Hidrología - Hidráulica e hidrología 2 - Practicas, Apuntes de Hidráulica e hidrología 2
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Hidrología - Hidráulica e hidrología 2 - Practicas, Apuntes de Hidráulica e hidrología 2

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Apuntes de Ingeniería Hidráulica e hidrología 2 En un acuífero confinado de 20 m de espesor se han perforado dos pozos totalmente penetrantes A y B de 0.6 m de diámetro cada uno y separados 10 m entre sí.
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Microsoft Word - PROBLEMAS HH2 2011.doc

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HH2

Problemas de Hidrología 15/05/2011 Problema 1 En un acuífero confinado de 20 m de espesor se han perforado dos pozos totalmente penetrantes A y B de 0.6 m de diámetro cada uno y separados 10 m entre sí. La porosidad del acuífero es n = 0.1, la transmisividad es T=100 m2/día y el coeficiente de almacenamiento es S = 10-4. En un determinado momento, se extrae un caudal constante Q=11.6 l/s del pozo B. a) Calcular el tiempo necesario para que en el pozo B de bombeo el nivel piezométrico

descienda 13.5 m. Comprobar que para ello se cumple la aproximación de Jacob.

b) Para ese mismo tiempo, calcular el descenso que se observaría en el pozo A. Comprobar que también se cumple la aproximación de Jacob.

c) Para el caso que se analiza, determinar cuanto tiempo tardará en llegar al pozo B un trazador

inyectado en el pozo A.

Solución

a) Jacob es válido si se respeta en el pozo B de bombeo: El tiempo necesario para un descenso de 13.5 m en el pozo B será: b) Jacob es válido si se respeta en el pozo A de observación: El descenso en el pozo A al cabo de 0.9 días: c) La velocidad de Darcy se podrá expresar en función de la línea de flujo s y del radio r:

El tiempo que tardará en llegar el trazador será función de la velocidad real en el acuífero:

días T rSt

tT rSu 7

2422

105.7 03.01004

3.010 03.04

;03.0 4

− −

⋅≥ ⋅⋅

⋅ ≥

⋅⋅ ⋅

≥≤ ⋅⋅

⋅ =

díastt rS tT

T Qs BBBB 9.0;3.010

10025.2ln 1004

4.866.115.1325.2ln 4 242

=⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅

==⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅= −ππ

días T rSt

tT rSu 00083.0

03.01004 1010

03.04 ;03.0

4

2422

≥ ⋅⋅ ⋅

≥ ⋅⋅ ⋅

≥≤ ⋅⋅

⋅ =

metros rS tT

T QsA 9.71010

9.010025.2ln 1004

4.866.1125.2ln 4 242

=⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅

=⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅= −ππ

br Q

Tr Q

b Tq

Tr Q

r s

rS tT

T Qs

r s

b T

r sKq

ππππ 22 ;

2 ;25.2ln

4 ;

2 ==−=

∂ ∂

⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅= ∂ ∂

−= ∂ ∂

−=

díasr Q bntQdtrdrbn

nbr Q

n q

dt drV

tr

r 63.02 10

1002 1.0202

2 2;2;

2

22

00 =⋅

⋅⋅ ===⋅

⋅ === ∫∫

πππ π

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Problema 2 Con el objeto de conocer las propiedades hidráulicas (conductividad hidráulica y coeficiente de almacenamiento) de un acuífero confinado que tiene unos 20 m de espesor, se realiza un ensayo de bombeo de 10 l/s en un pozo totalmente penetrante. Se observan para ello los descensos de niveles en dos piezómetros distantes del pozo: A) 40 m en dirección Norte, B) 80 m en dirección Este.

Descensos (metros) Piezómetros A B

5 h 1.65 m 1.73 m Tiempo (horas) 10 h 1.83 m 1.95 m

¿Permite la interpretación del ensayo de bombeo determinar alguna heterogeneidad en las propiedades hidráulicas del acuífero?

Solución

Se pueden calcular los parámetros hidráulicos para los descensos observados en cada uno de los piezómetros. (10 l/s = 864 m3/día) Piezómetro A Para r = 40 m y t = 10 horas = 0.41666 días: De donde S = 1.35·10-4 Jacob es válido si se respeta:

Piezómetro B Para r = 80 m y t = 10 horas = 0.41666 días: De donde S = 6.8·10-5 Jacob es válido si se respeta: Lo que permite determinar la heterogeneidad o la anisotropía de K y S en las inmediaciones u orientaciones de los piezómetros A y B.

⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅= 2

1 1

25.2ln 4 rS

tT T Qs π

⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅= 2

2 2

25.2ln 4

; rS tT

T Qs π ⎟

⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ⋅=

1

2 12 ln4

-; t t

T Qss π

día mKmKdía

mT T

24.13;20·8.264; 5

10ln 4 86465.183.1

2 ===⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛⋅=−

π

83.1 40

41666.08.26425.2ln 8.2644

86425.2ln 4 22

2 2 =⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

=⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅= SrS

tT T Qs

ππ

0068.0 03.08.2644

4010·35.1 03.04

;03.0 4

2422

≥ ⋅⋅ ⋅

≥ ⋅⋅ ⋅

≥≤ ⋅⋅

⋅ =

T rSt

tT rSu

⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ⋅=

1

2 12 ln4

- t t

T Qss π día

mKmKdía mT

T 83.10;20·6.216;

