Ejercicio Resuelto Formas de Representación de Números Complejos

Sabiendo que en la forma polar, los números complejos se representan como:

$z=\left|z\right|_{\theta^{\circ}}$

Mientras que en la forma trigonométrica, se representan como:

$z = \left|z\right|( \cos(\theta^{\circ}) + i\sin(\theta^{\circ}))$

En ambas transformaciones es necesario conocer el módulo del numero complejo y el ángulo, estos se calculan mediante las siguientes fórmulas:

$\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

$\theta = \arctg(\dfrac{b}{a})$

Para el caso de $z_{1}=1+\sqrt{3} i$ se tiene que su expresión en forma polar se corresponde con:

$z_{1}=1+\sqrt{3} i \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \left|z_{1}\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4}=2 \\ \operatorname{tg} \theta=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3} \Rightarrow \theta=\operatorname{arctg} \sqrt{3} \Rightarrow \theta=60^{\circ} \end{array}\right\}$

$z_{1}=2_{60^{\circ}}$

Para el caso de $z_{2}=-2+2 \sqrt{3} \mathrm{i}$ se tiene que su expresión en forma polar se corresponde con:

$z_{2}=-2+2 \sqrt{3} i \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \left|z_{2}\right|=\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}}=\sqrt{(-2)^{2}+(2 \sqrt{3})^{2}}=\sqrt{16}=4 \\ \operatorname{tg} \theta=\frac{2 \sqrt{3}}{-2}=-\sqrt{3} \Rightarrow \theta=\operatorname{arctg}-\sqrt{3} \Rightarrow \theta=120^{\circ} \end{array}\right\}$

$z_{2}=4_{120^{\circ}}$

La forma trigonométrica de ambos números se corresponde con:

$z_1 = 2( \cos( 60^{\circ}) + i\sin( 60^{\circ}))$

$z_2 = 4( \cos(120^{\circ}) + i\sin(120^{\circ}))$

Respuesta esperada:

Forma polar: $z_{1}=2_{60^{\circ}}$ ; $z_{2}=4_{120^{\circ}}$

Forma trigonométrica: $z_1 = 2( \cos( 60^{\circ}) + i\sin( 60^{\circ}))$; $z_2 = 4( \cos(120^{\circ}) + i\sin(120^{\circ}))$