Ejercicio Resuelto Sistemas y Bases Ortonormales

Partiendo de los vectores:

${v}_{1}=\left[\begin{array}{l} 3 / \sqrt{11} \\ 1 / \sqrt{11} \\ 1 / \sqrt{11} \end{array}\right], \quad {v}_{2}=\left[\begin{array}{c} -1 / \sqrt{6} \\ 2 / \sqrt{6} \\ 1 / \sqrt{6} \end{array}\right], \quad {v}_{3}=\left[\begin{array}{c} -1 / \sqrt{66} \\ -4 / \sqrt{66} \\ 7 / \sqrt{66} \end{array}\right]$

Para demostrar que son una base ortonormal, en primer lugar hay que probar que se trata de un sistema ortogonal. Para ello, se demostrará que el producto escalar entre cada uno de los pares de vectores es nulo:

$\begin{aligned} &{v}_{1} \cdot {v}_{2}=-3 / \sqrt{66}+2 / \sqrt{66}+1 / \sqrt{66}=0 \\ &{v}_{1} \cdot {v}_{3}=-3 / \sqrt{726}-4 / \sqrt{726}+7 / \sqrt{726}=0 \\ &{v}_{2} \cdot {v}_{3}=1 / \sqrt{396}-8 / \sqrt{396}+7 / \sqrt{396}=0 \end{aligned}$

Entonces $\left\{{v}_{1}, {v}_{2},{v}_{3}\right\}$ es un sistema ortogonal.

También hay que demostrar que el producto escalar de cada vector por si mismo da como resultado la unidad, es decir, son vectores unitarios:

$\begin{aligned} &{v}_{1} \cdot {v}_{1}=9 / 11+1 / 11+1 / 11=1 \\ &{v}_{2} \cdot {v}_{2}=1 / 6+4 / 6+1 / 6=1 \\ & {v}_{3} \cdot {v}_{3}=1 / 66+16 / 66+49 / 66=1 \end{aligned}$

Lo cual muestra que $\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\}$ son vectores unitarios. Entonces $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ es un sistema ortonormal.

Como el conjunto es linealmente independiente, sus tres vectores forman una base para $\mathbb{R}^{3}$.

Respuesta esperada: Es una base ortonormal.