geometria, Apuntes de Comunicación. CEADE
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Asignatura: Animación y Composición Digital, Profesor: nadie nadie, Carrera: Ciencias de la Comunicación, Universidad: CEADE
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Notas de Geometŕıa Diferencial con

aplicaciones

Antonio Valdés

22 de enero de 2013

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Índice general

1. Curvas parametrizadas 5

1.1. Ejemplos de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2. Curvas polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Curvas de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1. Afinidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2. Combinaciones baricéntricas . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3. Algoritmo de Jarvis para el cálculo de la envoltura convexa 14

1.2.4. Polinomios de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.5. Curvas de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.6. El algoritmo de De Casteljau . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3. Curvas racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Curvas regulares. Curvatura. 25

2.1. Curvas regulares. Longitud de arco. . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Definición de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1. Curvatura de una curva plana . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2. Curvatura de una curva no parametrizada por la longitud de arco 37

2.2.3. Invariancia de la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.4. Circunferencia osculadora . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3. Ecuaciones impĺıcitas de curvas en el plano . . . . . . . . . . . 43

2.3.1. Curvatura de una curva definida impĺıcitamente . . . . 47

3. Ecuaciones de Frenet 49

3.1. Otra interpretación de la curvatura de una curva plana . . . . 49

3.2. Ecuaciones de Frenet planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3. El teorema fundamental de la teoŕıa de curvas planas . . . . . 53

3.4. Curvas espaciales. Plano osculador . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5. Binormal. Fórmulas de Frenet y consecuencias. . . . . . . . . . 58

3.6. Forma canónica local de una curva . . . . . . . . . . . . . . . 60

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4 ÍNDICE GENERAL

4. Superficies 63

4.1. Superficies de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2. Superficies parametrizadas regulares . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.1. El plano tangente es el que mejor aproxima la superficie en el punto 66 4.3. Ejemplos de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.1. Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3.2. Superficies de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4. Rotaciones y cuaterniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.5. Curvas sobre superficies. Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5.1. Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5. Las formas fundamentales 77

5.1. Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1.1. Longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1.2. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.1.3. Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2. La segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2.1. Curvatura normal y curvatura geodésica . . . . . . . . 82 5.2.2. Secciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2.3. Diagonalización de la segunda forma fundamental . . . 84 5.2.4. Cálculos expĺıcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3. Ĺıneas de curvatura y ĺıneas asintóticas . . . . . . . . . . . . . 87 5.4. Una interpretación geométrica de la curvatura de Gauss . . . . 89 5.5. El teorema egregio de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Esta obra se difunde bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-

CompartirIgual 3.0. Puede leer las condiciones de la licencia en http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es :

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Caṕıtulo 1

Curvas parametrizadas

Comenzaremos adoptando la siguiente idea intuitiva de curva plana: es el conjunto de puntos del plano recorrido por un punto que se mueve en el tiempo. Esto implica que las coordenadas del punto móvil x(t) = (x(t), y(t)) deben ser funciones x = x(t), y = y(t) de la variable temporal. Dado que las técnicas que usaremos para estudiar dichas curvas usarán herramientas del cálculo diferencial, exigiremos que las coordenadas sean funciones diferencia- bles con tantas derivadas como sea necesario.

La velocidad de la curva es el vector dx dt

= (dx dt , dy dt ). Nótese que conociendo

la velocidad v = v(t) de la curva y su posición x0 en un instante t = t0, es posible recuperar la misma:

x(t) = x0 +

∫ t

t0

v(t)dt. (1.1)

Ejercicio 1. Una curva x = x(t) tiene por velocidad v(t) = (− sin t, cos t). Calcúlense sus ecuaciones y dibújese.

Ejercicio 2. Calcúlense las ecuaciones de las curvas cuya velocidad está dada por v(t) = (−a sin t, b cos t) siendo a, b > 0.

Ejercicio 3. La curva x(t) = (t2 + 3t + 1, 2t2 − t − 5) es una parábola. Encuéntrese su ecuación impĺıcita.

Ejercicio 4. Demuéstrese que una curva espacial cuyas componentes sean polinomios de grado ≤ 2 está contenida en un plano. (Indicación: el espacio de polinomios de grado ≤ 2 tiene dimensión tres, y los tres polinomios, junto con el polinomio constante 1 son cuatro polinomios).

Ejercicio 5. — Demuéstrese que, si x(t) e y(t) son dos polinomios de gra- do dos independientes, entonces la curva es una parábola (Indicación: hay

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6 CAPÍTULO 1. CURVAS PARAMETRIZADAS

un cambio af́ın de coordenadas que transforma la curva original en (t, t2), que es manifiestamente una parábola. Para encontrarlo basta con escribir los polinomios en términos de la base canónica.)

