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Ejercicio Resuelto Cálculo de Matriz Inversa Utilizando la Matriz Adjunta

Invierte la siguiente matriz por el método de la matriz adjunta:


A=(232141213)A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{array}\right)

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La fórmula de la matriz inversa utilizando la matriz adjunta es:


A1=1A(Adj(A))tA^{-1}=\dfrac{1}{|A|} \cdot(\operatorname{Adj}(A))^{t}


En primer lugar resolvemos el determinante de la matriz con la regla de Sarrus:


A=232141213=24+62+162+9=3|A|=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{array}\right|=-24+6-2+16-2+9=3


El determinante es diferente de 0, por lo tanto, sí se puede invertir la matriz.


Una vez hemos resuelto el determinante, hallamos la matriz traspuesta de A


At=(212341213)A^{t}=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \\ -2 & 1 & -3 \end{array}\right) 


Tras esto se cálcula la matriz adjunta de esta matriz, donde se tiene:


Adjunto de 2=(1)1+14113=1(13)=132=(-1)^{1+1} \cdot\left|\begin{array}{cc}4 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right|=1 \cdot(-13)=-13


Adjunto de 1=(1)1+23123=1(7)=71=(-1)^{1+2} \cdot\left|\begin{array}{cc}3 & 1 \\ -2 & -3\end{array}\right|=-1 \cdot(-7)=7


Adjunto de 2=(1)1+33421=1(11)=112=(-1)^{1+3} \cdot\left|\begin{array}{ll}3 & 4 \\ -2 & 1\end{array}\right|=1 \cdot(11)=11


Adjunto de 3=(1)2+11213=1(5)=53=(-1)^{2+1} \cdot\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 1 & -3\end{array}\right|=-1 \cdot(-5)=5


Adjunto de 4=(1)2+22223=1(2)=24=(-1)^{2+2} \cdot\left|\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 2 & -3\end{array}\right|=1 \cdot(-2)=-2


Adjunto de 1=(1)2+32121=1(4)=41=(-1)^{2+3} \cdot\left|\begin{array}{ll}2 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right|=-1 \cdot(4)=-4


Adjunto de 2=(1)3+11241=17=7-2=(-1)^{3+1} \cdot\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|=1 \cdot -7=-7


Adjunto de 1=(1)3+22231=14=41=(-1)^{3+2} \cdot\left|\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 3 & 1\end{array}\right|=-1 \cdot -4=4


Adjunto de 3=(1)3+32314=15=5-3=(-1)^{3+3} \cdot\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 4\end{array}\right|=1 \cdot 5=5



Una vez hemos calculado el determinante de la matriz y su matriz adjunta, sustituimos sus valores en la fórmula:


A1=13(13711524745)\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{3} \cdot\left(\begin{array}{ccc} -13 & 7 & 11 \\ 5 & -2 & -4 \\ -7 & 4 & 5 \end{array}\right)


Y la matriz inversa de A es:


A1=(13/37/311/35/32/34/37/34/35/3)A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} -13 / 3 & 7 / 3 & 11 / 3 \\ 5 / 3 & -2 / 3 & -4 / 3 \\ -7 / 3 & 4 / 3 & 5 / 3 \end{array}\right)



Respuesta esperada: A1=(13/37/311/35/32/34/37/34/35/3)A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} -13 / 3 & 7 / 3 & 11 / 3 \\ 5 / 3 & -2 / 3 & -4 / 3 \\ -7 / 3 & 4 / 3 & 5 / 3 \end{array}\right)

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