Ejercicio Resuelto Coordenadas de un Vector Respecto a una Base

Dados los siguientes vectores:

${v}_{1}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 2\end{array}\right], {v}_{2}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right], {x}=\left[\begin{array}{r}3 \\ 12 \\ 7\end{array}\right]$

Si x está en $H$, entonces la siguiente ecuación vectorial es consistente:

$\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 = x$

$\alpha_{1}\left[\begin{array}{l} 3 \\ 6 \\ 2 \end{array}\right]+\alpha_{2}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 3 \\ 12 \\ 7 \end{array}\right]$

Los escalares $\alpha_{1}$ y $\alpha_{2}$, si existen, son las coordenadas de x relativas a B. Mediante operaciones por fila, se obtiene

$\left[\begin{array}{rrr} 3 & -1 & 3 \\ 6 & 0 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$

Entonces $\alpha_{1}=2$$\alpha_{2}=3$ y $[{x}]_{B}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right]$ .

Respuesta esperada: $\alpha_{1}=2, \alpha_{2}=3, [{x}]_{B}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right]$