Ejercicio Resuelto Ecuación Vectorial, Paramétrica y Cartesiana de una Recta

Teniendo un punto $P=(-1,3)$ y el vector director de la recta $\vec{v}=(2,5)$:

La ecuación vectorial se corresponderá con $(x,y) = P + k \vec v$ , en este caso será:

$(x, y)=(-1,3)+k \cdot(2,5)$

Reescribiendo cada uno de las componentes por separado se llega a la ecuación paramétrica:

$\left\{\begin{array}{l} x=-1+2 k \\ y=3+5 k \end{array}\right.$

Por último, para hallar la ecuación cartesiana, podemos despejar en ambas ecuaciones de la ecuación paramétrica el valor de k:

$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x+1}{2}= k \\ \dfrac{y-3}{5}= k \end{array}\right.$

E igualándolas y despejando el valor de y, se llega a que la ecuación cartesiana se corresponde con:

$\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-3}{5} \Rightarrow 5(x+1)=2(y-3)$

$y = \dfrac{5x + 11}{2}$

Respuesta esperada: Ecuación vectorial: $(x, y)=(-1,3)+k \cdot(2,5)$ ; Ecuación paramétrica:$\left\{\begin{array}{l} x=-1+2 k \\ y=3+5 k \end{array}\right.$ y Ecuación cartesiana: $y = \dfrac{5x + 11}{2}$.