Ejercicio Resuelto Inversa de una Matriz

Para calcular la matriz inversa de A, en primer lugar, colocamos en una misma matriz, la matriz A en la parte izquierda y la matriz identidad en la parte derecha:

$(A \mid I)$

Y nos queda:

$\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

Ahora vamos a empezar con las operaciones elementales entre las filas. Recuerda que tenemos que conseguir que en la parte izquierda se nos quede la matriz identidad.

Lo primero que queremos conseguir es que los elementos que estén por debajo del 1, en esa primera columna sean 0, es decir, obtener un vector canónico.

El tercer elemento ya es un 0 , pero el segundo no. Para conseguirlo voy a sumarle la fila 1 a la fila 2 y el resultado lo voy a dejar en la fila 2:

$F_{1}+F_{2} \rightarrow F_{2}$

Las filas 1 y 3 se quedan igual. La matriz que nos queda es:

$\left(\begin{array}{lll|lll} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

Ya tenemos la primera columna lista. Seguimos con la segunda columna.

Ahora, tenemos que conseguir que el segundo elemento de la segunda columna sea un 1, para ello intercambiamos la fila 2 por la fila 3 :

$F_{2} \rightleftarrows F_{3}$

Y nos queda:

$\left(\begin{array}{lll|lll} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$

Lo siguiente que tenemos que conseguir es que, tanto el primer elemento como el tercer elemento de la segunda columna, sean 0.

El primer elemento ya es un 0, por lo que no tenemos que hacer nada. Para conseguir que el 2 sea un 0, a la fila 3 le voy a restar dos veces la fila 2:

$F_{3}-2 . F_{2} \rightarrow F_{3}$

Nos queda:

$\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$

Ya tenemos 2 columnas como las de la matriz identidad. Vamos a por la tercera columna. Tenemos que conseguir que el tercer elemento de la tercera columna sea un 1.

Tenemos un -1, por lo que para conseguir un 1 , voy a multiplicar la fila 3 por -1:

$(-1) \cdot F_{3} \rightarrow F_{3}$

Y nos queda:

$\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 2 \end{array}\right)$

El siguiente paso es conseguir que los elementos que quedan por encima del 1, en la tercera columna, sean 0. El primer elemento ya es un 0 y para conseguir que el segundo elemento sea un 0, a la fila 2 le voy a restar 2 veces la fila 3 y el resultado lo voy a dejar en la fila 2:

$F_{2}-2 \cdot F_{3} \rightarrow F_{2}$

Nos queda:

$\left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 2 \end{array}\right)$

Respuesta esperada: $\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right)$