Distancia de un Punto a una Recta en el Espacio
Si queremos calcular la distancia que existe entre un punto y una recta en el espacio, debemos de hacer uso de la siguiente fórmula.
Nosotros podríamos definir, suponer que tenemos el punto P, vale, el punto P es el punto desde el cual queremos calcular la distancia hacia una recta r, de acuerdo y la recta r, vamos a suponer que viene definida por con un vector director v, de acuerdo, es el vector director de la recta y por otro lado, pues por un punto.
De esta forma, pues bueno, la distancia… este es el punto de la recta y bueno, P es otro punto.
Entonces la distancia desde el punto P a la recta r se corresponde con el valor absoluto, la norma de el vector resultante de realizar el producto vectorial entre el vector definido QP que es el vector que va desde el punto P hasta el punto Q, producto vectorial con el vector V, vector director de la recta y dividido entre el módulo del vector V.
Luego, esta sería, de acuerdo, la fórmula que nos permite calcular esa distancia entre el punto y la recta, donde pues QP, producto vectorial por V se corresponde con lo que hemos comentado, QP es un vector desde un punto de la recta hasta el punto P, hacemos el producto de vectorial con el vector director de la recta y calculamos el módulo de ese vector y luego el resultado lo dividimos del módulo del vector director
de la recta.
Vamos a ver un ejemplo para ver cómo se calcularía de forma numérica, vale, cómo podemos utilizar esta fórmula.
Para ello simplemente pues bueno, vamos a calcular la distancia que existe entre el punto P definido por uno, menos dos, menos tres y la recta r definida con su ecuación paramétrica de la siguiente manera: x es igual 2 + 2k, y es igual a 1 +k y z es igual a -1 -2k.
De esta forma, pues bueno, simplemente debemos de ir haciendo los cálculos que hemos comentado previamente.
Nosotros queremos calcular la distancia desde, pues bueno, de P a la recta r, vale.
Para ello, pues bueno, únicamente tenemos que calcular la distancia que existe, como hemos dicho, tenemos que calcular ese vector QP que hemos definido antes, Q es el punto de la recta que es el dos, uno, menos uno y por tanto, pues bueno, QP se definirá de la siguiente manera.
Será restar las coordenadas del punto P con las del punto que Q, es decir, uno, menos dos que sería menos uno, menos dos menos uno sería menos tres, menos tres menos menos uno sería menos dos.
Esa sería el vector QP que comentábamos.
Tras esto, pues simplemente deberíamos de calcular el producto vectorial con el vector director de la recta.
El vector director de la recta es el vector dos, uno, menos dos, de acuerdo y por tanto, el producto vectorial de QP por V se corresponde con el resultado del siguiente determinante: i, j, k que es menos uno, menos tres, menos dos, dos, uno, menos dos.Si calculamos el producto vectorial, llegamos al siguiente vector, que es el ocho, menos seis, cinco.
Luego ya tenemos, de acuerdo, ese vector director.
Luego haciendo uso de la fórmula, como comentaba previamente, la fórmula que hemos expuesto previamente, de acuerdo, fijaos.
Ya hemos calculado este QP, ese producto vectorial, pues para calcular la distancia desde el punto a la recta, lo único que nos queda es lo siguiente.
La distancia del punto a la recta, habíamos dicho que era igual al valor absoluto de QP producto vectorial con V, dividido de el módulo del vector, de acuerdo, director.
De esta forma, pues bueno, el módulo del vector que hemos calculado previamente era el vector ocho, menos seis, cinco sería la raíz cuadrada ocho al cuadrado que es sesenta y cuatro, menos seis al cuadrado que sería treinta y seis, y cinco al cuadrado que sería veinticinco dividido entre el módulo del vector V, que es el vector dos, uno, menos dos, que sería la raíz de cuatro más uno más cuatro.
Luego esto sería cuatro más cuatro más uno es nueve, raíz de nueve es tres, tres en el denominador y arriba ciento, raíz de ciento veinticinco, de acuerdo.
Que esto si lo calculamos es tres coma setenta y tres unidades, sería la distancia que existe entre el punto y la recta, donde como habéis podido ver, lo único que tenemos que hacer es calcular ese vector de punto a punto de la recta, después multiplicar producto vectorial con el vector director, calcular los módulos y dividir, de acuerdo.
Esta es la fórmula comentamos previamente y la que os he presentado para calcular esta distancia.