Ejercicio Resuelto Clasificación Forma Cuadrática - Menores Principales

a) $Q(x, y, z)=3 r^{2}+y^{2}+2 r z+4 x y$

La expresión matricial de la forma cuadrática es:

$Q(x, y, z)=\left(\begin{array}{lll} x & y & z \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)$

Los menores principales se corresponden con

$\left|A_{1}\right|=3 ;\left|A_{2}\right|=\left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right|=-1 ;|A|=-1$

Luego la forma cuadrática es indefinida.

b) $Q(x, y, z)=r^{2}+2 y^{2}+z^{2}-2 r y-2 y z$

La expresión matricial de la forma cuadrática es:

$Q(x, y, z)=\left(\begin{array}{lll} x & y & z \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)$

Los menores principales se corresponden con

$\left|A_{1}\right|=1; \left|A_{2}\right|=\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=1 ;|A|=0$

Luego la forma cuadrática es semidefinida positiva.

Respuesta esperada: a) Indefinida b) Semidefinida positiva.