Dependencia e Independencia Lineal de Vectores
Hola, en este video vamos a ver a qué llamamos combinación lineal de vectores y cuando un conjunto de vectores es linealmente dependiente o independiente.
Si arrancamos primero repasando el concepto de combinación lineal.
Si tenemos un espacio vectorial que vamos a llamar V y supongamos que tenemos un conjunto de vectores dentro de ese espacio vectorial que vamos a llamar A, que tiene algunos vectores, cuando decimos vectores, en este caso está representado como vectores pero pueden ser también matrices, funciones, polinomios cualquier ente matemático.
Entonces tenemos un espacio vectorial V y dentro hay un subconjunto A, que tiene elementos, vectores y vamos a llamar sabiendo que tenemos escalares α1, α2, αn que son números reales, pertenecen a los reales, son números reales.
Vamos a llamar combinación lineal a un vector v, que este vector pertenece al espacio vectorial V.
Ese vector se va a llamar combinación lineal de los vectores del conjunto A, v1, v2, vn con escalares α1, α2, αn, es decir, esta expresión que estamos observando en lo que se conoce como combinación lineal.
Multiplicamos escalares por vectores y lo sumamos entre sí.
Al resultado, si este resultado da un vector que pertenezca V, o sea que se encuentre aquí afuera dentro de V, a ese vector lo llamamos combinación lineal de los vectores de el conjunto A, de este conjunto A.
Es decir, lo que estamos proponiendo es que este vector se puede escribir como combinación lineal de estos vectores del conjunto A, v1, v2, vn.
Por ejemplo, podemos plantear un vector w que se escriba como tres por un vector u más cinco por un vector v.
Entonces estamos diciendo que w es combinación lineal de los vectores u y v con escalares tres y cinco.
Por ejemplo, si queremos determinar si un vector v de un espacio vectorial es combinación lineal de un conjunto de vectores A, en este caso dos, cero y menos uno, uno.
Para saber si este vector se puede escribir como combinación lineal de los vectores de este conjunto A, tenemos que plantear la combinación lineal entre cinco, menos uno e igualarla a la combinación lineal de los vectores de A con escalares α, por ejemplo, que representan números reales.
Dos… el vector, el primer vector dos, cero más β, que también representa un número real menos uno, uno.
¿En qué consiste entonces saber si cinco, menos uno se puede escribir como combinación lineal de los vectores de A?.
Consiste en encontrar α y β para ver si existen, que cumplan esta igualdad, es
decir, queremos conocer si hay alguna posibilidad de α y β que haga que esto sea una igualdad.
Para eso vamos a resolverlo planteando un sistema de ecuaciones.
Aquí tenemos operaciones entre vectores, las voy a resolver.
Sabemos que un escalar se puede multiplicar por un vector, es decir, que voy a multiplicar dos α y dos por cero es cero y en el otro vector β por cada una de las componentes, menos β y β.
Y si sumo componente componente estos vectores, estoy obteniendo cinco, menos uno dos α menos β, va a ser la primer componente, sumando las dos primeras de este vector y cero más β, va a ser la segunda componente que queda β.
Como aquí tengo una igualdad de dos vectores, una igualdad de dos vectores, sabemos que dos vectores son iguales si sus componentes homólogas son iguales, es decir, dos α menos β es igual a cinco y la segunda componente β es igual a menos uno.
De manera que me queda formado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que puedo encontrar α y β.
En realidad aquí ya tenemos el valor de β, vale menos uno.
Si reemplazo aquí, puedo obtener el valor de α.
Voy a decir dos α menos menos uno es igual a cinco, así que α, dos α está valiendo cuatro, por lo que α y β vale dos.
¿Qué voy a responder?.
Que si, v si se puede expresar como combinación lineal del conjunto A con escalares o con números reales dos y menos uno.
Entonces si ahora entramos en el concepto de dependencia e independencia lineal.
En este caso, lo escribí con dos vectores, pero se puede escribir con una cantidad n de vectores.