5 10ln

4 86473.195.1;

2 ===⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛⋅=−

π

95.1 80

41666.06.21625.2ln 6.2164

86425.2ln 4 22

2 2 =⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

=⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅= SrS

tT T Qs

ππ

0167.0 03.06.2164

8010·8.6 03.04

;03.0 4

2522

≥ ⋅⋅ ⋅

≥ ⋅⋅ ⋅

≥≤ ⋅⋅

⋅ =

T rSt

tT rSu

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Problema 3 En un pozo se han extraído 357750 litros de agua en 13 horas y 15 minutos de bombeo a caudal constante. Al final de dicho periodo se estabilizan los niveles, de modo que en el pozo se observa un descenso de 1 metro. Se estima que el acuífero tiene un comportamiento libre (porosidad eficaz = 0.05), que el pozo (diámetro 0.3 metros) penetra todo el espesor saturado (20 metros), y que el radio de influencia del bombeo es aproximadamente de 150 metros. a) ¿Se puede estimar la conductividad hidráulica? b) ¿Está bien estimado el radio de influencia? c) ¿Cuál sería el descenso a 100 metros de distancia del pozo? d) Y si por el contrario el acuífero tuviese un comportamiento confinado, con propiedades hidráulicas

similares ¿Sería mayor o menor el descenso a 100 metros de distancia del pozo? Razonar esta posibilidad.

Solución

a) Para el caso que nos ocupa, se debe utilizar la fórmula de Dupuit, que es la adecuada para acuíferos libres en régimen permanente. K = 4.23·10-4 m/s b) El radio de influencia R se puede estimar por la fórmula siguiente para t=47700 s. Luego se puede decir que más o menos está bien estimado. c) Se aplicará lógicamente la misma fórmula de Dupuit d) Se aplicará la fórmula de Thiem para acuíferos confinados en régimen permanente: Vemos que el resultado es aproximadamente el mismo. Sin embargo, en el caso de un comportamiento confinado, el R sería mucho mayor, ya que el coeficiente de almacenamiento S<<m . Por lo tanto, en el caso de comportamiento confinado del acuífero cabría en realidad esperar un descenso mayor a 100 m. de distancia del pozo.

( ) ( ) 15.0

150ln105.739; 15.0

150ln6015360013 357750

12020;ln 3

2222 0 πKπKr

R πK QHH

−⋅ =⋅+⋅=−−=−

m m tT,R 8.134

05.0 4770020·1023.45.151

4

= ⋅⋅

= ⋅

≈ −

( ) ms Kπ

s 057.0; 100 150ln

1023.4· 105.72020

4

3 22 =

⋅ ⋅

=−− −

m πr

R πT Qhhs 057.0

100 150ln

20·1023.4·2 105.7ln

2 4 3

0 =⋅ ⋅

==−= −

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Problema 4 En un pozo, de 0.5 m de diámetro, que está cercano a un río, se está bombeando agua a un caudal constante desconocido desde un acuífero confinado inferior (Ver el esquema adjunto). Las propiedades del acuífero son las siguientes: transmisividad = 5.0·10-3 m2/s; coeficiente de almacenamiento = 4.0·10-4. Después de 8 horas de bombeo, el descenso en el piezómetro de observación es de 0.8 m. a) Determinar el caudal del bombeo (5 puntos) b) Estimar el descenso en el pozo de bombeo depués de 8 horas (5 puntos)

Solución

a) Veamos si es válida la aproximación de Jacob para acuíferos confinados transitorios.

Luego sí se puede aplicar la aproximación de Jacob al piezómetro de observación.

Puesto que el río es una frontera de recarga, la teoría de las imágenes reclama que el funcionamiento es equivalente al que correspondería a la existencia de un pozo imagen situado del otro lado del margen del río, a la misma distancia que se encuentra el pozo de bombeo, pero que en este caso inyectaría agua con el mismo caudal.

Luego el descenso esperado en el piezómetro de observación sería el descenso ocasionado por el pozo de bombeo situado a 140 m de distancia:

más el ascenso ocasionado por el pozo imagen de inyección situado a 260 m (200+60) de distancia:

Es decir:

b) El descenso en el propio pozo de bombeo permitirá también utilizar la aproximación de Jacob y será:

Luego la solución se obtiene resolviendo un problema en realidad estacionario, similar al que utiliza la fórmula de Thiem, el cual no depende del coeficiente de almacenamiento ni del tiempo.

( )horasseg T Srt 6.313067

10512.0 104140

12.0 3 422

≥ ⋅× ⋅×

≥≥ − −

S Tt

T Q

Sr Tt

T Qsp 22 140

25.2ln 4

25.2ln 4

⋅=⋅= ππ

S Tt

T Q

Sr Tt

T Qsi 22 260

25.2ln 4

25.2ln 4

⋅ −

=⋅ −

= ππ

s mTQ

T Q

S Tt

S Tt

T Qss ip

32 3

2

22

2

22 10424.1 105·4·8.0

140 260ln

4·8.0; 140 260ln

4260 25.2ln

140 25.2ln

4 8.0 −

⋅= ⋅

==⋅=⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −==+

ππ ππ

m r r

T Q

Sr Tt

Sr Tt

T Qss

p

i

ip ip 4.925.0

400ln 105·4

104 ' '

ln 4'

