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Ejercicio Resuelto Posición Relativa de Rectas y Planos 2

Halla la posición relativa de la siguiente recta y plano:


rx15=y1=z+21,πx+3y+2z+5=0r \equiv \dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{1}, \quad \pi \equiv-x+3 y+2 z+5=0

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A partir de la recta y el plano dados en el enunciado:


rx15=y1=z+21,πx+3y+2z+5=0r \equiv \dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{1}, \quad \pi \equiv-x+3 y+2 z+5=0


Para hallar la posición relativa, en primer lugar debemos partir de las ecuaciones continuas de la recta, obtenemos el punto A y el vector director u\vec{u} :


A=(1,0,2)u=(5,1,1)A=(1,0,-2) \quad \vec{u}=(5,1,1)


El vector normal del plano está formado por sus coeficientes


n=(1,3,2)\vec{n}=(-1,3,2)


Calculando el producto vectorial del vector director y el vector normal


un=(5,1,1)(1,3,2)=5+3+2=0\vec{u} \cdot \vec{n} =(5,1,1) \cdot(-1,3,2) =-5+3+2=0


Se tiene que estos son perpendiculares, las posiciones relativas posibles son paralelos o contenidos.


Vamos a comprobar si el punto de la recta se encuentra en el plano, para esto sustituimos el punto en la ecuacion del plano:


(1)+3(0)+2(2)+5=0-(1)+3(0)+2(-2)+5=0


Como se satisface la ecuación del plano, tenemos que AπA \in \pi y por tanto la recta está contenida en el plano.


Respuesta esperada: La recta está contenida en el plano.

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