Ejercicio Resuelto Plano Perpendicular a un Vector Pasando por un Punto

Partiendo de los valores para el punto y la recta dados en el enunciado:

$r:\left\{\begin{array}{l} x=3-2 t \\ y=-1+4 t \\ z=1+t \end{array} \quad P(1,3,-2)\right.$

Para hallar la ecuación del plano, en primer lugar debemos encontrar el vector normal al plano en cuestión. Como la recta r es perpendicular al plano, su vector normal coincidirá con el vector director de la recta.

En este caso, la recta r está en forma de ecuaciones paramétricas, por lo que las componentes de su vector director son los términos de delante del parámetro t :

$\vec{r}=(-2,4,1)$

De manera que el vector normal al plano será $\vec{n}=(-2,4,1)$

Por tanto, la ecuación implícita del plano será de la siguiente forma:

$\pi:-2 x+4 y+1 z+D=0$

Así que solo nos queda determinar el valor del coeficiente D. Para ello, sustituimos las coordenadas del punto $P(1,3,-2)$ que el enunciado nos dice que pertenece al plano en su ecuación:

$\begin{gathered} -2+12-2+D=0 \\ D=-8 \end{gathered}$

En definitiva, la ecuación implícita del plano es:

$\pi:-2 x+4 y+z-8=0$

Respuesta esperada: $\pi:-2 x+4 y+z-8=0$