Ejercicio Resuelto Determinación de Subespacios Propios

Partiendo de la matriz A y de un valor de $:\lambda=2$

$A=\left[\begin{array}{rrr}4 & -1 & 6 \\ 2 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 8\end{array}\right]$

En primer lugar, vamos a calcular la ecuación característica, $A-2 \cdot I$ :

$A-2\cdot I=\left[\begin{array}{rrr} 4 & -1 & 6 \\ 2 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 8 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 2 & -1 & 6 \\ 2 & -1 & 6 \\ 2 & -1 & 6 \end{array}\right]$

Dado que las tres filas de la matriz resultante son iguales, al reducir por filas la matriz aumentada asociada a $(A-2 \cdot I) \cdot x=0$, llegamos a la siguiente matriz:

$\left[\begin{array}{rrrr} 2 & -1 & 6 & 0 \\ 2 & -1 & 6 & 0 \\ 2 & -1 & 6 & 0 \end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrrr} 2 & -1 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$

Así pues, como la ecuación tiene variables libres, se deduce que 2 es valor propio.

La solución general de dicho sistema es:

$\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=x_{2}\left[\begin{array}{c} 1 / 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+x_{3}\left[\begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]$

Por tanto, el espacio propio, es un subespacio bidimensional $\mathbb{R}^{3}$ .

Una base de este sería:

$\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]\right\}$

Respuesta esperada: $\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]\right\}$