Base y Dimensión de un Espacio Vectorial
Hola.
en este video vamos a ver a qué llamaremos base y dimensión de un espacio vectorial.
Entonces para empezar, supongamos que tenemos un espacio vectorial que llamaremos V y un conjunto A de vectores o elementos que está incluido en V, ds decir, tenemos el conjunto V y dentro de él tenemos otro conjunto A formado por un número finito de elementos n.
Vamos a decir que A, el conjunto A es una base del espacio vectorial V, si A es un sistema generador de V, es decir, es un sistema que puede generar a todos los elementos de V, a todos, todos, todos con combinaciones lineales, con escalares conocidos y además es linealmente independiente, es decir, que sí formo la combinación lineal, igualándola al vector nulo, la única manera de formar esa combinación lineal es la trivial, es decir, con escalares nulos.
El concepto de base entonces, nos va a originar un sistema o un conjunto, sistema o conjunto de elementos que puedan degenerar a todo V y tendrá que tener suficientes elementos para generar V, pero no tantos de manera que uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los demás, es decir, tiene que tener suficientes elementos para generar V, pero no tiene que ser linealmente dependiente.
Decimos que es linealmente dependiente si tal vez alguno de estos vectores se puede escribir como combinación lineal de los demás.
En ese caso, ese elemento está sobrando.
Entonces una base digamos de manera sencilla, es un conjunto lo suficientemente grande para generar V, pero no tan grande como para hacer linealmente dependiente.
El concepto de base es muy importante, base de un espacio vectorial.
Existen bases que son especiales que se llaman bases canónicas, que son bases por excelencia de un espacio vectorial.
Por ejemplo, bases canónicas.
Si hablamos del espacio vectorial R2 o R3 que son vectores de tres componentes, su base canónica es, vamos a escribirla como B, los elementos que se conocen como vectores canónicos, que son uno, cero, cero, el vector cero, uno, cero y el vector cero, cero, uno.
Esta es la base canónica de R3, es decir, la base por excelencia.
También, por ejemplo, si hablamos del espacio vectorial de matrices de números reales, de matrices del tamaño de dos por dos, es decir, matrices que tienen dos fila y dos columnas, su base canónica es la que está formada por los matrices uno, cero, cero, uno, perdón, uno, cero, cero, cero, uno, perdón, cero, uno, cero, cero, cero, cero, uno, cer y por último, cero, cero, cero, uno.
Esta
es la base canónica del espacio R dos por dos, es decir, de las matrices de números reales de tamaño dos por dos.
Si vemos un ejemplo dado este sistema de vectores o conjunto de vectores, queremos saber si es base de R2.
Para saber si es base de R2 tendremos que comprobar dos cosas.
Primero si es un sistema generador de R2 y segundo, si el linealmente independiente.
Si estas dos cosas se cumplen, diremos que A es base de R2, es decir, que puede generar a todo el R2 con una cantidad mínima de vectores necesarios, Primero, estaremos comprobando si es un sistema generador.
Para saber si un sistema generador lo que tenemos que hacer es armar una combinación lineal con estos vectores, igualándola a un vector cualquiera x1, x2, por ejemplo.
Es decir, vamos a llamar a x vector, x1, x2 genérico cualquiera de R2.
¿Por qué?.
Porque para que un conjunto sea sistema generador, recordemos que cualquier vector de R2 se tiene que poder escribir como combinación lineal de los vectores de A, de forma única, es decir, con escalares únicos.
Entonces plantearé la combinación lineal α uno, uno más β uno, menos uno.
Si puedo formar esta combinación lineal con escalares α y β únicos, es decir, que este sistema de ecuaciones lineales que queda formado aquí, si resuelvo estas operaciones entre vectores tiene solución única, entonces es un sistema generador.
Si resuelvo estas operaciones, estoy obteniendo α más β igual a x1 y α menos β igual a x2.
Entonces para saber si esto es un sistema generador lo único que tengo que hacer de forma fácil.
rápida es saber si la matriz del sistema, si la matriz de este sistema es distinto de cero.
