Ejercicio Resuelto Ángulo Entre Dos Rectas

Para calcular el ángulo que forman las dos rectas:

$r:\left\{\begin{array}{l} x=2-3 t \\ y=1+4 t \end{array} \quad s: 2 x-5 y+7=0\right.$

Primero debemos hallar el vector director de cada recta. La recta r está expresada en forma de ecuación paramétrica, por lo que las componentes del vector director son:

$\vec{r}=(-3,4)$

Y la recta s está definida en forma de ecuación implícita, por tanto, las coordenadas de su vector director son:

$\vec{s}=(-B, A)=(5,2)$

Ahora que ya sabemos el vector director de cada recta, podemos utilizar la fórmula del ángulo entre dos rectas:

$\cos (\alpha)=\dfrac{|\vec{r} \cdot \vec{s}|}{|\vec{r}| \cdot|\vec{s}|}$

Así que determinamos el módulo de los dos vectores:

$\begin{aligned} &|\vec{r}|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=5 \\ &|\vec{s}|=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{29} \end{aligned}$

Hacemos las operaciones vectoriales de la fórmula del ángulo:

$\cos (\alpha)=\dfrac{|\vec{r} \cdot \vec{s}|}{|\vec{r}| \cdot|\vec{s}|}$

$\begin{gathered} \cos (\alpha)=\frac{|(-3,4) \cdot(5,2)|}{5 \cdot \sqrt{29}}=\frac{|-3 \cdot 5+4 \cdot 2|}{26,93}=\frac{7}{26,93}=0,26 \end{gathered}$

Por último, calculamos el ángulo que forman las dos rectas con la inversa del coseno:

$\alpha=\cos ^{-1}(0,26)={7 4}, {9 3} {3}^{\circ}$

Respuesta esperada: 74,93º.