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Ejercicio Resuelto Operaciones con Números Complejos - Forma Polar

Realiza las siguientes operaciones con números complejos en forma polar

a) 24531352_{45^{\circ}} \cdot 3_{135^{\circ}}


b) 9120350\dfrac{9_{120^{\circ}}}{3_{50^{\circ}}}


c) (530)3\left(5_{30^{\circ}}\right)^{3}

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a)24531352_{45^{\circ}} \cdot 3_{135^{\circ}}

Para multiplicar dos números complejos en forma polar, se multiplican los módulos y se suman los argumentos:


r1α1.r2α2=(r1.r2)(α1+α2)r1_{\alpha_1} . r 2_{\alpha_2}=(r 1 . r 2)_{(\alpha_1+\alpha_2)}


Por lo tanto:


2453135=(2.3)(45+135)=61802_{45^{\circ}} \cdot 3_{135^{\circ}}=(2.3)_{\left(45^{\circ}+135^{\circ})\right.}=6_{180^{\circ}}


b) 9120350\dfrac{9_{120^{\circ}}}{3_{50^{\circ}}}


Para dividir dos números en forma polar, se divididen sus módulos y se restan sus argumentos:


r1α1r2α2=(r1r2)(α1α2)\dfrac{r1_{\alpha_1}}{r2_{\alpha_2}}=\left(\dfrac{r1}{r 2}\right)_{(\alpha_1-\alpha_2)}


Por lo tanto:


9120350=(93)(12050)=370\dfrac{9_{120^{\circ}}}{3_{50^{\circ}}}=\left(\dfrac{9}{3}\right)_{\left(120^{\circ}-50^{\circ})\right.}=3_{70^{\circ}}


c) (530)3\left(5_{30^{\circ}}\right)^{3}

Cuando tenemos un número complejo en forma polar elevado a un exponente, el módulo queda elevado al exponente y el argumento queda multiplicado por el exponente:


(rα)n=rα.nn\left(r_{\alpha}\right)^{n}=r_{\alpha . n}^{n}


En este caso, elevamos el módulo al cubo, multiplicamos el argumento por 3 y operamos:


(530)3=5330.3=12590\left(5_{30^{\circ}}\right)^{3}=5^{3}{ }_{30^{\circ} .3}=125_{90^{\circ}}


Respuesta esperada: a) 61806_{180^{\circ}} ; b) 370 3_{70^{\circ}} ; c) 12590 125_{90^{\circ}}

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