Sea [x1,x2,x3] una base para un subespacio W de R4 :
x1=⎣⎢⎢⎡1111⎦⎥⎥⎤,x2=⎣⎢⎢⎡0111⎦⎥⎥⎤,x3=⎣⎢⎢⎡0011⎦⎥⎥⎤
El proceso de ortonormalización Gram-Schmidt afirma que, dada una base {x1,…,xp} para un subespacio W de R3 , y sea:
v1v2v3=x1=x2−v1⋅v1x2⋅v1v1=x3−v1⋅v1x3⋅v1v1−v2⋅v2x3⋅v2v2
Entonces {v1,v2,v3} es una base ortogonal para W.
Sea pues v1=x1 y W1 es el espacio vectorial generado por x1 .
Se tiene que v2 , es el vector producido al restar de x2 su proyección sobre el subespacio W1 . Esto es:
v2=x2−proyW1(x2)=x2−v1⋅v1x2⋅v1v1=⎣⎢⎢⎡0111⎦⎥⎥⎤−43⎣⎡111⎦⎤=⎣⎢⎢⎡−3/41/41/41/4⎦⎥⎥⎤
Así pues, sea v2 es la componente de x2 ortogonal a x1, y {v1,v2} es una base ortogonal para el subespacio W2 generado por x1 y x2 .
Por último v3 será el vector producido al restar de x3 su proyección sobre el subespacio W2 . Se utiliza la base ortogonal {v1,v2} para calcular la proyección sobre W2 :
proyW2(x3)=v1⋅v1x3⋅v1v1+v2′⋅v2′x3⋅v2′v2′=42⎣⎢⎢⎡1111⎦⎥⎥⎤+122⎣⎢⎢⎡−3111⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡02/32/32/3⎦⎥⎥⎤
Entonces v3 es la componente de x3 ortogonal a W2 , por lo tanto:
v3=x3−proyw2(x3)=⎣⎢⎢⎡0011⎦⎥⎥⎤−⎣⎢⎢⎡02/32/32/3⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡0−2/31/31/3⎦⎥⎥⎤
Entonces {v1,v2,v3} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero y, por lo tanto, un conjunto linealmente independiente en W. Por lo tanto, {v1,v2,v3} es una base ortogonal para W.
Respuesta esperada: Base ortogonal para W: ⎣⎢⎢⎡1111⎦⎥⎥⎤ ,⎣⎢⎢⎡−3/41/41/41/4⎦⎥⎥⎤, ⎣⎢⎢⎡0−2/31/31/3⎦⎥⎥⎤
