Ejercicio Resuelto Aproximaciones por Mínimos Cuadrados

El conjunto de soluciones por mínimos cuadrados de $A \cdot{u}={y}$ coincide con el conjunto no vacío de soluciones de las ecuaciones normales de $A^{T} A \cdot{u}=A^{T} \cdot{y}$ .

Se calcula entonces:

$\begin{aligned} &A^{T} A=\left[\begin{array}{lll} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} 17 & 1 \\ 1 & 5 \end{array}\right] \\ &A^{T} {y}=\left[\begin{array}{lll} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ 11 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 19 \\ 11 \end{array}\right] \end{aligned}$

Entonces la ecuación $(A^{T} A)\cdot {u}=A^{T} \cdot {y}$ se corresponde con:

$\left[\begin{array}{rr} 17 & 1 \\ 1 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 19 \\ 11 \end{array}\right]$

Para resolver esta ecuación calculamos la matriz inversa:

$\left(A^{T} A\right)^{-1}=\dfrac{1}{84}\left[\begin{array}{rr} 5 & -1 \\ -1 & 17 \end{array}\right]$

Y por tanto se tiene que:

$\displaystyle {{u}} =\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T} \cdot{y} =\frac{1}{84}\left[\begin{array}{rr} 5 & -1 \\ -1 & 17 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 19 \\ 11 \end{array}\right]=\frac{1}{84}\left[\begin{array}{r} 84 \\ 168 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]$

Respuesta esperada: ${{u}}= \left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]$