25.2ln ' 25.2ln

4 '' 2

2

3

2

2

2

22 =⋅⋅ ⋅

=⋅= ⎟ ⎟

⎜ ⎜

⎛ −=+

πππ

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Problema 5 Los datos siguientes fueron obtenidos en un piezómetro de observación localizado a 80 m. de distancia de un pozo totalmente penetrante que comenzó a bombear agua a un caudal constante de 2.5 m3/min. desde un acuífero confinado. 1) Dibujar los datos de los descensos medidos en un papel semilogarítmico y razonar el gráfico obtenido. 2) Determinar las propiedades del acuífero mediante la aproximación de Jacob. 3) Verificar la validez de la aproximación de Jacob. 4) Se desea conocer a partir de que tiempo de iniciada la explotación del agua subterránea en el pozo de bombeo se verá afectado un río situado a 3 km de distancia. Razonar el resultado. Tiempo (minutos) 1 3 5 10 20 50 100 200 500 1000 Descensos (metros) 0.20 0.27 0.50 0.68 0.84 1.06 1.29 1.46 1.68 1.86

Solución

1) Se representan los datos en papel semilogarítmico (Descenso vs log tiempo) Se puede observar como a partir de un cierto tiempo los datos están alineados, lo que permitiría aplicar la aproximación de Jacob en régimen transitorio para tiempos suficientemente largos. 2) La aproximación de Jacob se respetará para tiempos suficientemente largos, luego podemos escoger por seguridad los dos tiempos más alejados del inicio, es decir, 500 minutos y 1000 minutos. Podremos de este modo calcular la transmisividad T y el coeficiente de almacenamiento S.

⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅= 2

1 1

25.2ln 4 rS

tT T Qs π

⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅= 2

2 2

25.2ln 4

; rS tT

T Qs π ⎟

⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ⋅=

1

2 12 ln4

-; t t

T Qss π

0.2

0.6

1.4

1.0

1.8

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Para r = 80 m y t = 1000 minutos: De donde S = 2.1·10-4 3) Jacob es válido si se respeta:

lo que no hay problema en este caso, ya que 500 y 1000 son superiores a 14.6. 4) El río situado a 3000 metros del sondeo de explotación se verá afectado cuando el radio de influencia del bombeo coincida con esta distancia. Luego, después de 1096 minutos se verán afectados los descensos por la presencia del río, el cual en definitiva actuará como una frontera de recarga, con lo que habrá que aplicar la teoría del pozo imagen de inyección. Aunque queda por considerar que, tratándose de un acuífero confinado, el río no deberá afectar a los descensos del ensayo de bombeo.

- No obstante, si esta misma evaluación la realizamos entre los tiempos 500-200, 200-100 y 100-50, obtendríamos los resultados siguientes:

500-200: T=0.83 ; S=1.32·10-4 ; t>8.48 min ; tR=636 min.

200-100: T=0.81 ; S=1.5·10-4 ; t>9.9 min ; tR=740 min.

100-50: T=0.6 ; S=4.3·10-4 ; t>38 min ; tR=2867 min.

Lo que nos da una idea de la variabilidad en la estimación de los parámetros. Los valores medios serían: T=0.75 ; S=2.3·10-4 ; t>17.7 min ; tR=1335 min.

minuto m0.766T

2 =⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛⋅=− ;

500 1000ln

4 5.268.186.1 Tπ

86.1 80

1000766.025.2ln 766.04

5.225.2ln 4 22

2 2 =⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

=⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅⋅

⋅= SrS

tT T Qs

ππ

min14.6 0.030.7664 802.1·10

0.03T4 rSt;0.03

tT4 rSu

2422

≥ ⋅⋅ ⋅

≥ ⋅⋅ ⋅

≥≤ ⋅⋅

⋅ =

min1096 0.7662.25

3000102.1 T2.25

RSt; S

tT2.25R 242

R R =

⋅ ⋅⋅

= ⋅

⋅ =

⋅⋅ =

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Problema 6 Con el objeto de explotar las aguas subterráneas en una determinada propiedad, se realiza una perforación de unos 30 metros de profundidad y 0.4 m de diámetro, obteniéndose inicialmente en reposo un nivel de agua de 10 metros de profundidad. Para determinar las propiedades hidráulicas del acuífero perforado se realiza un ensayo de bombeo a un caudal constante de 10 l/s, y se miden los niveles en dos piezómetros de observación situados a 30 m (A) y a 60 m (B) del pozo de bombeo. Los descensos medidos en los piezómetros A y B se estabilizan al cabo de unas 12 horas, alcanzándose los valores de la tabla adjunta.

Piezómetros A B distancia 30 m 60 m descenso 1.55 m 1.23 m

No se conoce con certidumbre si el acuífero bombeado tiene un comportamiento libre o confinado. Estimar, en ambos casos, 1) las propiedades hidráulicas del acuífero, 2) el radio de influencia del bombeo, y 3) el descenso al equilibrio en el propio pozo. 4) Razonar igualmente sobre el comportamiento probable del acuífero.

