La matriz simétrica A se corresponde con:
A = [ 6 − 2 − 1 − 2 6 − 1 − 1 − 1 5 ] A=\left[\begin{array}{rrr}6 & -2 & -1 \\ -2 & 6 & -1 \\ -1 & -1 & 5\end{array}\right] A = ⎣ ⎡ 6 − 2 − 1 − 2 6 − 1 − 1 − 1 5 ⎦ ⎤
La ecuación característica de A es:
0 = − λ 3 + 17 λ 2 − 90 λ + 144 = − ( λ − 8 ) ( λ − 6 ) ( λ − 3 ) 0=-\lambda^{3}+17 \lambda^{2}-90 \lambda+144=-(\lambda-8)(\lambda-6)(\lambda-3) 0 = − λ 3 + 1 7 λ 2 − 9 0 λ + 1 4 4 = − ( λ − 8 ) ( λ − 6 ) ( λ − 3 )
Los cálculos estándar producen una base para cada espacio propio.
λ = 8 : v 1 = [ − 1 1 0 ] ; λ = 6 : v 2 = [ − 1 − 1 2 ] ; λ = 3 : v 3 = [ 1 1 1 ] \lambda=8: {v}_{1}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] ; \quad \lambda=6: {v}_{2}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right] ; \quad \lambda=3: {v}_{3}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] λ = 8 : v 1 = ⎣ ⎡ − 1 1 0 ⎦ ⎤ ; λ = 6 : v 2 = ⎣ ⎡ − 1 − 1 2 ⎦ ⎤ ; λ = 3 : v 3 = ⎣ ⎡ 1 1 1 ⎦ ⎤
Estos tres vectores conforman una base para R 3 \mathbb{R}^{3} R 3 , y pueden usarse como columnas para una matriz P que diagonalice A.
Sin embargo, puede advertirse fácilmente que los vectores anteriores son un conjunto ortogonal , y P resultará más útil si sus columnas son ortonormales .
Normalizando
u 1 = [ − 1 / 2 1 / 2 0 ] , u 2 = [ − 1 / 6 − 1 / 6 2 / 6 ] , u 3 = [ 1 / 3 1 / 3 1 / 3 ] {u}_{1}=\left[\begin{array}{c} -1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \\ 0 \end{array}\right], \quad {u}_{2}=\left[\begin{array}{r} -1 / \sqrt{6} \\ -1 / \sqrt{6} \\ 2 / \sqrt{6} \end{array}\right], \quad {u}_{3}=\left[\begin{array}{c} 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3} \end{array}\right] u 1 = ⎣ ⎡ − 1 / 2 1 / 2 0 ⎦ ⎤ , u 2 = ⎣ ⎡ − 1 / 6 − 1 / 6 2 / 6 ⎦ ⎤ , u 3 = ⎣ ⎡ 1 / 3 1 / 3 1 / 3 ⎦ ⎤
Sean
P = [ − 1 / 2 − 1 / 6 1 / 3 1 / 2 − 1 / 6 1 / 3 0 2 / 6 1 / 3 ] , D = [ 8 0 0 0 6 0 0 0 3 ] P=\left[\begin{array}{crc} -1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \\ 0 & 2 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{ccc} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right] P = ⎣ ⎡ − 1 / 2 1 / 2 0 − 1 / 6 − 1 / 6 2 / 6 1 / 3 1 / 3 1 / 3 ⎦ ⎤ , D = ⎣ ⎡ 8 0 0 0 6 0 0 0 3 ⎦ ⎤
Entonces A = P D P − 1 A=P D P^{-1} A = P D P − 1 . Pero esta vez, dado que P es cuadrada y tiene columnas ortonormales , P es una matriz ortogonal y P − 1 P^{-1} P − 1 es simplemente P T P^{T} P T por ser matriz simétrica .
Respuesta esperada: P = [ − 1 / 2 − 1 / 6 1 / 3 1 / 2 − 1 / 6 1 / 3 0 2 / 6 1 / 3 ] , D = [ 8 0 0 0 6 0 0 0 3 ] P=\left[\begin{array}{crc} -1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \\ 0 & 2 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{ccc} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right] P = ⎣ ⎡ − 1 / 2 1 / 2 0 − 1 / 6 − 1 / 6 2 / 6 1 / 3 1 / 3 1 / 3 ⎦ ⎤ , D = ⎣ ⎡ 8 0 0 0 6 0 0 0 3 ⎦ ⎤
