Integrales defnidas apuntes, Apuntes de Ingeniería en Geodesia y Cartografía. Universidad de Alcalá (UAH)
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Integrales defnidas apuntes, Apuntes de Ingeniería en Geodesia y Cartografía. Universidad de Alcalá (UAH)

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Asignatura: Economia, Profesor: guillem guillem, Carrera: Ingeniería en Geodesia y Cartografía, Universidad: UAH
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MATEMATICAS EMPRESARIALES (URJC)

APUNTES CALCULO INTEGRAL SEGUNDA PARTE

ADE, 1º 16-17

1

INTEGRALES DEFINIDAS

Sea una función   baf ,: acotada.

La integral de f en  ba, se simboliza  b

a dxxf )( .

 Cuando la función sea no negativa )0)(( xf en  ba, , la integral de f en  ba, es

igual al valor del área limitada por las líneas )(,0,, xfyybxax  .

 b

a dxxfS )(

 Cuando la función sea negativa )0)(( xf en  ba, , la integral de f en  ba, es

igual al valor del área cuando tomamos el valor absoluto de la integral, pues la integral es

negativa y el área positiva.

 b

a dxxfS )(

2

Definición. Una partición del intervalo  ba, es un conjunto de puntos

 baxxxx n ,,...,,, 210  tales que  bxxxxaP n  ...210 .

Puesto que f es acotada también lo es en cada uno de los subintervalos  ii xx ,1 , por

lo que tendrá un supremo y un ínfimo en cada subintervalo.

     iii

iii

xxxxfInfm

xxxxfSupM

,/)(

,/)(

1

1



 ni ,...,2,1

Sumas de Riemann

El valor de la integral definida lo vamos a calcular mediante aproximaciones. Las

“aproximaciones por exceso” son las llamadas sumas superiores de Riemann.

 

 n

i

iii xxMfPS 1

1)(),(

Las “aproximaciones por defecto” son las llamas sumas inferiores de Riemann.

 

 n

i

iii xxmfPs 1

1)(),(

3

Dado que nn MmMmMm  ,...,, 2211 , se tiene que ),(),( fPSfPs  .

Si hacemos la partición del intervalo  ba, más fina (añadimos más puntos)

conseguimos que las aproximaciones por exceso y por defecto sean mejores, es decir,

dadas dos particiones P y Q, si P es más fina que Q tendremos que

),(),(

),(),(

fQsfPs

fQSfPS

 con lo que la aproximación al valor de la integral será mejor para P.

Si al afinar la partición P de modo que la longitud de los subintervalos tienda a cero

ocurre que todas las sumas (superiores e inferiores) convergen a un mismo valor, se dice

que la función f es integrable en el intervalo  ba, .

El valor al que tienden las sumas de Riemann se denomina “integral definida entre a

y b de la función f ”.

  b

a dxxf lim)( lim)(

1

1  

n

i

iii xxm  

 n

i

iii xxM 1

1)( cuando 0)( 1  ii xx

Proposición

 Toda función f continua en  ba, es integrable.

 Toda función con un número finito de discontinuidades en  ba, y acotada en  ba,

es integrable.

Propiedades

    b

a

b

a

b

a dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

  b

a

b

a dxxfkdxxfk )()(

)( abkdxk b

a 

  a

a dxxf 0)(

  b

a

a

b dxxfdxxf )()(

Si   b

c

c

a

b

a dxxfdxxfdxxfbca )()()(,

4

Teorema fundamental del cálculo o Regla de Barrow

Sean F y f funciones continuas en  ba, tales que  baxxFxf ,,)()(  .

Entonces

 )()()()( aFbFxFdxxf bx

ax

b

a 

 

Ejemplo

 )2()1()2()1( 1

2 1 0

2 1

0 2 LLLxLdx

x

x x x

 



5

INTEGRALES IMPROPIAS

1. Integrales impropias de primera especie (o de intervalo no acotado)

Sea   ,: af integrable en cualquier intervalo cerrado  ua, , con .au

Denominamos integral impropia de f en el intervalo  ,a al límite, si existe,

  

 

u

a au dxxfdxxf )()(lim

Si el límite es ,L la integral impropia es convergente.

