Descomposición en Valores Singulares
Hola en este video vamos a ver cómo se puede obtener la descomposición en valores singulares de una matriz.
En primer lugar, veamos qué son los valores singulares.
Supongamos que tenemos una matriz de tamaño m por n, aquí no exigimos que la matriz sea cuadrada puede ser rectangular.
Pero sabemos que si a una matriz cualquiera de tamaño m por n, calculamos su traspuesta y la multiplicamos por esa misma matriz, el resultado va a ser una matriz simétrica, es decir, la matriz de la que partimos podrá no ser simétrica, pero podemos obtener multiplicando su traspuesta por ella misma a una matriz simétrica derivada de esa.
De esa matriz simétrica A traspuesta por A, vamos a calculare sus autovalores o valores propios λ1 hasta λn y los vamos a ordenar en forma decreciente.
Si los ordenamos en forma decreciente y calculamos la raíz de cada uno, la raíz cuadrada de cada uno de esos autovalores, los resultados que obtenemos se conocen como valores singulares, es decir, que van a hacer valores raíz cuadrada de λ1, λ2, λn, perdón, estos son los valores que ordenamos.
Supongamos que están ordenados de esta manera.
Es mayor que λ2, mayor que… hasta mayor o igual que λn y son todos positivos mayores que cero y están ordenados en forma decreciente.
Entonces si calculamos la raíz cuadrada de cada uno de su autovalores estamos obteniendo valores singular se llaman i-ésimos valores singulares si calculo el Σi es el i-ésimo valor singular de la matriz A.
Entonces a una matriz la podemos descomponer en valores singulares o en lo que se conoce como valores singulares.
Supongamos que tenemos una matriz A que parte que pertenece al espacio de las matrices m por n, es decir, no es cuadrada, puede ser rectangular.
Una descomposición en valores singulares de esa matriz es una factorización, quiere decir que a esa matriz la puedo escribir como producto de otras matrices que se van a llamar: U, Σ mayúscula y V traspuesta.
Las tres son matrices, las características que tienen es que la matriz U es una matriz de tamaño m por m, es decir, es cuadrada y tiene, del tamaño de la misma cantidad de filas de A, V también es cuadrada y de tamaño n por n y además, estas dos son matrices ortogonales, van a hacer ambas, cada una matrices ortogonales y Σ es una matriz que va a ser de tamaño, como tiene que cumplirse aquí el producto entre matrices, de
tamaño m por n.
Esta va a ser una matriz diagonal.
Entonces estamos teniendo dos matrices ortogonales y una matriz diagonal.
¿Por qué es interesante descomponer una matriz en su factorización en valores singulares?.
Bueno, en problemas numéricos puede ser que sea muy complicado trabajar con una matriz, entonces la descomponemos en matrices ortogonales ya que esas formas de matrices conservan el módulo de los vectores, siempre van a valer, en realidad vamos a ver que son ortonormales, siempre van a valer uno.
Entonces en problemas de aproximación numérica son muy útiles.
¿Qué forma tiene la matriz Σ?.
Bueno, va a ser una matriz que en primer, una matriz por bloques digamos, donde yo puedo descomponerla u observarla en bloques.
El primer bloque de la matriz va a ser una matriz diagonal, esta matriz D, que contenga en su diagonal principal a los valores singulares Σ1, Σ2 hasta Σr ordenados de mayor a menor y todos los restantes elementos de Σ van a hacer ceros, todos números ceros.
Estos son en realidad bloques de matrices, todos con elementos nulos y Σ va a tener el mismo tamaño que la matriz A original de la que partimos.
U y V, por su parte, U va a ser una matriz que va a estar formado por vectores u1, u2 hasta um.
Se los conoce como vectores singulares izquierdos, mientras que V va a estar formado por vectores v1, v2 hasta vn, que se lo conoce como vectores singulares derechos.
