Ejercicio Resuelto Posición Relativa de Dos Planos 1

Para estudiar la posición de los planos dados:

$\left\{\begin{array}{l} x+y-5 z=-4 \\ 3 x-y+15 z=1 \end{array}\right.$

Se tiene que la matriz de coeficientes y la matriz ampliada se corresponden con:

$M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -5 \\ 3 & -1 & 15 \end{array}\right) \quad M^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -5 & -4 \\ 3 & -1 & 15 & 1 \end{array}\right)$

Como el siguiente determinante no es nulo

$\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{array}\right| \neq 0$

El rango de ambas matrices se corresponde con

$R(M)=2$

$R(M^\prime)=2$

Como él sistema es compatible indeterminado, los dos planos son secantes, es decir, se cortan en la recta:

$\left\{\begin{array}{l} x+y=-4+5 z \\ 3 x-y=1-15 z \end{array}\right.$

La cual puede reescribirse en forma paramétrica de la siguiente manera:

$\begin{aligned} &x+y=-4+5 \lambda \\ &\frac{3 x-y=1-15 \lambda}{4 x=-3-10 \lambda} \end{aligned}$ $\begin{gathered} -3 x-3 y=12-15 \lambda \\ \frac{3 x-y=1-15 \lambda}{-4 y=13-30 x} \end{gathered}$

Es decir:

$\displaystyle r=\left\{\begin{array}{c} x=\dfrac{-3-10 \lambda}{4} \\ y=\dfrac{-13+30 \lambda}{4} \\ z=\lambda \end{array}\right.$

Respuesta esperada: Los planos son secantes. $r=\left\{\begin{array}{c} x=\dfrac{-3-10 \lambda}{4} \\ y=\dfrac{-13+30 \lambda}{4} \\ z=\lambda \end{array}\right.$