Ejercicio Resuelto Plano Definido por Tres Puntos No Alineados

Sabemos que un plano queda determinado si conocemos tres puntos que estén contenidos en él.

Dados los puntos $A (3,2,-1)$ , $ B(0,-2,5)$ y $C(-2,0,1)$ en primer lugar, consideraremos uno de ellos como $P_0$ , es decir, como un punto que pertenece al plano y con los otros dos formamos los vectores directores.

Vamos a dejar el punto $A(3,2,-1)$ , como el punto que pertenece al plano. El primer vector director lo calcularemos como un vector con origen en A y extremo en B:

$\vec{u}=\overrightarrow{A B}=(0-3,-2-2,5-(-1))=(-3,-4,6)$

El segundo vector director, tiene origen en el punto A y extremo en el punto C:

$\vec{v}=\overrightarrow{A C}=(-2-3,0-2,1-(-1))=(-5,-2,2)$

Una vez tenemos el punto y los dos vectores directores, obtenemos las ecuaciones paramétricas del plano.

Las ecuaciones paramétricas las obtenemos sustituyendo los valores de las coordenadas del punto y de los vectores directores:

$\left\{\begin{array}{l} x=3-3 t-5s \\ y=2-4 t-2s \\ z=1+6 t+2s \end{array}\right.$

Respuesta esperada: $\left\{\begin{array}{l} x=3-3 t-5s \\ y=2-4 t-2s \\ z=1+6 t+2s \end{array}\right.$