Ejercicio Resuelto Teorema del Rango y Bases de Espacios Vectoriales

Comparando entonces las matrices A y B:

$A=\left[\begin{array}{rrrrr} 2 & -1 & 1 & -6 & 8 \\ 1 & -2 & -4 & 3 & -2 \\ -7 & 8 & 10 & 3 & -10 \\ 4 & -5 & -7 & 0 & 4 \end{array}\right] \text {, } \quad B=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & 3 & 9 & -12 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$

a. A tiene dos columnas pivote, así que el rango R(A) = 2.

Como A tiene cinco columnas en total, nulidad(A) = 5 - 2 = 3.

b. Las columnas pivote de A son las primeras dos columnas. Por lo tanto, una base para el espacio columna de A es:

$\left\{{a}_{1},{a}_{2}\right\}=\left\{\left[\begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ -7 \\ 4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\ -2 \\ 8 \\ -5 \end{array}\right]\right\}$

En B, las filas distintas de cero forman una base para el espacio fila de A.

En este ejemplo en particular, sucede que cualesquiera dos filas de A forman una base para el espacio fila, porque el espacio fila es de dimensión dos y ninguna de las filas de A es múltiplo de otra fila.

En general, deben usarse las filas diferentes de cero en una forma escalonada de A como base para el espacio fila de A, no las filas de la propia A.

c. Para hallar una base para el espacio nulo de A, el siguiente paso es realizar operaciones por fila con B para obtener la forma escalonada reducida de A.

d. Como el $R(A^{T})= R(A)$ de acuerdo con el Teorema del rango, porque el espacio columna de la traspuesta de A es igual al espacio fila de A, entonces $A^{T}$ tiene dos posiciones pivote.

Respuesta esperada:

a) R(A) =2, nulidad(A)=3;

b)Base para espacio columna de A=$\left\{\left[\begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ -7 \\ 4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\ -2 \\ 8 \\ -5 \end{array}\right]\right\}$, Base para espacio fila de A: 2 filas cualesquiera de A escalonada.

c)Obtener la forma escalonada de A.

d) Dos columnas pivote.