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Ejercicio Resuelto Subespacio Vectorial

Determina el o los valores de α\alpha para que el vector


v=(123αα)v=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3 \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{\alpha}\end{array}\right)


Pertenezca al subespacio generado por:


{(1221),(510143),(21025),(54326)}\left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}5 \\ 10 \\ 14 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2 \\ 10 \\ -2 \\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}5 \\ 4 \\ 32 \\ -6\end{array}\right)\right\}

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Sean


v=(123αα),v1=(1221),v2=(510143),v3=(21025),v4=(54326)v=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3 \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{\alpha}\end{array}\right), v_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 10 \\ 14 \\ 3\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 10 \\ -2 \\ 5\end{array}\right), v_{4}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 4 \\ 32 \\ -6\end{array}\right)


Para que vv pertenezca al subespacio generado por {v1,v2,v3,v4}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\}deben existir escalares α1,α2,α3,α4\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} reales tales que v=α1v1+α2v2+α3v3+α4v4v=\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\alpha_{3} v_{3}+\alpha_{4} v_{4} .


Es decir:


(123αα)=α1(1221)+α2(510143)+α3(21025)+α4(54326)\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{\alpha} \end{array}\right)=\boldsymbol{\alpha}_{1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)+\boldsymbol{\alpha}_{2}\left(\begin{array}{c} 5 \\ 10 \\ 14 \\ 3 \end{array}\right)+\boldsymbol{\alpha}_{3}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 10 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)+\boldsymbol{\alpha}_{4}\left(\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 32 \\ -6 \end{array}\right)


Así, pueden expresarse de la siguiente manera en una única matriz:


(123αα)=(α1+5α2+2α3+5α42α1+10α2+10α3+4α42α1+14α22α3+32α4α1+3α2+5α36α4)\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{\alpha} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha}_{1}+5 \boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}+5 \boldsymbol{\alpha}_{4} \\ 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+10 \boldsymbol{\alpha}_{2}+10 \boldsymbol{\alpha}_{3}+4 \boldsymbol{\alpha}_{4} \\ 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+14 \boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}+32 \boldsymbol{\alpha}_{4} \\ \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+5 \boldsymbol{\alpha}_{3}-6 \boldsymbol{\alpha}_{4} \end{array}\right)


Y se puede convertir en el siguiente sistema matricial:


(15252101042142321356)(α1α2α3α4)=(123αα)\left(\begin{array}{cccc} 1 & 5 & 2 & 5 \\ 2 & 10 & 10 & 4 \\ 2 & 14 & -2 & 32 \\ 1 & 3 & 5 & -6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} \\ \alpha_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \alpha \\ \alpha \end{array}\right)


Para resolver dicho sistema, vamos a realizar transformaciones sobre la matriz ampliada


(1525121010422142323α1356α)(1525100660046223α202311α1)(1525100660046223α200005α42)\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 5 & 2 & 5 & 1 \\ 2 & 10 & 10 & 4 & 2 \\ 2 & 14 & -2 & 32 & 3 \alpha \\ 1 & 3 & 5 & -6 & \alpha \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 5 & 2 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 6 & -6 & 0 \\ 0 & 4 & -6 & 22 & 3 \alpha-2 \\ 0 & -2 & 3 & -11 & \alpha-1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 5 & 2 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 6 & -6 & 0 \\ 0 & 4 & -6 & 22 & 3 \alpha-2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5 \alpha-4}{2} \end{array}\right) 


De lo anterior, concluimos que para que el sistema sea compatible se debe tener


5α42=05α4=0α=45\dfrac{5 \alpha-4}{2}=0 \Rightarrow 5 \alpha-4=0 \Rightarrow \alpha=\dfrac{4}{5}


que es el valor buscado para que vv pertenezca al subespacio generado por {v1,v2,v3,v4}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\}


Respuesta esperada: α=45\alpha=\dfrac{4}{5}

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