Ecuación General del Plano
Si queremos calcular la ecuación general de un plano, simplemente necesitamos, como para cualquier tipo de representación de un plano, un punto de acuerdo, un punto P que puede estar definido por las coordenadas de de dicho punto a1, a2 y a3 y dos vectores, dos vectores directores del plano, de acuerdo.
Estos dos vectores, pues pueden ser vector U cuyas coordenadas son u1, u2 y u3, y el vector v, que sea v1, v2 y v3.
Teniendo esto en cuenta, pues bueno, nosotros podemos representar el plano de múltiples formas, pero la ecuación general del plano se podría obtener de una forma muy sencilla simplemente resolviendo el siguiente determinante, definido como x menos la coordenada x del punto, y menos la coordenada y del punto, que es a2, z menos la coordenada z el punto que es a3.
En la
segunda columna ponemos el primer vector u1, u2, u3 y en la tercera columna el segundo vector, v1, v2, v3.
Igualamos el determinante a cero y resolvemos esta ecuación.
Llegando una expresión de la siguiente manera, tendremos que la ecuación del plano será Ax +By + Cz + D igual a cero, de acuerdo.
Esta sería la expresión del plano en ecuación general, donde como podemos ver pues aparecen tres componentes que acompañan a la x, a la y y a la z, tres coeficientes que serán las coordenadas del vector n que se corresponde, de acuerdo, ese A, B, C es el vector n o vector normal del plano.
Este vector normal del plano es un vector que es perpendicular al plano, de acuerdo.
Otra forma de calcularlo, este vector n, también se puede definir calculando el producto vectorial de el vector u y el vector v, vectores directores que hemos mencionado previamente, de acuerdo.
Pero bueno mediante ese determinante, pues tenemos otra forma también bastante sencilla de obtener esa expresión de la ecuación general del plano.
Luego hemos podido ver cómo podemos a partir de un punto y dos vectores definir el plano de esta forma, aunque habrían otras múltiples formas de representarlo como podría ser, pues bueno, la ecuación, por ejemplo, vectorial donde simplemente tendríamos que utilizar en lugar de uno, dos parámetros, de acuerdo.
En este caso, sería x, y, z es igual al punto, de acuerdo.
Ponemos a1, a2 a3 que eran las coordenadas del punto más λ, un primer parámetro por las coordenadas del vector u1, u2 y u3, es λ por vector u, más α por el vector v, con sus coordenadas v1, v2 y v3, vale.
Aquí tendríamos bueno bueno vector u,vector v y el punto P, de acuerdo.
Esta sería otra de las formas que tenemos de representar el plano aunque generalmente se utiliza la ecuación general y se hace bastante uso del vector normal.