unitaria |z| = 1 es un caso especial. Sus puntos son de la forma z = eit, con t ∈ R, y se transforman en

λ(z) = eit + e−it

2 = cos t.

Por consiguiente la circunferencia unitaria se transforma en el segmento [1, 1]. Geométricamente, λ “aplasta” la circunferencia sobre el segmento, de modo que todos los puntos de éste salvo sus extremos tienen dos antiimágenes por λ, una en el semiplano superior y otra en el inferior.

Consideremos ahora una circunferencia de radio r > 0, r 6= 1. Sus puntos son de la forma z = reit, con t ∈ R. Al aplicar λ obtenemos

w = λ(z) = reit + r−1e−it

2 =

r−1 + r 2

cos t− i r −1 − r

2 sen t. (1.4)

Por lo tanto, la circunferencia de radio r se trans- forma en la elipse cuyos ejes son el eje real y el eje ima- ginario y cuyos semiejes miden

a = r−1 + r

2 y b =

r−1 − r 2

.

La distancia focal c está determinada por la relación a2 = b2 + c2, luego es c = 1, es decir, los focos son ±1. En realidad, son dos las circunferencias cuya imagen por λ es dicha elipse, las de radios r y r−1. Cada punto de la elipse tiene exactamente una imagen en cada una de las circunferencias. Es fácil ver que las elipses de focos ±1 cubren todo el plano complejo menos el intervalo [1, 1]. Por consiguiente λ biyecta tanto el disco abierto D(0, 1) como el complementario del disco cerrado D(0, 1) con C\ [1, 1].

La observación siguiente tendrá importancia un poco más abajo: Si r > 1 entonces (r−1−r)/2 > 0, luego la fórmula (1.4) muestra que z y λ(z) están en el mismo semiplano respecto al eje real. Aśı, los puntos de la semicircunferencia Im z > 0 se transforma en la semielipse Im z > 0. Por el contrario, si r < 1 entonces la semicircunferencia Im z > 0 se transforma en la semielipse Im z < 0. Como consecuencia, los puntos |z| < 1, Im z > 0 se transforman en el semiplano Im z < 0, mientras que los puntos |z| > 1, Im z > 0 se transforman en el semiplano Im z > 0.

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