Ejercicio 6. Demuéstrese que una curva espacial cuyas componentes son polinomios independientes de grado ≤ 2 es una parábola. ¿Y si son depen- dientes?

1.1. Ejemplos de curvas planas

Antes de comenzar el estudio teórico de las curvas, es conveniente disponer de ejemplos suficientes que muestren su interés.

Un punto

Existe la posibilidad de que el movimiento del punto tenga velocidad nula, es decir, v(t) = 0 = (0, 0). En ese caso la integral de la ecuación (1.1) es nula y por tanto

x(t) = x0.

Rectas

Cuando un punto se desplaza con velocidad constante, v(t) = v0 entonces

∫ t

t0

v0 dt = v0(t− t0),

aśı que la curva resultante es la recta

x(t) = x0 +

∫ t

t0

v(t)dt = x0 + v0(t− t0).

En coordenadas, si x0 = (x0, y0) y v0 = (u, v), resulta

{

x(t) = x0 + u(t− t0) y(t) = y0 + v(t− t0)

No obstante, una recta puede ser recorrida a velocidad no constante.

Ejercicio 7. Escŕıbase una curva parametrizada que recorra una recta pero a velocidad no constante. Dibújese, usando Sage.

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1.1. EJEMPLOS DE CURVAS PLANAS 7

Ejercicio 8. Demuéstrese que los puntos de una curva están contenidos en una recta, es decir, satisfacen una ecuación lineal del tipo ax+ by+ c = 0, si y sólo si su velocidad v(t) es de la forma v(t) = f(t)v0 para alguna función diferenciable f(t) y un vector constante v0.

La aceleración de una curva es el vector

a(t) = dv

dt =

d2x

dt2 .

También emplearemos la notación funcional según la cual

x′(t) = dx

dt

x′′(t) = d2x

dt2 ,

y aśı sucesivamente.

Ejercicio 9. Demuéstrese que una curva x = x(t) con velocidad nunca nula es una recta si y sólo si su aceleración es proporcional a su velocidad (se entiende que los coeficientes de proporcionalidad son funciones de la variable temporal). ¿Es este resultado razonable, intuitivamente? Sugerencia: Para demostrar que la condición es necesaria, puede utilizarse el ejercicio ante- rior. Para la suficiencia, la ecuación diferencial x′′(t) = λ(t)x′(t) es fácil de resolver.

Ejercicio 10. Demuéstrese que la función

f(t) =

{

e−1/t 2

si t 6= 0 0 si t = 0

es diferenciable (de clase infinito). Indicación: demuéstrese por inducción que las derivadas de f son de la forma

f (n)(t) =

{

Rn(t)e −1/t2 si t 6= 0

0 si t = 0,

siendo Rn una función racional y calcúlese ĺımt→0 f (n)(t).

Ejercicio 11. Usando la función definida en el ejercicio anterior, escŕıbase la parametrización de una curva diferenciable que esté contenida en el eje OX si t < 0 y en el eje OY si t > 0. ¿Es su aceleración proporcional a su velocidad? ¿Contradice esto el ejercicio 9?

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8 CAPÍTULO 1. CURVAS PARAMETRIZADAS

Ejercicio 12. Supongamos que todas las rectas tangentes a una curva cuya velocidad es nunca nula pasan por un punto fijo. Demuéstrese que la curva está contenida en una recta. (Indicación: Si llamamos al punto x0, tendremos que x(t) + λ(t)x′(t) = x0 para cierta función λ. Deŕıvese esta relación y utiĺıcese el ejercicio 9.

Ejercicio 13. Dar un ejemplo que muestre que el resultado del ejercicio an- terior no es cierto si suponemos que la velocidad de la curva puede anularse.

1.1.1. Circunferencia

Una circunferencia de centro p0 = (x0, y0) y radio r puede parametrizarse como

x(t) = p0 + r(cos t, sin t).

Ejercicio 14. Demuéstrese que los puntos de esta curva distan r del centro.

