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Ejercicio Resuelto Puntos en Coordenadas Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas

a) El punto P(6,30,4){P}\left(6,30^{\circ}, 4\right) está expresado en coordenadas cilíndricas. Hallar sus coordenadas cartesianas.


b) El punto P(2,2,2)P(-2,-2,2) está expresado en coordenadas cartesianas. Hallar sus coordenadas cilíndricas.

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a) P(6,30,4){P}\left(6,30^{\circ}, 4\right)

Realizando las transformaciones oportunas se tiene que


x=6cos30=632=33y=6sen30=612=3z=4\begin{aligned} &x=6 \cos 30^{\circ}=6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3 \sqrt{3} \\ &y=6 \operatorname{sen} 30^{\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3 \\ &z=4 \end{aligned}


Luego el punto P en coordenadas cartesianas es P(33,3,4)P(3 \sqrt{3}, 3,4)


b) P(2,2,2)P(-2,-2,2)

Por otro lado, se tiene que:


r=(2)2+(2)2=16=4α=arctg22=225z=3\begin{aligned} &r=\sqrt{(-2)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{16}=4 \\ &\alpha=\operatorname{arctg} \frac{-2}{-2}=225^{\circ} \\ &z=3 \end{aligned}


Tomamos el águlo del tercer cuadrante porque es el que corresponde al punto (-2,-2). El punto P en coordenadas cilíndricas es : P(4,225,3)\mathrm{P}\left(4,225^{\circ}, 3\right)


Respuesta esperada: a) P(33,3,4)P(3 \sqrt{3}, 3,4) ; b) P(4,225,3)\mathrm{P}\left(4,225^{\circ}, 3\right).

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