Porque recordemos que si una matriz de un sistema es distinto de cero entonces el sistema será siempre compatible determinado, es decir, tendrá solución única que es lo único que que yo necesito saber para saber si el sistema generador.
Comprobamos eso, la matriz del sistema es uno, uno, uno, menos uno, si resuelvo su determinante obtengo menos uno, menos uno, que me da por resultado menos dos, con lo que es distinto de cero, por lo que puedo asegurar que es un sistema compatible determinado va a tener solución única así que A es un sistema generador de R2.
Muy bien, comprobé que es un sistema generador.
Ahora voy a comprobar si es linealmente independiente.
Para comprobar si A es linealmente independiente voy a probar si la combinación lineal igualada al vector nulo cero, cero tiene como única solución la trivial y no tiene otra solución posible.
Entonces vuelvo a plantear una combinación lineal pero ahora igualada al vector nulo.
Entonces nuevamente se va a formar otro sistema de ecuaciones α más β, pero ahora igualada a cero, α menos β igual a cero.
Si este sistema tiene solución única, esa solución es la trivial y es linealmente independiente.
Entonces, si es un sistema compatible determinado es linealmente independiente, pero si este sistema tiene más soluciones aparte de la trivial, es decir, es un sistema compatible indeterminado será linealmente dependiente.
Entonces para saber si es linealmente independiente o dependiente, lo único que tengo que hacer es ver si determinado o indeterminado.
Para saber eso nuevamente, sólo me basta con conocer si la matriz del sistema distinto de cero, nuevamente, será compatible determinado.
Y como ya sabemos que esa matriz de ese sistema tiene un determinante menos dos, esta matriz, entonces, su determinante no es cero por lo que es un sistema compatible determinado, entonces este sistema A es linealmente independiente.Entonces, de manera rápida y fácil hemos comprobado que A, el conjunto A, es un sistema generador de R2 y que además es linealmente independiente.
Entonces podemos decir que A es base de R2, es decir, va a generar a todo el R2 con una cantidad mínima de vectores.
En este caso A tiene dos vectores.
Esto está relacionado con el concepto de dimensión de un espacio vectorial.
Diremos que sí un espacio vectorial tiene una base que tiene n vectores, entonces la dimensión de ese espacio vectorial será n, es decir, decimos que un espacio vectorial es de dimensión si existe una base que conste de exactamente n vectores.
A ese número n lo llamamos dimensión de ese espacio vectorial.
En el ejemplo que estábamos observando recién teníamos una base A de R2, entonces podemos decir que la dimensión del espacio vectorial R2, en el ejemplo reciente es dos.
La dimensión de ese espacio es dos.
Además sabemos también, por ejemplo, si estamos trabajando con las matrices reales de tamaño dos por dos, su dimensión será m, perdón, si de dos por dos su dimensión será cuatro porque en general, si trabajamos con matrices de tamaño m por n, la dimensión de ese espacio de matrices m por n, será m por n también, es decir, cantidad de filas y columnas que tengan esas matrices.
Entonces, cuando hablamos de dimensión de un espacio vectorial estamos diciendo que yo podré tener dentro de un espacio vectorial V, infinitos subconjuntos que generen a todo V y que sean base.
Podré tener muchos conjuntos que todos generen a V y que todos sean base pero todos tendrán que tener el mismo número de elementos si es que son base, es decir, si estamos trabajando en la R2 todas esas bases tendrán que tener dos vectores, si estamos trabajando en vectores de dos componentes.
Ese número entonces se llama dimensión del espacio vectorial.
Los sistemas generadores de V, estos sistemas que pueden generar a todo V que sean linealmente independientes entonces van a estar formados por la menor cantidad de vectores necesarios para generar a V.
Puedo tener conjunto o sistema generadores de R2 que tengan más de dos vectores pero al pedir que además sean linealmente independientes estoy exigiendo que tengan una cantidad mínima necesaria para generar a todo de R2.