Ejercicio Resuelto Posición Relativa entre Dos Rectas

Para hallar la posición relativa entre las rectas r y s:

$r \equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}, \quad s \equiv \dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{-1}$

En primer lugar, se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implicitas.

$\left\{\begin{array}{r} x-2 y-1=0 \\ y-z+1=0 \\ x+y=0 \\ x+z=0 \end{array}\right.$

Halamos el rango de la matriz de los coeficientes.

$M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$

Para ello calculamos el determinante:

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 11 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \neq 0$

Como es distinto de 0 el rango de la matriz de coeficientes es $R(M)= 3$. Determinamos el rango de la matriz ampliada.

$M^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$

De nuevo el determinante es:

$\left|\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right| \neq 0$

Y por tanto $R(M)^{\prime}=4$ . Luego comparando los rangos, podemos concluir que las dos rectas se cruzan.

Respuesta esperada: Las rectas r y s se cruzan.