Ejercicio Resuelto Núcleo de una Transformación

Si empleamos la expresión matricial de f, sabemos que la imagen de la transformación se corresponde con:

$f((a, b, c, d)) =(a b c d)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1 \\ x \\ x^2 \end{array}\right) =(a+2 b-c+2 d)+(-4 b-2 d) x+(-a+b-c-2 d) x^2$

Entonces, se tiene que el núcleo de la transformación se corresponderá con:

$\operatorname{ker} f =\left\{(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4 \mid f((a, b, c, d))=0\right\}$

$\operatorname{ker} f=\left\{(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4 \mid(a+2 b-c+2 d)+(-4 b-2 d) x+(-a+b-c-2 d) x^2=0\right\}$

$\operatorname{ker} f=\left\{(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4 \mid a+2 b-c+2 d=-4 b-2 d=-a+b-c-2 d=0\right\}$

$\operatorname{ker} f=\left\{\left(\frac{7}{2} b, b, \frac{3}{2} b,-2 b\right) \mid b \in \mathbb{R}\right\}$

Respuesta esperada: $ker f =\left\{\left(\frac{7}{2} b, b, \frac{3}{2} b,-2 b\right) \mid b \in \mathbb{R}\right\}$