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Ejercicio Resuelto Clasificación Forma Cuadrática - Valores Propios

Clasifica la siguiente forma cuadrática, calculando sus valores propios.


Q(x,y,z)=x2+4y2++4xy+2xz+4yz3z2Q(x, y, z)=x^{2}+4 y^{2}++4 x y+2 x z+4 y z-3 z^{2}

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La expresión matricial de la forma cuadrática es


Q(x,y,z)=(xyz)(121242123)(xyz)Q(x, y, z)=\left(\begin{array}{lll} x & y & z \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)


Calculando sus valores propios se tiene que estos son:


p(λ)=1λ2124λ2123λ=λ(λ2+2λ+20)=0p(\lambda)=\left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 4-\lambda & 2 \\ 1 & 2 & -3-\lambda \end{array}\right|=\lambda(-\lambda^{2}+2 \lambda+20)=0


p(λ)={λ=0λ=1+21>0λ=121<0p(\lambda)=\left\{\begin{array}{c} \lambda=0 \\ \lambda=1+\sqrt{21}>0 \\ \lambda=1-\sqrt{21}<0 \end{array}\right.


Y por lo tanto, observando sus signos se deduce que la forma cuadrática es indefinida.


Respuesta esperada: Forma cuadrática indefinida.

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