Solución

1) En el caso de que el acuífero tenga un comportamiento confinado, la transmisividad se podrá estimar mediante la fórmula de Thiem en régimen estacionario. El caudal de bombeo Q = 10 l/s = 864 m3/día Luego la transmisividad será: T = 297.8 m2/día

Si consideramos que el espesor del acuífero confinado es: e = 30 - 10 = 20 m ; aunque en realidad tendrá que ser menor, la conductividad hidráulica será: K = T/e = 297.8/20 = 14.9 m/día - En el caso de que el acuífero tenga un comportamiento libre, la conductividad hidráulica K se podrá

estimar mediante la fórmula de Dupuit en régimen estacionario. Donde: H1 = 20 - 1.55 = 18.45 m y H2 = 20 - 1.23 = 18.77 m. Luego la conductividad hidráulica será: K = 16.02 m/día

Si consideramos que el espesor del acuífero libre es: e = 20 m ; aunque en realidad es menor, sobre todo en las inmediaciones del pozo de bombeo, la transmisividad sería: T = K·e = 16.02·20 = 320.3 m2/día 2) Para el caso de un acuífero confinado, el radio de influencia R del bombeo, una vez que se alcanza el

equilibrio, se puede calcular por la fórmula de Thiem para un piezómetro conocido, por ejemplo el A, y el punto correspondiente al radio de influencia en el que el descenso sea nulo.

T 95.31

30 60ln

T2 8641.231.55;

r rln

T2 Qss

1

2 21 ==−=− ππ

K 190.6

30 60ln

K 86418.4518.77;

r rln

K QHH 22

1

22 1

2 2 ==−=− ππ

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Rlogprlog

s

rlog

1

2

3

10 1 102

4

103

Gráficamente también se puede determinar mediante la relación lineal que cumple la fórmula de Thiem a escala semilogarítmica entre el descenso s y el log r. El resultado para este caso se ilustra en el papel semilogarítimico adjunto.

- Para el caso de un acuífero libre, el radio de influencia R del bombeo, una vez que se alcanza el equilibrio, se puede calcular por la fórmula de Dupuit para un piezómetro conocido, por ejemplo el A, y el punto correspondiente al radio de influencia en el que el espesor saturado es máximo, o sea: H0 = 20 m.

Gráficamente también se puede determinar mediante la relación lineal que cumple la fórmula de Dupuit a escala

semilogarítmica entre el cuadrado del espesor saturado H2 y el log r. El resultado para este caso se ilustra en el papel semilogarítimico adjunto.

3) Para el caso del acuífero confinado, el descenso al equilibrio en el propio pozo se podrá estimar a partir de

la fórmula de Thiem entre el radio del pozo rp y el piezómetro B, por ejemplo: Luego el descenso en el propio pozo será: SP = 3.86 m

m861R 30 Rln

297.82 86401.55;

r Rln

T2 Qss

1 01 ==−=− ;ππ

m965.8R; 30 Rln

16.02 86418.4520;

r Rln

K QHH 22

1

2 1

2 0 ==−=− ππ

2H

rlog 100

200

300

10 1 102

400

103

Pr log R log

2.634 0.2 60ln

297.82 8641.23s;

r rln

T2 Qss P

P

2 2P ==−=− ππ

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- Para el caso del acuífero libre, el descenso al equilibrio en el propio pozo se podrá estimar a partir de la fórmula de Dupuit entre el radio del pozo rp y el piezómetro B: Luego el descenso en el propio pozo será: SP = 20-HP = 20-16 = 4 m 4) Vemos que las propiedades del acuífero no cambian en exceso si analizamos el acuífero como si tiene un comportamiento confinado o bien libre. Así por ejemplo, en lo que respecta a la transmisividad T y al radio de influencia R, se pueden estimar unos valores medios aproximados de: T = 300 m2/día y R = 900 m. Puesto que el radio de influencia está relacionado con el coeficiente de almacenamiento S mediante la fórmula: se puede estimar aproximadamente el coeficiente de almacenamiento del acuífero S para el tiempo de 12 horas (0.5 días) necesario para alcanzar el equilibrio.

El coeficiente de almacenamiento que se estima es más bien característico de un acuífero confinado, el cual reacciona más rápidamente al bombeo que un acuífero libre.

1.5

1.0

0.5

H2 (m2)

400

300

m16H;97.92 0.2 60ln

16.02 864H18.77;

r rln

K QHH P

2 P

2

P

22 P

2 2 ===−=− ππ

S tT2.25R ⋅⋅=

42 104.2S; S

0.53002.25900; S

tT2.25R −⋅=⋅⋅=⋅⋅=

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Problema 7 En una determinada región agrícola aproximadamente horizontal existen dos pozos, distantes 200 metros entre sí, los cuales realizan con fines de regadío la explotación de las aguas subterráneas de un acuífero libre subyacente. Los pozos tienen similares características: longitud de perforación 35 metros, diámetro 0.3 metros, profundidad del nivel freático en ausencia de explotación 5 metros. En un momento dado y con el fin de conocer las propiedades hidráulicas del acuífero, se realiza un ensayo de bombeo en uno de los pozos a un caudal constante de 5 l/s, obsevándose el equilibrio de los niveles después de cierto tiempo, y registrándose un descenso de 3.5 metros en el propio pozo de bombeo y un descenso de 0.4 metros en el otro pozo situado a 200 metros.

- Se desean determinar las propiedades hidráulicas del acuífero explotado. (4 ptos) - Estimar igualmente el radio de influencia del bombeo. (2 ptos) - Se quiere también conocer, qué caudal máximo podrán ambos pozos explotar

simultáneamente, para que los descensos en cada uno de ellos no superen los 5 metros. (4 ptos)

Nota: Puesto que los descensos analizados no son excesivos con respecto al espesor saturado, será aceptable una evaluación para un comportamiento confinado del acuífero.