Dibujemos la circunferencia con centro (1, 2) y radio 3:

t = var(’t’)

x0, y0 = 1, 2

r = 3

p = parametric_plot((x0 + r * cos(t), y0 + r*sin(t)),

(t, 0 ,2 * pi))

p.set_aspect_ratio(1)

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

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1.1.2. Curvas polinómicas

Una clase especialmente importante de curvas son las curvas polinómicas, es decir, tales que x(t) e y(t) son polinomios en la variable t, digamos de grado ≤ n. Tienen la ventaja de que su cálculo es muy rápido y están controladas por n + 1 parámetros. Sin embargo, la relación entre sus coeficientes y la

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1.1. EJEMPLOS DE CURVAS PLANAS 9

curva final es dif́ıcil de controlar. Consideremos una curva ∑n

i=0 vit i, siendo

vi puntos deR 2. El siguiente dibujo muestra un ejemplo de la curva resultante

con el poĺıgono formado por los puntos vi.

m = 3

v = [vector([-2, 2]), vector([0, 1]),

vector([1, 2]),vector([2, 1])]

curva = sum(v[i]*t^i for i in range(m + 1))

curva_plot = parametric_plot(curva, (t, 0, 1), color = ’green’)

v_plot = line([v[i].list() for i in range(m + 1)],

marker = ’o’, color = ’red’)

dib = curva_plot + v_plot

dib.set_aspect_ratio(1)

-2 -1 0 1 2

1

2

3

4

5

6

Una razón que explica la mala relación entre la curva y el poĺıgono dado por sus coeficientes es que no es geométrica: si consideramos una afinidad f : R2 → R2, es decir, una aplicación de la forma f(x) = Ax + b, siendo A una matriz 2× 2 y b un punto de R2, resulta que

f

(

n ∑

i=0

vit i

)

6= n

i=0

f(vi)t i,

salvo para valores excepcionales de t. Con palabras, no coincide la transfor- mada de la curva con la curva definida por el poĺıgono transformado.

Ejercicio 15. Demuéstrese, con un ejemplo, que no es cierto que la cur- va transformada mediante una afinidad coincida con la curva asociada al poĺıgono transformado. ¿Cuáles son las curvas que tienen esta propiedad pa- ra toda afinidad?

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10 CAPÍTULO 1. CURVAS PARAMETRIZADAS

Para entender la razón por la que las curvas polinómicas escritas en la base estándar tienen un mal comportamiento, debemos recordar lo que son las combinaciones afines (también llamadas baricéntricas) de puntos.

1.2. Curvas de Bézier

Para definir y entender las curvas de Bézier, es necesario introducir algu- nos conceptos de geometŕıa af́ın.

1.2.1. Afinidades

Las transformaciones afines del plano son de la forma

f(x) = Ax+ b,

siendo

A =

(

a00 a01 a10 a11

)

una matriz no singular, i.e., det A 6= 0 y

b =

(

b0 b1

)

representa una traslación. Algunos casos particularmente importantes de afinidades son los siguien-

tes:

Traslaciones

Cuando A = Id, la afinidad se reduce a

f(x) = x+ b,

y se llama traslación de vector b.

Isometŕıas

En el caso de que la matriz A sea ortogonal, es decir, AA⊤ = Id, la afi- nidad se llama isometŕıa. Isometŕıa significa “igual medida”, porque dichas transformaciones preservan las distancias, es decir, para cualesquiera puntos x,y se tiene que

d(f(x), f(y)) = d(x,y).

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1.2. CURVAS DE BÉZIER 11

Veamos que el que una afinidad preserve las distancias es equivalente a que la matriz A sea ortogonal. Para ello observemos que

d(x,y)2 = ‖x− y‖2 = (x− y)⊤(x− y) = (x− y)⊤Id(x− y), (1.2)

mientras que

d(f(x), f(y))2 = ‖Ax+ b− (Ay + b)‖2

= (Ax− Ay)⊤(Ax− Ay) = (x− y)⊤A⊤A(x− y).

(1.3)

Concluimos por tanto que las expresiones en (1.2) y (1.3) son iguales para todo x,y si y solo si

A⊤A = Id, (1.4)

es decir, A es una matriz ortogonal.

Ejercicio 16. Demuéstrese esta última afirmación. Indicación: hágase y = 0. Las derivadas parciales de segundo orden respecto a x de ambas expresiones deben ser iguales y determinan los coeficientes de las matrices.

Tomando determinantes en (1.4), vemos que

|A|2 = 1,

con lo que |A| = ±1. Ejercicio 17. Demuéstrese con un ejemplo que no toda matriz con determi- nante ±1 tiene por qué ser una matriz ortogonal.

Las isometŕıas cuya matriz A tienen determinante +1 se llaman movi- mientos.

Ejercicio 18. Demuéstrese que un movimiento plano tiene una matriz de la forma

A =

(

cos θ − sin θ sin θ cos θ

)

.