Supongamos que tenemos un conjunto A que en este ejemplo entonces tiene dos vectores v1 y v2 y esta es la combinación lineal de v que es un vector de un espacio vectorial V.
Entonces, lo escribí como combinación lineal de v1 y v2 con escalares α y β, a modo de ejemplo.
¿Qué sucede si v es el vector nulo?.
Bueno, entonces voy a poder escribir la combinación lineal cero vector igual a, y en este caso, si yo escribiera esta combinación lineal de entre v1 y v2, una manera de que esto resulte igual, es decir, que el vector v sea el vector nulo y se pueda expresar como combinación lineal es que yo tome como escalares, α y β, números cero.
Es decir, si v fuera el vector nulo, se podría escribir como combinación lineal de v1 y v2 con escolares cero.
A esta opción de escribir una combinación lineal, se la conoce como combinación lineal trivial es la combinación lineal obvia.
Cuando v sea el vector nulo, una combinación lineal obvia va a ser que α y β sean cero.
Eso se conoce como combinación lineal trivial.
Ahora, vamos a decir que un conjunto A, este mismo conjunto A del que estamos hablando, va a hacer linealmente independiente si la única manera de escribir a v, el vector nulo como combinación lineal de esos vectores de A es con la combinación lineal trivial, es decir, si la única posibilidad de escribir al vector nulo como combinación lineal de los vectores de A es que α y β sean cero, entonces decimos que A es linealmente independiente.
En cambio, si existe alguna otra posibilidad, tal vez algunos otros valores posibles para α y β que hagan que resulte esta combinación lineal igual al vector nulo, vamos a decir que es linealmente… A es linealmente dependiente, es decir, este conjunto es linealmente dependiente.
Eso quiere decir que alguno de los vectores de A se está pudiendo expresar como combinación lineal de los demás.
Eso quiere decir dependencia lineal.
Entonces, si la única posibilidad es la solución trivial diremos que es linealmente independientes y hay más posibilidades para α y β, diremos que es linealmente dependiente.
Esto lo vamos a ver en un ejemplo.
Si resolemos un sistema, el sistema de ecuaciones anteriormente planteado y si el resultado nos da y compatible determinado sabremos que la única solución posible es la trivial que es la que siempre se va a verificar.
Entonces diremos que el sistema es linealmente independiente.
En cambio, si existen más soluciones aparte de la trivial, diremos que el sistema es linealmente dependiente.
Si lo vemos en este ejemplo.
Tenemos que determinar si este conjunto A es linealmente independiente o dependiente.
Vamos a plantear una combinación lineal con el vector nulo siempre para saber si el linealmente independiente o dependiente, planteamos la combinación lineal con el vector nulo, siempre.
Y buscamos escalares α y β, a ver si existen que hagan que esto se verifique, vamos a ver.
α y β pueden ser cero que es lo obvio pero queremos saber si existe otra posibilidad para α y β, es decir, queremos saber si este sistema, cuando lo resolvamos será compatible determinado o indeterminado.
Entonces si en este caso hacemos todos los pasos, vamos a obtener cero, cero igual a menos dos α más cuatro β operando entre vectores y α menos dos β y si igualamos estamos teniendo menos dos α más cuatro β igual a cero y α menos dos β igual a cero.
Entonces si de aquí despejamos α o podemos resolver, por ejemplo por el método de reducción, multiplicando a esta fila por dos.
Entonces obtenemos el sistema menos dos α más cuatro β igual a cero, dos α menos cuatro β igual a cero.
Y observamos aquí que se elimina α, que es lo que estoy buscando pero también se elimina β, perdón, se elimina β, es decir, que me quedo con cero igual a cero.
Cuando esto ocurre, estamos hablando sistema compatible indeterminado, es decir, que va a tener infinitas soluciones porque se eliminaron todas las variables.
Entonces vamos a decir que este conjunto A es linealmente dependiente, de hecho, es linealmente dependiente con, si vemos en esta ecuación, podemos escribir α igual a dos β, es decir, la primer componente se puede escribir como el doble de la segunda.
Eso hace que estos vectores sean, este conjunto sea linealmente dependiente.