Solución

Hagamos el análisis como si el acuífero libre se tratase de un acuífero confinado puesto que, como se ha dicho en el enunciado, los descensos no son muy importantes con respecto al espesor saturado e = 30 m = 35 m – 5 m. Utilizaremos por tanto la fórmula de Thiem para el ensayo de bombeo en régimen permanente, donde Q = 5 l/s = 432 m3/dia: El radio de influencia R se podrá determinar para el descenso en el pozo de observacións2 = 0.4: Cuando los dos pozos están bombeando al mismo Qmax, la suma de los descensos provocados por ambos bombeos sAA y sBA en cada pozo será idéntico y como máximo de 5m: sAA = 4.49 m ; sBA = 0.51 m No obstante, el análisis más correcto es el correspondiente al de un acuífero libre en régimen permanente, por lo que deberemos utilizar la fórmula de Dupuit:

1

2 21 r

rln T2

Qss π

=− 0.15 200ln

2 4320.43.5; πT

=−

dia m5.32

30 159.6

e TK;dia

m159.6T 2

====

506.15mR; 200 Rln

159.62 4320.4

r Rln

T2 Q0s

2 2 ===− ππ

;

s l6.4dia

m554Q; 200

506.15ln 159.62

Q 0.15

506.15ln 159.62

Qss5s 3

max maxmax

BAAAA ==+=+== ππ

( ) ( ) diam5.69K;0.15 200ln

K 4323.5300.430;

r rln

K QHH 22

1

22 1

2 2 ==−−−=− ππ

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0.57ms;4.43ms;s l7.2dia

m621.2 Q BAAA 3

max ====

El radio de influencia R se podrá determinar para el descenso en el pozo de observación s2 = 0.4: Cuando los dos pozos están bombeando al mismo Qmax, la suma de los descensos provocados por ambos bombeos sAA y sBA en cada pozo será idéntico y como máximo de 5m: 5 = sAA + sBA Sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas que se puede resolver mediante una ecuación de segundo grado para dar:

( ) 536.35mR; 200 Rln

5.69 4320.43030 22 ==−− π

( ) ( ) 200

536.35ln 5.69

Q s3030;

0.15 536.35ln

5.69 Q

s3030 max2BA 2max2

AA 2

ππ =−−=−−

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Problema 8

Para medir el caudal en un arroyo se ha recurrido a una inyección instantánea de una disolución de 200 gr de cloruro sódico en 1 litro de agua. En un punto aguas abajo de la zona de inyección se mide la conductividad eléctrica del agua desde el momento de la inyección, y se estiman las concentraciones del agua cuyos valores se reflejan en la tabla adjunta. Se desea conocer el caudal que circula por el río. Utilizar la fórmulación apropiada

Tiempo (s) Concentración

(gr/l) Concentración Media

en el intervalo Concentración Media - Inicial

0 0.15 10 0.3 0.225 0.075 20 0.7 0.5 0.35 30 1.2 0.95 0.8 40 1.1 1.15 1.0 50 1.0 1.05 0.9 60 0.8 0.9 0.75 70 0.5 0.65 0.5 80 0.3 0.4 0.25 90 0.2 0.25 0.1

Se aplicará la fórmula correspondiente a una inyección instantánea, en la que el numerador V*·C* es la masa de soluto inyectado, o sea 200 gramos, y el denominador será la integral de la curva de la Concentración Media – Inicial durante el tiempo que dure el muestreo, siempre que al final se alcance una concentración parecida a la inicial (0.15 gr/l), en este caso 0.2 gr/l.

( )∑ −⋅ ⋅

=

i Oi

**

CCΔt CVQ( )

( )O

**

CC CC/tVQ

− −⋅

=

( ) l/s4.233s/l47.25 200

gr/l4.725s 10 gr200

CCΔt CVQ

i Oi

**

== ⋅

= −⋅

⋅ =

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Problema 9

A partir de los caudales históricos máximos diarios registrados durante 19 años en una estación de aforos del río Sil (Tabla 1), se quiere conocer por el método de Gumbel: a) el periodo de retorno del caudal de avenida de 1500 m3/s para el que se ha diseñado la proyectada obra de canalización de un tramo próximo del río. (6 ptos) b) Estimar el intervalo de confianza del 95% para dicho caudal de diseño de canalización. (3 ptos) c) Determinar la probabilidad de que dicho caudal sea superado al menos durante 10 años, periodo en que se completarían las obras en los márgenes de protección contra las inundaciones, las cuales están dimensionadas para 2500 m3/s de caudal de avenida (3 ptos) d) Determinar el periodo de retorno de dicho caudal de protección de 2500 m3/s y su intervalo de confianza. (3 ptos)

Tabla 1 año 70/71 71/72 72/73 73/74 74/75 75/76 76/77 77/78 78/79 79/80

Caudal m3/s

586.2 1086.6

352.24 573.33 284.81 184.21

831.67

940.66 1280.77 575.86

año 80/81 81/82 82/83 83/84 84/85 85/86 86/87 87/88 88/89 Caudal

m3/s

737.27 1055.75

539.36 564.85 1000.57 657.25

307.42

795.92 354.19

Utilizar si necesario el papel probabilístico, la formulación y los parámetros de la función de Gumbel: Parámetros de la función de Gumbel ( )