Indicación: anaĺıcese el sistema de ecuaciones que resulta de que A⊤A = Id.

Ejercicio 19. Demuéstrese que una isometŕıa plana que no es un movimien- to tiene una matriz de la forma

A =

(

cos θ sin θ sin θ − cos θ

)

.

Indicación: Basta con componer A con una reflexión respecto, por ejemplo, a uno de los ejes coordenados.

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12 CAPÍTULO 1. CURVAS PARAMETRIZADAS

1.2.2. Combinaciones baricéntricas

Las combinaciones lineales usuales no son compatibles con las afinidades debido esencialmente a la existencia de traslaciones. En efecto, consideremos puntos x,y y escalares λ, µ ∈ R. Sea f la traslación de vector b. Entonces

f(λx+ µy) = λx+ µy + b,

mientras que λf(x) + µf(y) = λx+ µy + (λ+ µ)b.

Si queremos que ambos resultados sean iguales para cualquier traslación, debemos exigir que

λ+ µ = 1.

De forma más general, dados puntos xi y escalares λi ∈ R, i = 0, . . . ,m, tales que

∑m i=0 λi = 1, diremos que

m ∑

i=0

λixi

es la combinación baricéntrica de los puntos xi con pesos λi.

Ejercicio 20. Demuéstrese que las afinidades respetan las combinaciones afines de puntos, es decir,

f

(

m ∑

i=0

λixi

)

= m ∑

i=0

λif(xi)

si f es una afinidad y m ∑

i=0

λi = 1.

Convexidad

El segmento determinado por los puntos x y y está dado por

[x,y] := {x+ µ−→xy : µ ∈ [0, 1]}.

Puesto que −→xy = y − x, es

x+ µ−→xy = (1− µ)x+ µy.

Ejercicio 21. El segmento [x,y] es el conjunto de combinaciones baricéntri- cas λx+ µy con λ+ µ = 1 y λ, µ ≥ 0.

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1.2. CURVAS DE BÉZIER 13

Los pesos λ, µ fijan en qué proporción divide el punto p = λx + µy al segmento [x,y]. En efecto, si escribimos

p = x+ µ−→xy, o, equivalentemente

−→xp = µ−→xy = µ(−→xp+−→py), de donde se obtiene que

−→xp = µ 1− µ

−→py = µ λ −→py.

Llamaremos a la cantidad µ/λ razón simple de los puntos x,p y y y la denotaremos como (x,p,y). Esto a veces se denota de la siguiente forma:

−→xp : −→py = µ : λ. Ejercicio 22. Demuéstrese que las afinidades transforman rectas en rectas.

Ejercicio 23. Demuéstrese que las afinidades preservan la razón simple, es decir, si f es una afinidad y x,p,y son puntos alineados, entonces

(x,p,y) = (f(x), f(y), f(p)).

Ejercicio 24. Demuéstrese con un ejemplo que las afinidades no preservan ni distancias, ni ángulos, ni áreas.

Ejercicio 25. Prográmese en Sage una función que dibuje el segmento [x,y] y, dada una razón simple r dibuje el punto correspondiente p y los segmentos [x,p] y [p,y]. Sugerencia: úsese la función @interact para poder modificar interactivamente el valor de r.

Ejercicio 26. Prográmese en Sage una función que dibuje el segmento [x,y] y, dado un escalar λ dibuje el punto correspondiente p = λx+µy, λ+µ = 1. Sugerencia: úsese la función @interact para poder modificar interactivamen- te el valor de λ.

Si ahora tenemos tres puntos, x,y y z y λ+µ+ν = 1, podemos interpretar la combinación λx+ µy + νz de la siguiente forma:

λx+ µy + νz = λx+ (µ+ ν)

(

µ

µ+ ν y +

ν

µ+ ν z

)

, (1.5)

en tanto µ+ ν 6= 0. Si es µ+ ν = 0 entonces la combinación simplemente es el punto x.

Si los coeficientes de µ µ+ν

y + ν µ+ν

z son positivos entonces dicho punto

está en el segmento [y, z]. Si adicionalmente el coeficiente λ ≥ 0 entonces el punto λx+ µy+ νz está en el triángulo cerrado (junto con su interior)

△ xyz.

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14 CAPÍTULO 1. CURVAS PARAMETRIZADAS

Ejercicio 27. Demuéstrese que el triángulo cerrado

xyz coincide con el con- junto

{λx+ µy + νz : λ, µ, ν ≥ 0, λ+ µ+ ν = 1}. Para ello, def́ınase previamente el triángulo de forma análoga a como se ha definido el segmento y demuéstrese que ambas definiciones coinciden.

