Ejercicio Resuelto Sistemas y Bases Ortogonales

Consideramos el sistema formado por los vectores:

${u}_{1}=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right], \quad {u}_2=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right], \quad {u}_{3}=\left[\begin{array}{c} -1 / 2 \\ -2 \\ 7 / 2 \end{array}\right]$

Analizando cada par posible de vectores, es decir:

$\left|{u}_{1}, {u}_{2}\right|, \quad \left|{u}_{1}, {u}_{3}\right|, \quad \left|{u}_{2}, {u}_{3}\right|$

Se realiza entonces el producto escalar en cada par.

$\displaystyle \begin{aligned} &{u}_{1} \cdot {u}_{2}=3(-1)+1(2)+1(1)=0 \\ &{u}_{1} \cdot {u}_{3}=3\left(-\frac{1}{2}\right)+1(-2)+1\left(\frac{7}{2}\right)=0 \\ &{u}_{2}\cdot {u}=-1\left(-\frac{1}{2}\right)+2(-2)+1\left(\frac{7}{2}\right)=0 \end{aligned}$

Cada par de vectores distintos es ortogonal entre sí. Por lo tanto, se tiene que $\left|{u}_{1}, {u}_{{2}}, {u}_{3}\right|$ es un conjunto ortogonal. La representación de los vectores sería como sigue:

Respuesta esperada: El sistema $\left\{{u}_{1},{u}_{2},{u}_{3}\right\}$ es ortogonal.