σKQQT ⋅+=

* N

* NT

σ yyK −=

( ) ( )[ ]TT yexpexp1T1QQProb −−−==≥

( )[ ]T11lnlnyT −−−=

( ) eint SαfQ ⋅= 0.52

e N 1.1K1.3K1σS ⎟⎟

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ++ ⋅=

( ) 1.96f(95%);1.654f(90%);0.674f(50%):αf ===

∑= i

iQN 1Q

( )∑ −−= i 2

i 2 QQ

1N 1σ

* N

* N σ,y

( )nnT T11-1-QPr(Q =≥ )

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Solución

a) A partir de los datos de caudales máximos diarios registrados durante 19 años en la estación de aforos podemos determinar los parámetros de la muestra estadística correspondientes a la media y a la desviación típica: de tal manera que: Esto nos permite calcular el factor de frecuencia K para el caudal de avenida de 1500 m3/s: Los parámetros de Gumbel para un tamaño de muestra N = 19 son: Lo que permite determinar la variable de Gumbel: Y de aquí determinar el tiempo de retorno del caudal de avenida de 1500 m3/s para la función de Gumbel. b) El intervalo de confianza del 95% para dicho caudal de diseño de canalización de 1500 m3/s se calculará a partir del error probable: y el intervalo de confianza del 95%: o sea: c) La probabilidad de que el caudal de periodo de retorno de 30 años sea superado al menos una vez durante los 10 años que duran las obras de protección se define como: d) El periodo de retorno para el caudal de avenida de 2500 m3/s se calcula de manera similar al apartado a): o sea, estará comprendido:

2.71K;306.82K6691500;σKQQT =⋅+=⋅+=

306.82σ =669Q =

∑= i

iQN 1Q ( )∑ −−= i

2 i

2 QQ 1N

3.378y; 1.0544

0.5202y2.71; σ

yyK TT* N

* NT =

− =

− =

0.5202y*N = 1.0544σ * N =

( )[ ] ( )[ ] años30T;3.378expexp1 1T;yexpexp1T

1 T =−−−

=−−−=

249.87S; 19

2.711.12.711.31306.82S; N

1.1K1.3K1σS e 0.52

e

0.52

e =⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ⋅+⋅+ ⋅=⎟⎟

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ++ ⋅=

( ) años489.75249.871.96Q;SαfQ inteint =⋅=⋅= ( ) ( ) 1.9695%fαf ==

199015001010 ≤≤

( ) ( ) %29adProbabilid;0.29301-1-1T1-1-1QPr(Q 10nn

T ====≥ )

955.2Q;487.33S;años907.4T;6.81y;5.96K inteT =====

345525001545 ≤≤

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Problema 10 Un pozo agrícola, de 0.4 metros de diámetro, perforado en el acuífero inmediatamente subyacente hasta una profundidad de 40 metros, está dotado de una bomba sumergible que se encuentra a 25 metros de profundidad. Un ensayo de bombeo anterior ha permitido estimar la conductividad hidráulica (10-5 m/s) y el radio de influencia del acuífero (1000 metros). Se conoce pues que cuando se extrae agua subterránea mediante un bombeo a caudal constante, los niveles que se obtienen en el pozo adquieren con cierta rapidez el régimen estacionario más abajo del nivel freático regional, el cual en reposo y sin explotación se encuentra a 5 metros de profundidad. Si estimamos que el acuífero que se explota no alcanza más profundidad que la perforada por el pozo, o sea 40 metros, se desea conocer: a) ¿Qué caudal constante máximo se podrá extraer en el pozo, si no queremos que los descensos de los niveles freáticos superen la profundidad de la bomba sumergible, es decir 25 metros?.(5 ptos) b) Realizar la evaluación anterior, pero en este caso considerando que un río situado a 200 metros de distancia del pozo pueda influenciar en las extracciones de agua subterránea. (7 ptos) c) Si el último planteamiento es acertado, ¿qué caudal del bombeado cabe esperar que se detraiga del propio caudal del río? (3 ptos) Utilizar la formulación apropiada ( Thiem: ; Dupuit: )

Solución La formulación más apropiada es la de Dupuit, puesto que se trata de un acuífero libre en el que los descensos son bastante importantes con respecto al espesor saturado. a) El espesor saturado inicial H0 podrá estimarse como la profundidad del sondeo, 40 m, menos la profundidad inicial del nivel freático, 5m, es decir H0 = 35 metros. H será en principio la altura de la bomba con respecto al fondo del sondeo H = 40- 25 = 15 metros Lo que permite calcular el caudal que es bombeado constantemente del acuífero Qa. b) En el caso que el río situado a 200 metros influencie los bombeos en el pozo, podremos plantear la ecuación de Dupuit para el pozo de bombeo QT y para el pozo imagen de inyección -QT.

r Rln

T2 Qs π

= r Rln

K QHH 220 π

=−

h m

s m3

a5 a22a22

0 33 13.28103.69Q;

0.2 1000ln

10π Q1535;

r Rln

πK QHH =⋅=

⋅ =−=− −−

400 Rln

K Q-HH

r Rln

K QHH T22

2 0

T2 1

2 0 ππ

=−=− ;

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Donde el descenso en el pozo no sobrepasará la posición de la bomba, es decir: 25 – 5 = 20 metros. 20 = (H0 – H1) + (H0 – H2) = 2H0 – H1 – H2 = 2·35 – H1 – H2 = 70 – H1 – H2 ; H1 + H2 = 50 Estas tres últimas ecuaciones se pueden resolver para H1, H2 y QT, a través de una ecuación de segundo grado.