Ejercicio 28. Usando Sage, dibújese el triángulo

xyz y el punto λx+µy+νz, λ+µ+ν = 1. Usando @interact, permı́tase mover los coeficientes y observar el resultado. Expĺıquese, según el signo de los coeficientes, dónde debe hallarse el punto respecto al triángulo.

Un conjunto S se dira convexo si para cualesquiera x,y ∈ S, se tiene que [x,y] ⊂ S. Dado un conjunto S ⊂ Rn, definimos la envoltura convexa de S, hull(S), como el menor de los conjuntos convexos que contienen a S.

Ejercicio 29. Dado S ⊂ Rn, se tiene que

hull(S) =

{

m ∑

i=0

λixi : λi ≥ 0,xi ∈ S, m ∑

i=0

λi = 1,m ∈ N }

.

Indicación: Demuéstrese que el conjunto dado por el lado derecho de la igual- dad contiene a S, es convexo y que está contenido en cualquier conjunto convexo que contenga a S. Para esto último, se puede hacer un argumento inductivo basado en (1.5).

Ejercicio 30. Dibújese una aproximación a la envoltura convexa de un con- junto finito dibujando un número suficientemente grande de puntos de la misma. ¿Se obtienen aśı buenos resultados? ¿Qué problemas puede tener es- te método?

1.2.3. Algoritmo de Jarvis para el cálculo de la envol-

tura convexa

Terminemos viendo un algoritmo sencillo, aunque no el más eficiente, para calcular la envoltura convexa de un conjunto finito S de puntos en el plano. Por simplicidad, supondremos que los puntos están situados en posición general, en el sentido de que no hay tres puntos de S alineados. La idea consiste en comenzar el cálculo de la envoltura convexa con un punto p0 ∈ S con la menor abscisa posible. A continuación consideramos todos los segmentos de la forma p0p con p ∈ S, hasta que encontramos uno, p1, con la propiedad de que p0p1 deja a todos los otros puntos de S a su

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1.2. CURVAS DE BÉZIER 15

Algorithm 1 Algoritmo de Jarvis para el cálculo de la envoltura convexa

Input: Un conjunto finito S de puntos del plano en posición general. Output: El poĺıgono frontera de hullS, ∂ hullS, dada como una lista orde- nada de puntos. p0 ← punto de S con menor abscisa. pinic ← p0 Inicializa ∂ hullS con p0. repeat

Para cada p ∈ S if p 6= pinic and [pinic,p] deja a los demás puntos de S a su derecha then

Añade p a la lista de puntos de ∂ hullS pinic ← p

end if

until p = p0

derecha. Incorporamos p1 a la frontera de la envoltura convexa y repetimos el procedimiento con él y aśı sucesivamente hasta alcanzar un punto pm = p0, en cuyo caso hemos terminado.

Nótese que para decidir si un punto z está a la izquierda del segmento [x,y] basta con ver si los vectores {−→xy,−→xz} forman una base positivamente orientada, es decir, si su determinante es positivo.

Ejercicio 31. Impleméntese, usando Sage, el algoritmo de Jarvis.

Ejercicio 32. ¿Sabŕıas implementar el algoritmo si los puntos no están ne- cesariamente en posición general?

Dado que por cada punto de la frontera de la envoltura convexa hemos de hacer un número constante de operaciones por cada punto de S que no es él mismo, el coste del algoritmo de Jarvis es O(kn), siendo n el número de puntos de S y k el número de puntos de ∂ hullS.

1.2.4. Polinomios de Bernstein

Una forma de mejorar la relación entre curva y poĺıgono seŕıa sustituir la base de polinomios {1, t, . . . , tn} por otra base {P n0 (t), . . . , P nn (t)} que satis- faga la condición

i

P ni (t) = 1,

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16 CAPÍTULO 1. CURVAS PARAMETRIZADAS

de forma que la curva esté dada por una combinación baricéntrica de puntos del poĺıgono de control. La forma más sencilla de hacer esto es escribir

1 = (t+ (1− t))n

y desarrollar esta identidad mediante el binomio de Newton. Resulta aśı

1 =

(

n

0

)

tn +

(

n

1

)

tn−1(1− t) + (

n

2

)

tn−2(1− t)2 + · · · (

n

n

)

(1− t)n.