Si el límite no existe o es infinito, la integral impropia es divergente.

Análogamente se definen las integrales impropias   a

dxxf )( .

La integral impropia  

 dxxf )( converge cuando existe un a  para el que

convergen las integrales impropias  

a dxxf )( y ,)( 

a

dxxf siendo

 





 

a

a

dxxfdxxfdxxf )()()( .

6

Regla de Barrow

Si )(xF es una primitiva de )(xf y existe ),(lim uF u 

entonces

 )()(lim)(lim)( aFuFdxxfdxxf u

u

aua 





 .

Análogamente para   a

dxxf )( .

Ejemplo

      





 

 110limlimlim 0

0 00

eeedxedxe u u

ux

x

x

u

u x

u

x Convergente.

2. Integrales impropias de segunda especie (o de función no acotada)

Sea   baf ,: una función integrable en cualquier intervalo cerrado  ua, , con

 bau , . Denominamos integral impropia de la función f en el intervalo  ba, al límite,

si existe,   

 

u

abu

b

a dxxflímdxxf )()( .

Si dicho límite es L , la integral impropia es convergente.

Si dicho límite no existe o es infinito, la integral impropia es divergente.

Análogamente se define la integral impropia  

b

a dxxf )( .

7

La integral impropia  

b

a dxxf )( converge cuando existe un  bac , para el que

convergen las integrales impropias  b

c dxxf )( y 

c

a dxxf )( siendo

 

 b

c

c

a

b

a dxxfdxxfdxxf )()()( .

Regla de Barrow

Si )(xF es una primitiva de la función continua )(xf y existe ),(lim uF bu 

entonces

 )()(lim)( aFuFdxxf b

a bu 

 .

Análogamente para   b

a dxxf )( .

Ejemplo

     

  

 

 2)2(lim)2(lim2 1

lim 2

1

2 0

202

2

0 LuLxLdx

x dx

x u

ux

x u

u

u

 Divergente.

3. Funciones eulerianas

3.1 Función Gamma:  ),0(:

Dado un número real p>0, llamamos )( p al valor de la integral

dxexp xp  

  0 1)( .

Esta integral es impropia y será convergente para p > 0.

Propiedades

1. Para cada )1()1()(,1  pppp

2. 1)1( 

3. Para cada entero )!1()(,1  ppp

4.  

  

 

2

1

8

Una vez utilizadas las propiedades, el valor de la función Gamma quedará reducido

a un valor )( p con  1,0p , que puede consultarse en tablas.

Ejemplos

 

  

 

  

 



16

105

2

1

2

1

2

3

2

5

2

7

2

9

2!2)3(

dxex x 3

0

 

 .

Para que esta integral represente una )( p , es decir, para encontrar el valor de p,

tenemos que hacer un cambio de variable:

dttdttdxtxtx 32 1

3

1

313

3

1

3

1  

    

 

 

 dtettdttetdxex ttx 32

0

6132 21

0

31

0

21

3

1

3

13

32

1

3

1 1

2

1

3

1

3

1

0

21  

  

 

  

 

  

 

dtet t .

3.2 Función Beta:  ),0(),0(:

Si 0p y ,0q definimos   

1

0

11 )1(),( dxxxqp qp .

Esta integral es impropia y convergente para 10  p y 10  q .

Propiedades

1. Para cada ),(),(,0, pqqpqp  

2. , 1

)1,( p

p  para cada 0p

, 1

),1( q

q  para cada 0q

3. )(

)()( ),(

qp

qp qp



 

9

Ejemplos

2

1 )1,2( 

33

125

5

1

5

1

5

6

5

11

2 5

1

5

16

!2 5

1

3 5

1

)3( 5

1

3, 5

1 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

  

 

 

  

  

15

38

1 5

1 1

3

1

1 5

1 ,1

3

1 )1(1 51

1

0

313 1

0

5 dxxxdxxx

 

  

 

 

  

 

  

 

15

8

15

8

15

23

5

1

5

1

3

1

3

1

dxxx  1

0

33 1 .

