Sean
v=⎝⎜⎜⎛123αα⎠⎟⎟⎞,v1=⎝⎜⎜⎛1221⎠⎟⎟⎞,v2=⎝⎜⎜⎛510143⎠⎟⎟⎞,v3=⎝⎜⎜⎛210−25⎠⎟⎟⎞,v4=⎝⎜⎜⎛5432−6⎠⎟⎟⎞
Para que v pertenezca al subespacio generado por {v1,v2,v3,v4}, deben existir escalares α1,α2,α3,α4 reales tales que v=α1v1+α2v2+α3v3+α4v4.
Es decir:
⎝⎜⎜⎛123αα⎠⎟⎟⎞=α1⎝⎜⎜⎛1221⎠⎟⎟⎞+α2⎝⎜⎜⎛510143⎠⎟⎟⎞+α3⎝⎜⎜⎛210−25⎠⎟⎟⎞+α4⎝⎜⎜⎛5432−6⎠⎟⎟⎞
Así, pueden expresarse de la siguiente manera en una única matriz:
⎝⎜⎜⎛123αα⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛α1+5α2+2α3+5α42α1+10α2+10α3+4α42α1+14α2−2α3+32α4α1+3α2+5α3−6α4⎠⎟⎟⎞
Y se puede convertir en el siguiente sistema matricial:
⎝⎜⎜⎛1221510143210−255432−6⎠⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎛α1α2α3α4⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛123αα⎠⎟⎟⎞
Para resolver dicho sistema, vamos a realizar transformaciones sobre la matriz ampliada
⎝⎜⎜⎛1221510143210−255432−6123αα⎠⎟⎟⎞∼⎝⎜⎜⎛1000504−226−635−622−11103α−2α−1⎠⎟⎟⎞∼⎝⎜⎜⎛1000504026−605−6220103α−225α−4⎠⎟⎟⎞
De lo anterior, concluimos que para que el sistema sea compatible se debe tener
25α−4=0⇒5α−4=0⇒α=54
que es el valor buscado para que v pertenezca al subespacio generado por {v1,v2,v3,v4}
Respuesta esperada: α=54