Ejercicio Resuelto Rango de Matrices

Recordemos que el rango es igual a a cantidad de vectores canónicos obtenidos al finalizar el método de Gauss.

Para aplicar este método, hacemos la siguientes transformaciones y llegamos a los siguientes resultados.

En primer lugar buscamos obtener un 0 en las posiciones $a_{21}$ y $a_{31}$ . Para ello, la fila uno se mantiene, a la fila dos le sumo la fila uno y a la fila 3 le resto dos veces la fila uno.

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 7 & 1 \\ 0 & -6 & +2 \end{array}\right)$

Tras esto se buscaremos un 0 en la posición $a_{32}$ . La fila uno se mantiene, a la fila dos no se le hacen cambios, y a 7 veces la fila tres le sumo 6 veces la fila dos:

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & +20 \end{array}\right)$

Lo siguiente va a ser eliminar los elementos por encima de la diagonal. Primero dividimos la tercera fila entre 20:

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

Tras esto, buscamos un 0 en las posiciones $a_{23}$ y $a_{13}$. La tercera fila se mantiene igual, a la segunda fila le restamos la tercera, y a la primera le sumamos la tercera fila:

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

Dividimos la segunda fila entre 7 para obtener un 1 en la posición $a_{12}$ y luego le restamos a la primera fila la segunda finla multiplicada por 4 para obtener un 0 en la posición $a_{22}$ :

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

La cual tiene tres vectores canónicos, con esto llega a la conclusión de que el rango es $r(A)=3$ .

Respuesta esperada: $r(A)=3$