Base de Espacio Fila y de Espacio Columna
En este video vamos a ver a qué nos referimos con base de espacio fila y espacio columna de una matriz.
Entonces, supongamos que tenemos una matriz A, sabemos que podemos encontrar una matriz equivalente a esa matriz A que podemos llamar matriz B aplicando operaciones elementales, es decir, a partir de una matriz A si aplicamos operaciones elementales en las filas o en las columnas de esa matriz podemos obtener una matriz equivalente.
Esa matriz equivalente, las operaciones elementales que se pueden aplicar son cambiar de lugar dos filas, multiplicar una fila pero número o cambiar una fila por una combinación lineal de otras dos filas.
La matriz B que se obtiene suele ser una matriz que está escalonada, es decir, una matriz que debajo de su diagonal principal tiene elementos todos nulos.
Entonces algunos resultados importantes de estas matrices equivalentes son que esas dos matrices A y su escalonada B van a tener el mismo espacio fila, es decir, el subconjunto espacio que va a ser un subespacio vectorial va a ser el mismo para ambas matrices A y B pero trabajar con una matriz escalonada B es mucho más sencillo que trabajar con la matriz A, por eso este resultado lo utilizaremos para encontrar el espacio fila a partir de una escalonada y su correspondiente matriz A.
Además, si la matriz B está escalonada por filas entonces sus vectores filas distintos de cero van a constituir un conjunto linealmente independiente, es decir, si obtenemos a partir de una matriz A su matriz B escalonada sus filas van a hacer una base de ese espacio fila de B y por lo tanto, como dijimos que A y B tienen el mismo espacio fila también van a hacer una base de A.
Es decir, que podemos encontrar un perdón, una base para el espacio fila de una matriz A más fácilmente si trabajamos con su matriz escalonada equivalente.
La operación elementales entonces no van a modificar el espacio fila de una matriz, puedo encontrar
más fácilmente el espacio fila de esta matriz B y utilizar y saber que va a ser el mismo para pero pueden modificar el espacio columna como veremos luego.
Si vemos esto en un ejemplo, supongamos que queremos encontrar una base para el espacio fila de esta matriz A.
Entonces tengo una matriz de cinco por cuatro, tiene cinco filas y cuatro columnas.
Para encontrar más fácilmente una base para el espacio fila lo que puedo hacer es escalonar esta matriz buscar su matriz escalonada y trabajar con la escalonada que es mucho más sencillo.
Yo ya realicé esas operaciones aquí y escribí el resultado.
Si aplico operaciones elementales en esta matriz A y busco escalonarla debajo de la diagonal principal, tengo elementos todos ceros.
Entonces esta matriz B es equivalente a la matriz A, puedo trabajar con la matriz B.
Y si en esta matriz B observo se anularon dos filas, las dos últimas filas se hicieron ceros, entonces puedo concluir que este vector fila que lo voy a llamar w1, este otro w2, y este otro w3.
Los tres primeros vectores filas que son distintos de cero, los últimos dos se hicieron cero pero los tres primeros no, van a constituir una base del espacio fila de A y por lo tanto, del espacio fila, perdón del espacio fila de B y por lo tanto, del espacio fila de A.
Entonces voy a escribir una base del espacio fila de, voy a escribirlo con otra letra.
Por ejemplo, supongamos con la letra C para que no se mezcle con los nombres de las matrices.
Una base del espacio fila de A entonces va a estar formado por los vectores uno, tres, uno, tres, cero, uno, uno, uno y cero, cero, cero, uno.
Entonces esta va a ser una base del espacio fila de A.
Observen que obtuve vectores de cuatro componentes como eran las columnas de A y obtuve tres vectores, esto va a ser importante, obtuve tres vectores para la base de A.
Y ahora… ¿qué sucede si quiero encontrar una base para el espacio columna que puede ser que no sea la misma?.
Entonces si ahora quiero trabajar con el espacio columna de A, una forma sencilla de obtener una base para el espacio columna de A es saber, trabajar con este resultado.
El espacio columna de A es igual al espacio fila de la traspuesta de A.
Entonces puedo trabajar con la traspuesta de A buscando su espacio fila y eso será igual a encontrar su espacio columna.
Entonces puedo aplicar la técnica anterior, pero a la traspuesta de A, exactamente lo mismo pero ahora trabajaré con la transpuesta.
Si lo vemos en este ejemplo.
Esta es la matriz A y ahora quiero encontrar una base para su espacio columna.
Entonces una forma sencilla de hacerlo es trabajar con la traspuesta de A.
Aquí escribí la traspuesta cambié filas por columnas y aplicando operaciones elementales en esta matriz obtuve una equivalente que puedo llamar B, una equivalente a A que puedo llamar B.
Obtuve esta matriz equivalente escalonada debajo de la diagonal principal, todos los elementos son ceros.
Y como se observa bueno, la última fila se hizo cero, se anuló.
Por lo tanto, me estoy quedando con estos vectores: w1, vectores filas, w2 y w3, me quedo con estos vectores filas pero de A traspuesta.
Entonces voy a decir que w1, w2 y w3 forman una base del espacio fila de A traspuesta y es lo mismo que decir que estos vectores si lo escribo como columna uno, cero, lo escribiré más prolijo, los vectores uno, cero, menos tres, tres y dos cero, uno, nueve, menos cinco y menos seis y el último vector columna es cero, cero, uno, menos uno y menos uno, estos vectores columnas van a formar una base del espacio columna de A, son base del espacio columna de A.
Sí están escritos, entonces como filas, estos forman una base del espacio fila de A traspuesta pero escrito como columnas serán base del espacio columna de la matriz original A.
Como Vemos esta base que la voy a escribir, por ejemplo, como base D, para seguir con la nomenclatura, también está formada por tres vectores en este caso y ahora tienen cinco componentes cada una, que coincide con la cantidad columnas de la matriz A traspuesta.
Esto nos lleva a otro resultado importante y es que si hay una matriz m por n, sí tengo una matriz de tamaño m por n el espacio fila y el espacio columna van a tener la misma dimensión.
Las bases que obtuvimos para el espacio fila y el espacio columna tienen la misma dimensión.
En este caso, obtuvimos tres vectores para el espacio columna de A y en este otro caso también obtuvimos tres vectores para el espacio fila de A, tienen la misma dimensión.