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Ejercicio Resuelto Diagonalización de Matrices 2

Diagonalice la siguiente matriz, si es posible.


A=[243463331]A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 3 \\ -4 & -6 & -3 \\ 3 & 3 & 1 \end{array}\right]

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Para diagonalizar la matriz A:


A=[243463331]A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 3 \\ -4 & -6 & -3 \\ 3 & 3 & 1 \end{array}\right]


Debemos partir de la ecuación característica de A, que se corresponde con:


det(AλI)=λ33λ2+4=(λ1)(λ+2)2\operatorname{det}(A-\lambda \cdot I)=-\lambda^{3}-3 \lambda^{2}+4=-(\lambda-1)(\lambda+2)^{2}


Resolviendo, obtenemos que los valores propios son λ1=1;λ2=λ3=2\lambda_1=1; \lambda_2=\lambda_3=-2 .


Sin embargo, al buscar los vectores propios, se encuentra que cada uno de los espacios propios tiene sólo una dimensión:


Para λ=1\lambda=1 :


v1=[111]v_{1}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right]


Para λ=2\lambda=-2


v2=[110]v_{2}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]


No existen otros valores propios, y cada vector propio de A es un múltiplo ya sea de v1v_1 o de v2v_2 .


Por lo tanto, es imposible construir una base de R3\mathbb{R}^{3} usando vectores propios de A, y por ende esta matriz no es diagonalizable.


Respuesta esperada: La matriz A no es diagonalizable.

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