Para encontrar una ),( qp , es decir, para hallar los valores de p y q, hacemos el

cambio de variable:

dttdxtxtxtx 323133

3

1 11 

   

  

  

2

3 ,

3

4

3

1 )1(

3

1

3

1 )1(1 21

1

0

3132 1

0

21 1

0

2133 dtttdttttdxxx

 

  

 

 

  

 

  

 

 

  

 

 

  

  

  

 



6

5

6

5

6

11

2

1

2

1

3

1

3

1

3

1

6

17

2

3

3

4

3

1

10

INTEGRALES MÚLTIPLES

La integral múltiple se define para funciones de varias variables nf : del

mismo modo que se definió la integral simple de funciones de una variable, a partir de

una integral superior (ínfimo de las sumas superiores) y una integral inferior (supremo

de las sumas inferiores). Cuando ambas integrales coincidan diremos que

 nxxxf ,...,, 21 es integrable.

La integral de la función se representa nn R

dxdxdxxxxf ...),...,,(... 2121  .

Nosotros calcularemos únicamente integrales de funciones ,: 2 f es decir,

integrales dobles.

Si ),( yxf es no negativa, la integral doble dydxyxf R

),( representa el volumen

que cubre la gráfica de ),( yxf .

Si 1),( yxf , la integral doble dydx R 1 representa el área del recinto R.

Cálculo de integrales dobles. Integración reiterada

Se integra respecto de cada una de las variables suponiendo que las demás variables

son constantes. El orden de integración dependerá de la forma que tenga el recinto de

integración R.

11

1. Recinto rectangular de lados paralelos a los ejes

Cuando la variables x varía en un intervalo  ba, y la variable y lo hace en un

intervalo  dc, , es indiferente integrar primero respecto a x o primero respecto a y.

dydxyxfdxdyyxfdxdyyxf d

c

b

a

b

a

d

c )),(()),((),(    

Ejemplo:    2,02,1 R

   

  

 

 

2

1

2

0

2

1

2 2

1

2

0 )22(

2 ))(()( dxxdx

y xydxdyyxdxdyyx

y

y

  121442 212  

x

xxx .

2. Recinto en que x varía en un intervalo  ba, e y varía entre dos funciones de

x, )(xf y )(xg

  )(

)( )),((),(

xg

xf

b

a dxdyyxfdxdyyxf

Ejemplo  4;0;30/),( 2  yxyxyxR

 

  

  

  

  



dx

x xxdx

y xydxdyyxdxdyyx

xy

y

x 3

0

2 4

0

3

0

2 4

0

3

0 2

)4( )4(

2 ))(()(

2

39 24

3

3

2

1 8

32

1 8

2

1 3 3

0

3 3

0

2  

  

 

  

 

x

x

x x

dxx

3. Recinto en el que y varía en un intervalo  dc, y x varía entre dos funciones

de y, )(yf y )(yg

  )(

)( )),((),(

yg

yf

d

c dydxyxfdxdyyxf

Ejemplo   

  

 y

xyyxR 1

0;21/),( 2

   

  

 

 

2

1

2

21

0

2

1

2 2

1

0

2 2

1

2

2

1

2 )( dyy

y dyy

x dydxxydxdyxy

yx

x

y

12

  2

1 )12(

2

1

2

1

2

1 2 1

2

1   ydy .

4. Recintos que hay que descomponer en dos o más

   21 ...),(),(),( dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf

Ejemplo   

  

 x

yxyxyxR 1

0;;40/),( 2

  

 

 

 

  

 

  

 

  

 





 

dx x

x xdx

x xdx

y xydx

y xy

dxdyyxdxdyyxdxdyyx

xy

y

xy

y

xx

4

1

2 1

0

2 2

1

0

4

1

2

0

1

0

2

1

0

4

10

1

0

2

11

222

))(())(()(

24

67

2

1 1

8

1 4

6

1

2

1

32

1

2

1 1

2

4

1

1

0

3 4

1 2

1

0

2

 

  

 

  

 

  

 

  

   x

x x

dx x

dx x

.

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