Este desarrollo sugiere definir los polinomios

Bni (t) =

(

n

i

)

ti(1− t)n−i,

que se llaman polinomios de Bernstein. Obviamente se trata de n+1 polino- mios de grado n, de forma que será suficiente comprobar que son linealmente independientes para ver que forman una base.

Ejercicio 33. Dibújense los polinomios de Bernstein con t ∈ [0, 1] para n = 1, . . . , 10.

Ejercicio 34. Demuéstrese que los polinomios de Bernstein se pueden de- terminar recursivamente mediante las fórmulas

Bni (t) = (1− t)Bn−1i (t) + tBn−1i−1 (t),

B00(t) = 1.

Indicación: Recuérdese que los coeficientes binomiales satisfacen la relación recursiva

(

n

i

)

=

(

n− 1 i

)

+

(

n− 1 i− 1

)

.

Ejercicio 35. Calcúlese el máximo de Bni (t) con t ∈ [0, 1].

Ejercicio 36. Demuéstrese que los polinomios de Bernstein de grado n son linealmente independientes y, por tanto, forman una base. Indicación: Obsérvese que la matriz de sus coeficientes respecto a la base canónica tiene forma triangular.

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1.2. CURVAS DE BÉZIER 17

1.2.5. Curvas de Bézier

Estamos ya en condiciones de introducir las curvas de Bézier. Dado que los polinomios de Bérnstein son una base, cualquier curva polinómica x = x(t) se podrá escribir como

x(t) = n

i=0

biB n i (t).

Una curva polinómica escrita de esta forma y parametrizada con t ∈ [0, 1] se llama curva de Bézier y los coeficientes (ordenados) bi se llaman poĺıgono de control de la curva. Veamos un ejemplo de curva de Bézier junto con el poĺıgono de control correspondiente:

B(n, i, t) = binomial(n, i) * t^i * (1 - t)^(n - i)

b = [vector([-2, 2]), vector([0, 1]), vector([1, 2]),vector([2, 1])]

m = len(b) - 1

curva = sum(b[i]*B(m,i,t) for i in range(m + 1))

curva_plot = parametric_plot(curva, (t, 0, 1), color = ’green’)

b_plot = line([b[i].list() for i in range(m + 1)], marker = ’o’,

color = ’red’)

dib = curva_plot + b_plot

dib.set_aspect_ratio(1)

-2 -1 0 1 2

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Ejercicio 37. Demuéstrese que una curva de Bézier satisface x(0) = b0,x(1) = bn.

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18 CAPÍTULO 1. CURVAS PARAMETRIZADAS

Ejercicio 38. Demuéstrese que las curvas de Bézier son invariantes bajo transformaciones afines, es decir,

f

(

n ∑

i=0

biB n i (t)

)

= n

i=0

f(bi)B n i (t)

si f es una transformación af́ın.

Ejercicio 39. Demuéstrese que una curva de Bézier x(t) = ∑n

i=0 biB n i (t)

permanece dentro de la envoltura convexa del poĺıgono de control si t ∈ [0, 1].

Ejercicio 40. Demuéstrese que una curva de Bézier interpola los extremos del poĺıgono de control, es decir, x(0) = b0 y x(1) = b1.

Ejercicio 41. Simetŕıa de las curvas de Bézier: pruébese que la imagen de una curva de Bézier con poĺıgono de control {b0, . . . ,bn} coincide con la de la curva que tiene el poĺıgono de control invertido, es decir, {bn, . . . ,b0}.

Ejercicio 42. Invariancia por combinaciones afines: dadas curvas de Bézier con poĺıgonos de control {bi} y {ci}, que llamaremos b(t) y c(t), respectiva- mente, entonces la curva que tiene poĺıgono de control {αbi + βci}, siendo α + β = 1, está dada por αb(t) + βc(t).

Ejercicio 43. Los polinomios de Bernstein satisfacen la identidad

m ∑

j=0

j

m Bmj (t) = t.

Es decir, las coordenadas de t en la base de polinomios de Bernstein son {j/m}. Demuéstrese esto.

Ejercicio 44. Demuéstrese que si los vértices del poĺıgono de control de una curva de Bézier se situan uniformemente distribuidos en el segmento [p,q], es decir,

bj =

(

1− j m

)

p+ j

m q,

entonces la curva de Bézier es la recta que une p con q parametrizada de forma natural.

Ejercicio 45. Demuéstrese que las derivadas de los polinomios de Bernstein satisfacen la relación

d

dt Bni (t) = n

(

Bn−1i−1 (t)−Bn−1i (t) )

.

