Ejercicio Resuelto Posición Relativa de Rectas y Planos 2
Halla la posición relativa de la siguiente recta y plano:
r≡5x−1=1y=1z+2,π≡−x+3y+2z+5=0
A partir de la recta y el plano dados en el enunciado:
r≡5x−1=1y=1z+2,π≡−x+3y+2z+5=0
Para hallar la posición relativa, en primer lugar debemos partir de las ecuaciones continuas de la recta, obtenemos el punto A y el vector director u :
A=(1,0,−2)u=(5,1,1)
El vector normal del plano está formado por sus coeficientes
n=(−1,3,2)
Calculando el producto vectorial del vector director y el vector normal
u⋅n=(5,1,1)⋅(−1,3,2)=−5+3+2=0
Se tiene que estos son perpendiculares, las posiciones relativas posibles son paralelos o contenidos.
Vamos a comprobar si el punto de la recta se encuentra en el plano, para esto sustituimos el punto en la ecuacion del plano:
−(1)+3(0)+2(−2)+5=0
Como se satisface la ecuación del plano, tenemos que A∈π y por tanto la recta está contenida en el plano.
Respuesta esperada: La recta está contenida en el plano.