Ejercicio Resuelto Sistema Compatible Indeterminado por Regla de Cramer

En primer lugar vamos a ver que tipo de sistema de ecuaciones tenemos.

Para ello tomamos los coeficientes del sistema de ecuaciones y calculamos el determinante

$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right|=0$

Como el resultado es cero tomamos los primeros coeficientes para hacer un determinante de $2 \times 2$

$\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right|=-2$

Entonces tenemos $r=2, n=3$ . Luego, es un Sistema Compatible Indeterminado.

Tomamos las dos primeras ecuaciones y hacemos $z=\lambda$ .

$\left\{\begin{array}{c} x+y+\lambda=0 \\ x-y=0 \end{array}\right.$

Despejamos x e y quedando el siguiente sistema:

$\left\{\begin{array}{c} x+y=-\lambda \\ x-y=0 \end{array}\right.$

Ahora resuelvo el sistema para encontrar los valores de x e y usando la Regla de Cramer. Tenenmos que:

$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{cc} -\lambda & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right|=\lambda$

$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{cc} 1 & -\lambda \\ 1 & 0 \end{array}\right|=\lambda$

De donde se deduce que la solución es:

$\displaystyle x=-\frac{\lambda}{2}; \quad y=-\frac{\lambda}{2}$

Y finalmente se tiene que la solución del sistema de ecuaciones inicial es:

$x=-\dfrac{\lambda}{2} \quad y=-\dfrac{\lambda}{2} \quad z=\lambda$

Respuesta esperada: $x=-\dfrac{\lambda}{2} \quad y=-\dfrac{\lambda}{2} \quad z=\lambda$