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1.2. CURVAS DE BÉZIER 19

Ejercicio 46. La derivada de una curva de Bézier b(t) = ∑n

i=0 biB n i (t)

viene dada mediante la fórmula

b′(t) = n−1 ∑

i=0

n∆biB n−1 i (t),

donde ∆bi = bi+1 − bi.

Ejercicio 47. Demuéstrese que una curva de Bézier es tangente al poĺıgono de control en los extremos del mismo.

Ejercicio 48. Escŕıbase la curva x(t) = (t3 − 2t + 1, 4t − 7) con t ∈ [0, 1] como una curva de Bézier.

Ejercicio 49. Escŕıbase la curva x(t) = (t2 + 5t− 1, 4t2 − 1) con t ∈ [−3, 2] como una curva de Bézier. (Indicación: compóngase la curva con una trans- formación af́ın que lleve el intervalo [−3, 2] en el [0, 1]).

1.2.6. El algoritmo de De Casteljau

Veamos en esta sección un método alternativo para generar curvas de Bézier. Aunque computacionalmente es menos eficaz que la forma de Berns- tein, es un procedimiento geométrico más sugerente. Se trata, básicamente, de hacer una interpolación lineal iterada de los vértices del poĺıgono de con- trol.

Algorithm 2 Algoritmo de De Casteljau

Input: El poĺıgono de control {b0, . . . ,bn} de la curva y t ∈ R. Output: La curva de Bézier asociada b = b(t). b0i (t) = bi. for r = 1 → n do for i = 1 → n− r do bri (t) = (1− t)br−1i (t) + tbr−1i+1 (t)

end for

end for

return b(t) = bn0 (t).

Ejercicio 50. Demuéstrese que la curva resultante del algoritmo de De Cas- teljau coincide con la curva de Bézier correspondiente. Indicación: úsese in- ducción y el ejercicio (34).

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20 CAPÍTULO 1. CURVAS PARAMETRIZADAS

Ejercicio 51. Usando la función animate de Sage, impleméntese el algorit- mo de De Casteljau.

Ejercicio 52. Calcúlense las curvas de Bézier de grado 3 que en sus extremos (1, 2) y (1, 5) tienen velocidades (6,−9) y (−3, 9), respectivamente.

1.3. Curvas racionales

Las curvas polinómicas no son suficientes para obtener algunos tipos de curvas importantes, como por ejemplo las cónicas.

Ejercicio 53. Demuéstrese que no existe ninguna curva polinómica no cons- tante cuya imagen se encuentre contenida en la circunferencia x2 + y2 = 1. (Indicación: si x(t), y(t) son polinomios, ¿qué sucede con el término de grado más alto de x(t)2 + y(t)2 − 1?)

Una curva racional es la afinización de una curva polinómica proyectiva. Es decir, si

x(t) = (p(t) : q(t) : r(t))

es una curva polinómica proyectiva, entonces

x(t) =

(

p(t)

r(t) , q(t)

r(t)

)

es la correspondiente curva racional af́ın (correspondiente a la afinización que supone que z = 0 es la recta del infinito). Las curvas racionales no aumentan excesivamente el coste computacional y permiten dibujar cónicas.

Para parametrizar una cónica, que suponemos no degenerada, tomemos un punto x0 = (x0, y0) de la misma y consideremos el haz de rectas de base x0. Para ello tomemos dos rectas r0(x, y) = 0 y r1(x, y) = 0 no proporcio- nales cualesquiera que pasen por un punto x0, (por ejemplo, si x0 = (x0, y0) podemos tomar las rectas r0 : x− x0 = 0 y r1 : y − y0 = 0). El haz de rectas de base x0 es, por definición, el conjunto de todas las rectas que pasan por x0 y coincide con las combinaciones lineales (no triviales) de r0 y r1, es decir, el haz de rectas es el conjunto de rectas de la forma

ar0(x, y) + br1(x, y) = 0

donde los coeficientes a, b no son simultáneamente nulas.

Ejercicio 54. Demuéstrese esta última afirmación.

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1.3. CURVAS RACIONALES 21

Como cualquier múltiplo no nulo de la ecuación de una recta produce la misma recta, podemos usar el parámetro t = b/a en tanto que a 6= 0 y describir el haz como las rectas como

r0(x, y) + t r1(x, y) = 0.

Si hacemos esto, tenemos el inconveniente de que perdemos la recta r1(x, y) = 0, a la que nos podemos acercar tanto como queramos haciendo que t → ∞.