En particular, vamos a encontrar cuanto vale V de forma sencilla, como ya hemos trabajado con los valores propios y vectores propios pero como U además tiene que ser ortogonal y tiene que cumplir con esta regla, vamos a ver que U, lo vamos a encontrar a cada elemento ui de manera que resulte ortogonales a los restantes y que cumpla este requisito vamos a encontrar multiplicando a cada elemento de U… el producto entre la matriz A, cada vector vi y vamos a dividir por cada Σi y de manera de obtener vectores u ortonormales.
Si lo observamos en este ejemplo.
Tenemos una matriz A que no es cuadrada, la voy a transformar en cuadrada o la voy obtener, hacer simétrica haciendo A traspuesta por A.
Yo realice ese cálculo y obtuve esta matriz cuadrada de tamaño en este caso dos por dos, dos, uno, uno, dos.
Ahora con esta matriz, lo que voy a hacer es buscar sus valores propios.
Voy a armar la ecuación característica, voy a resolver el polinomio característico.
Yo realicé esos cálculos y obtuve los valores, dos valores propios λ1 igual a tres y λ2 igual a uno.
Y para obtener los valores singulares, simplemente aplico raíz cuadrada.
Entonces obtendré raíz cuadrada de tres como el primer valor singular y bueno, raíz cuadrado de uno como el segundo.
Ahora la matriz Σ ya la puedo armar, ya se que la matriz Σ va a tener esta forma, va a estar en la diagonal principal los valores singulares y todos los restantes elementos ceros.
Entonces, ya conseguí mi matriz Σ que tiene el mismo tamaño que la matriz A original.
Y ahora tengo que encontrar la matriz V.
Para encontrar la matriz V con los valores propios, voy a buscar vectores propios, es decir, tengo que buscar resolver el sistema de ecuaciones con esta matriz, con la matriz de la ecuación característica, encontrar vectores propios y formar la matriz V, ortonormalizarlos y formar la matriz V, ya que tiene que ser una matriz ortonormal.
Entonces, yo ya realicé esos cálculos y obtuve como un primer vector propio obtuve bueno, uno, uno y menos uno, uno, obtuve como vectores propios.
Lo que hice fue normalizarlos, es decir, los lleve a norma uno y obtuve estos resultados.
Dos vectores propios y ya son ortonormales.
Lo que tengo que hacer ahora es formar la matriz V.
Entonces esa matriz V va a quedar, va a estar determinada por justamente estos vectores propios normalizados uno sobre el raíz de dos, menos uno sobre raíz de dos y uno sobre raíz de dos.
Y ahí tengo mi matriz V que cumple con ser ortogonal y cada vector columna es ortonormal.
Ahora tengo que encontrar, me está faltando la matriz U que tiene que ser ortonormal también y bueno, cumplir con el requisito de factorizar a los demás, factorizar entre los… los demás productos.
Entonces para encontrar a u1, voy a aplicar la fórmula anterior, voy a multiplicar a la matriz A por el primer vector propio que aquí lo escribir como x1 pero este es al que llamé v1 y este al que llamé v2 que forman las columnas de la matriz V, voy a multiplicar a la matriz A por v1 y lo divido por Σ1.
Entonces, ese cálculo lo realice aquí uno sobre raíz de tres por la matriz A, por el primer vector propio y esto me da un resultado de… obtuve dos sobre raíz de seis en este producto, uno sobre raíz de seis y uno sobre raíz de seis.
Y ahí tengo el primer vector que va a formar la matriz u.
Y luego realizó el procedimiento de manera similar para obtener u2.
En este caso, multiplico A ahora por v2 del segundo vector columna y divido en uno que sería el Σ2, el segundo valor singular.
En este caso obtuve el resultado cero, en estos productos de matrices, menos unos sobre raíz de dos y uno sobre raíz de dos.
Por lo que mi matriz u, que ya va ser ortonormal, de acuerdo a la fórmula usé ya voy a obtener una matriz ortonormal, va a ser la matriz, entonces dos sobre raíz de seis, uno sobre raíz de seis y uno sobre raíz de seis.
Y aquí obtendré cero, menos uno sobre raíz de dos y uno sobre raíz de dos.
Ahí tengo mi matriz U, entonces mi matriz ortonormal y se puede verificar que esto se cumple realizando a el producto de U por Σ por V traspuesta para la descomposición.
