Ejercicio Resuelto Plano Paralelo a Dos Vectores Pasando por un Punto

Se observa que el plano pedido estará determinado por el punto $P(0,3,2)$ y por las rectas dadas:

$\displaystyle r_{1}: \frac{x}{-1}=\frac{y+3}{2}=z+1, \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{c} x-z=5 \\ 2 x+3 y-z=0 \end{array}\right.$

Los vectores de dirección de las rectas dadas serán $\vec{v}_{r 1}=(-1,2,1)$ y $\vec{v}_{r 2}$.

Para obtener $\vec{v}_{r 2}$, se expresa $r_{2}$ en forma paramétrica. Para ello basta con despejar x en la primera ecuación y sustituir en la segunda:

$\displaystyle \begin{gathered} r_{2}:\left\{\begin{array}{c} x-z=5 \\ 2 x+3 y-z=0 \end{array} \Leftrightarrow r_{2}:\left\{\begin{array}{c} x=5+z \\ 2(5+z)+3 y-z=0 \end{array} \Rightarrow r_{2}:\left\{\begin{array}{c} x=5+z \\ 3 y=-z-10 \\ z=z \end{array}\right.\right.\right. \\ r_{2}:\left\{\begin{array}{c} x=5+z \\ y=-\frac{10}{3}-\frac{1}{3} z \\ z=z \end{array} \Rightarrow r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=5+3 t \\ y=-\frac{10}{3}-t \\ z=3 t \end{array}\right.\right. \end{gathered}$

Por lo tanto, $\vec{v}_{r 2}=(3,-1,3)$.

La ecuación del plano será:

$\pi:\left\{\begin{array}{l} x=-\lambda+3 \mu \\ y=3+2 \lambda-\mu \\ z=2+\lambda+3 \mu \end{array} \Leftrightarrow \pi:\left|\begin{array}{ccc} x & -1 & 3 \\ y-3 & 2 & -1 \\ z-2 & 1 & 3 \end{array}\right|=0 \Leftrightarrow \pi: 7 x+6(y-3)-5(z-2)=0 \Rightarrow\right.$

$\pi: 7 x+6 y-5 z-8=0$

Respuesta esperada: $\pi: 7 x+6 y-5 z-8=0$