Ejercicio Resuelto Cambio de Base del Espacio Vectorial

Con la información proporcionada, aplicamos la función de coordenadas determinada mediante C a x. Como la función de coordenadas es una transformación lineal,

${[{x}]_{{C}} } =\left[3 {b}_{1}+{b}_{2}\right]_{\mathcal{C}}=3\left[{b}_{1}\right]_{{C}}+\left[{b}_{2}\right]_{{C}}$

Esta ecuación vectorial puede escribirse como una ecuación matricial, usando los vectores de la combinación lineal como las columnas de la matriz cambio de base:

$[{x}]_{{C}}=\left[\begin{array}{ll} {\left[{b}_{1}\right]_{{C}}} & {\left[{b}_{2}\right]_{\mathcal{C}}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right]$

De esta fórmula se obtiene $[{x}]_c$ , una vez que se conocen las columnas de la matriz cambio de base. Como se puede ver en el enunciado del problema, estas columnas se corresponden con:

$\left[{b}_{1}\right]_{c}=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right] \quad \text { y } \quad\left[{b}_{2}\right]_{c}=\left[\begin{array}{r} -6 \\ 1 \end{array}\right]$

De donde se deduce que la matriz cambio de base queda:

$P_{CB}=\left[\begin{array}{rr} 4 & -6 \\ 1 & 1 \end{array}\right]$

Por lo tanto:

$[{x}]_{{C}}= P_{CB} \cdot [{x}]_{{B}}$

$[{x}]_{{C}}=\left[\begin{array}{rr} 4 & -6 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array}\right]$

Respuesta esperada: $[{x}]_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array}\right]$