Descenso del propio pozo de bombeo: H1 = 13.43 m ; s1 = H0 – H1 = 35 - 13.43 = 21.57m Ascenso del pozo imagen: H2 = 36.57 m ; s2 = H0 – H2= 35 – 36.57 = -1.57m Caudal que se puede bombear cuando hay influencia del río: QT= 5.28·10-3 m3/s = 19 m3/h c) Es de esperar que puesto que hemos calculado el caudal total QT que se puede bombear del acuífero cuando hay influencia del río, y el caudal que procede exclusivamente del acuífero Qa, que el caudal que es detraído sólo del río Qr ,cuando éste influencia el acuífero, sea la diferencia entre los dos anteriores: QT= Qa + Qr = 19 m3/h ; Qr = QT - Qa = 19 – 13.28 = 5.73 m3/h Luego para que esta hipótesis sea válida, el río debe tener un caudal superior a este caudal que hemos estimado, lo que equivale a 1.6 l/s, que será el caudal que se detraerá de manera constante del propio caudal del río como consecuencia del bombeo de 19 m3/h.

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Problema 11 Se extrae un caudal continuo de 10 L/s de un pozo de 0.2 m de diámetro perforado en un acuífero que se piensa de comportamiento confinado. Después de bombear durante aproximadamente 24 horas se estabilizan los descensos producidos en dos piezómetros situados a 3 m y a 20 m del pozo. Los descensos medidos fueron de 0.725 m y de 0.39 m, respectivamente. En el pozo de bombeo se midió un descenso de 1.42 m. Calcular: la transmisividad del acuífero, el radio de influencia del bombeo, las pérdidas de carga en el pozo y el radio eficaz del pozo (radio con el que realmente está funcionando debido a las perdidas de carga). ¿Se podría estimar si el acuífero está comportándose como confinado? Formulación

Solución

1) Puesto que se entiende que el acuífero tiene un comportamiento confinado, la transmisividad se podrá estimar mediante la fórmula de Thiem en régimen estacionario para los dos piezómetros de observación. El caudal de bombeo Q = 10 l/s = 864 m3/día Luego la transmisividad será: T = 778.7 m2/día

2) El radio de influencia se podrá calcular también con la fórmula de Thiem pero en este caso para un piezómetro, por ejemplo el situado a 3 m de distancia, y la distancia R en la que no existiría descenso. Esto mismo se puede realizar gráficamente en una escala semilogarítmica entre el descenso y el log r, para los dos piezómetros de observación, lo que resultaría en una aproximación lineal según se deduce de la fórmula de Thiem (ver figura siguiente) 3) En el pozo, los descensos son normalmente superiores a los teóricos, ya que existen pérdidas de carga adicionales debido a la turbulencia. Para estimar los descenso teóricos podremos utilizar la fórmula de Thiem para el radio de influencia R, recientemente calculado, y para el radio del pozo rp. Las pérdidas de carga en el pozo serán pues:

1

2 21 r

rln T2

Qss π

=− S

2.25TtR =

3 20ln

T2 8640.39-0.725;

r rln

T2 Qss

1

2 21 ππ

==−

m182R 3 Rln

778.72 86400.725;

r Rln

T2 Qss

1 01 ==−=− ;ππ

m1.326s 0.1 182ln

778.72 8640s;

r Rln

T2 Qss pp

p 0p ==−=− ;ππ

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descenso real – descenso teórico = 1.42 - 1.326 = 0.094

El radio eficaz del pozo es el que correspondería al descenso real observado. Aplicando la fórmula de Thiem:

Que lógicamente resulta ser menor que el radio real del pozo rp = 0.1 m. 4) En este sentido, se puede aplicar la definición de la aproximación de Jacob para estimar cuál sería el coeficiente de almacenamiento con que funciona el acuífero a partir del tiempo que emplea en alcanzar el equilibrio, que este caso es de 1 día. Un 5.3% de almacenamiento es propio de un comportamiento libre. Aunque se podría pensar que hasta ahora se ha utilizado una formulación errónea (Thiem), propia de un acuífero confinado, para realizar el análisis de un acuífero libre, éste se podría considerar como adecuado puesto que los descensos observados son muy pequeños en relación con el espesor posiblemente perforado, el cuál es un dato que por otra parte está ausente en el enunciado del problema.

0.5

1.0

1.5

0

m0.053r r

182ln 778.72 86401.42;

r Rln

T2 Qss epe

p e p

0 r p ==−=− ;ππ

0.053 182

1778.72.25S S

tT2.25 R 2

p = ⋅⋅

= ⋅⋅

= ;

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Problema 12 En los extremos de un tramo de un río se han medido los caudales de entrada I y de salida Q mostrados en la Tabla adjunta. Obtener para este tramo de río, los valores de los coeficientes K y X que definen la ecuación de propagación de avenidas por el método de Muskingum: S = ΣΔS = Σi Δt · ((Ii-1 - Qi-1) + (Ii - Qi)) / 2 = K (X I + (1 – X) Q)

En las siguientes figuras se puede comprobar que el valor X = 0.1 es el que más aproxima los puntos a una recta. Así pues, tomaremos este valor como válido. La pendiente de la recta nos proporciona el valor de K: K = d(ΣΔS) / d(XI+(1–X)Q) = 500 / (600-25) = 500 / 475 = 0.86 días, aproximadamente 1 día.

