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Ejercicio Resuelto Ecuaciones Matriciales

Resolver la siguiente ecuación matricial:


(0120)X(1002)=(1204)\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \cdot X \cdot\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{array}\right)

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Sean las matrices


A=(0120)B=(1002)C=(1204)\begin{aligned} &A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \\ &B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \\ &C=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{array}\right) \end{aligned}


La ecuación que tenemos es


AXB=CA \cdot X \cdot B=C


Si las matrices A y B son invertibles (regulares), multiplicamos por la inversa de A para despejar la incógnita:


A1AXB=A1CXB=A1C\begin{array}{r} A^{-1} \cdot A \cdot X \cdot B=A^{-1} \cdot C \\ X \cdot B=A^{-1} \cdot C \end{array}


Multiplicamos también por la inversa de B:


XBB1=A1CB1X=A1CB1\begin{array}{r} X \cdot B \cdot B^{-1}=A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1} \\ X=A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1} \end{array}


Ahora debemos calcular las inversas de A y de B, que son:


A1=(01/210)B1=(1001/2)\begin{aligned} &A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 / 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \\ &B^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 / 2 \end{array}\right) \end{aligned}


Y deducimos que la incognita de la ecuación se corresponde con:


X=A1CB1=(01/210)(1204)B1=(0212)(1001/2)=(0111)\begin{aligned} &X=A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 / 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{array}\right) \cdot B^{-1}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 / 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \end{aligned}


Por tanto, la solución es


X=(0111)X=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)


Respuesta esperada: X=(0111)X=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)

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