1 1.5 2 2.5 3

2

2.5

3

3.5

4

r0 :2x+y−7=0

r1 :−x+2y−4=0

r=r0−5r1

Figura 1.1: Haz engendrado por r0 y r1

Cada recta de dicho haz corta a la cónica en el punto x0 y en otro punto adicional, x = x(t). Veamos que aśı se obtiene una parametriza- ción racional de la curva. Para ello, conviene simplificar los cálculos ha- ciendo el cambio af́ın de coordenadas

{

X = r0(x, y)

Y = r1(x, y)

El que las rectas se cortan en un punto finito x0 nos asegura que las ecuaciones del cambio son invertibles (¿por qué?). En las nuevas coordena- das, el punto de corte es (0, 0) y el haz de rectas es X + tY = 0. La cónica, dado que tiene que pasar por el ori- gen de coordenadas, no tendrá término independiente, es decir, su ecuación será de la forma

f(X, Y ) = aX2 + bY 2 + 2cXY + 2dX + 2eY = 0.

Haciendo X = −tY , obtenemos la ecuación para calcular la ordenada de los puntos de intersección:

f(−tY, Y ) = (

(at2 − 2ct+ b)Y + 2(−dt+ e) )

Y = 0,

que tiene las soluciones Y = 0 e

Y = 2(dt− e)

at2 − 2ct+ b.

Como la ordenada es X = −tY , la parametrización que se obtiene es pues

c(t) =

( −2(dt− e)t at2 − 2ct+ b,

2(dt− e) at2 − 2ct+ b

)

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22 CAPÍTULO 1. CURVAS PARAMETRIZADAS

Deshaciendo el cambio af́ın de coordenadas, obtenemos la parametrización racional deseada (¿por qué?).

Veamos un ejemplo. Consideremos la elipse f(x, y) = 0 siendo

f(x, y) = 4*x^2 + 9*y^2 - 8*x + 18*y + 12

elipse_dib = implicit_plot(f(x, y), (x, 0, 2), (y, -2, 0))

elipse_dib.set_aspect_ratio(1)

0 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Encontremos primero un punto de la misma. Para ello, cortemos la cónica con una recta de la forma x = c. Como los puntos de corte pueden ser imaginarios, aśı que elegiremos c de forma que sean puntos reales.

Las soluciones de f(c, y) = 0 son

[

y = −1 3

√ −4 c2 + 8 c− 3− 1, y = 1

3

√ −4 c2 + 8 c− 3− 1

]

.

Para que el polinomio −4 c2+8 c− 3 no sea negativo, debe ser 1/2 ≤ c ≤ 3/2. Si tomamos, por ejemplo, c = 1/2 obtenemos el punto x0 = (1/2,−1). Ahora que tenemos un punto de la cónica, parametricemos el haz de rectas que pasan por él usando por ejemplo las rectas x − 1/2 = 0 e y + 1 = 0, de forma que una recta genérica es de la forma

(x− 1/2) + t(y + 1) = 0.

Cortémosla con la elipse:

sage: var(’t’)

t

sage: sols = solve([x-1 +t*(y+4/3)==0, f(x,y)==0], x, y)

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1.3. CURVAS RACIONALES 23

Se observa que la solución no constante viene dada por la curva racional

x = 4 t2 − 6 t+ 9

4 t2 + 9 , y = −2 (8 t

2 + 9)

3 (4 t2 + 9)

como se queŕıa.

curva = map(lambda X: X.rhs(),sols[1])

elip_param = parametric_plot(curva, (t, -10, 10))

elip_param.set_aspect_ratio(1)

0.6 0.8 1 1.2 1.4

-1.3

-1.2

-1.1

-1

-0.9

-0.8

-0.7

Ejercicio 55. Como se observa, al dibujo de la elipse como curva parametri- zada le falta un trozo. ¿Por qué? ¿Cómo podŕıas hacer para pintar la curva entera?

Ejercicio 56. Apĺıquese un procedimiento parecido al anterior para obtener parametrizaciones de la hipérbola de ecuación (x+ y − 1)(x− y + 1) = 1.

Ejercicio 57. Hágase el ejercicio anterior haciendo el cambio af́ın de coor- denadas que sugiere la teoŕıa y deshaciéndolo al final.

Ejercicio 58. Usando Sage, encuéntrese la matriz de la cónica recorrida por la curva parametrizada como

(

2t− 1 t2 + t+ 1

, t+ 1

t2 + t+ 1

)

Ejercicio 59. Prográmese, usando Sage, un procedimiento que dada una cónica devuelva un punto real de la misma, si tal punto existe.

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24 CAPÍTULO 1. CURVAS PARAMETRIZADAS

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