X = 0.05 X = 0.1 X = 0.2 X = 0.3 400 400 400 200 200 200

200 400 200 400 200 400 200 ΣΔS

X I + (1 – X) QTiempo

(días) I (m3/s) Q (m3/s) I - Q Media (I-Q)

m3/s Δt·Media día·m3/s

ΣΔS X = 0.1

X = 0.2 X = 0.3 X = 0.05

0 59 42 17 0 43.7 45.4 47.1 42.85 1 129 76 53 35 35 35 81.3 86.6 91.9 78.65 2 210 142 68 60.5 60.5 95.5 148.8 155.6 162.4 145.4 3 325 213 112 90 90 185.5 224.2 235.4 246.6 218.6 4 627 397 230 171 171 356.5 420 443 466 408.5 5 432 533 -101 64.5 64.5 421 522.9 512.8 502.7 528 6 203 371 -168 -134.5 -134.5 286.5 354.2 337.4 320.6 362.6 7 130 196 -66 -117 -117 169.5 189.4 182.8 176.2 193 8 90 143 -53 -59.5 -59.5 110 137.7 132.4 127.1 140.35 9 68 95 -27 -40 -40 70 92.3 89.6 86.9 93.65

10 59 75 -16 -21.5 -21.5 48.5 73.4 71.8 70.2 74.2

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Problema 13 Se dispone de una serie de 50 años de caudales máximos diarios de un río cuyo valor medio es de 100 m3/s y su desviación típica de 15 m3/s. Si el caudal máximo diario registrado durante un año es de 150 m3/s, se pide, mediante una análisis de valores extremos por el método de Gumbel: a) Determinar el periodo de retorno y el error de estimación de dicho caudal para una

confianza del 95% (8 puntos) b) ¿Cuál sería el caudal máximo diario para un periodo de retorno de 50 años? (4 puntos).

c) ¿Cuál es el error de estimación de este último caudal para una confianza del 95%? (3

puntos). Formulación : (f(50%)=0.674; f(90%)=1.654; f(95%)=1.96) Parámetros de la función de Gumbel

σKQQT ⋅+= ( )αf ( ) eint SαfQ ⋅=

0.52

e N 1.1K1.3K1σS ⎟⎟

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ++ ⋅= *

* T

σ yy

K

=

( ) ( )[ ]TTT yexpexpT11QQProb)F(Q −−=−=≤=

( )[ ]T11lnlnyT −−−= ( )βQαy TT −⋅=

σ0.45Qσ σ yQβ *

N

* N ⋅−=−=

σ 1.2825

σ σα

* N ==

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

⎥ ⎦

⎤ ⎢ ⎣

⎡ ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛+−=

1-T Tlnlny

σ 1K **

⎥ ⎦

⎤ ⎢ ⎣

⎡ ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛−=

1-T Tlnln

α 1βQT

0.5772y*N = 1.2825σ*N =

*y *σ *y *σ

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Solución

a) Si aplicamos la función de Gumbel para el análisis de los valores extremos de los caudales máximos diarios de un río, cuya media y desviación típica son conocidos, utilizaremos la definición estadística para conocer el factor de frecuencia de un caudal cuyo periodo de retorno es conocido:

Si utilizamos la definición estadística de la función de Gumbel Podremos calcular la variable de Gumbel para los parámetros (media y desviación) de la función, los que con ayuda de la tabla de la función de Gumbel para un tamaño de la muestra de N = 50 serían: Luego la variable de la función de Gumbel para el caudal analizado es: La cual permite conocer el periodo de retorno asociado al caudal de 150 m3/s. El error de estimación de dicho caudal para un intervalo de confianza del 95% se podrá calcular: como el semiancho del intervalo de confianza. b) La variable de Gumbel para un periodo de retorno de 50 años será: El factor de frecuencia correspondiente: Y el caudal punta para un periodo de retorno de 50 años: c) El error de estimación de este último caudal para un intervalo de confianza del 95% será: o bien, el semiancho del intervalo de confianza.

σKQQT ⋅+= 3.333K15K100150; =⋅+= ; **

T σKyy ⋅+=

0.5485y* = 1.1607σ * =

4.41753.3331.16070.5485σKyy **T =⋅+=⋅+=

( )[ ] ( )[ ] años83T4.4175expexpT11yexpexpT11 T =−−=−−−=− ;;

( ) ( ) 17.4 50

3.331.13.331.31151.96 N

1.1K1.3K1σ1.96S95%fSαfQ 0.520.52

eeint ±=⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ⋅+⋅+ ⋅=⎟⎟

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ++ ⋅=⋅=⋅=

( )[ ] ( )[ ] 3.95011lnlnT11lnlnyT =−−−=−−−= 2.89

1.1607 0.54853.9

σ yy

K * *

T = −

= −

=

s m143.35152.89100 σKQQ

3 T =⋅+=⋅+=

( ) ( ) 15.5 50

2.891.12.891.31151.96 N

1.1K1.3K1σ1.96S95%fSαfQ 0.520.52

eeint ±=⎟⎟ ⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ⋅+⋅+ ⋅=⎟⎟

⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ ++ ⋅=⋅=⋅=

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